Standard normalfordeling

Vi åpner tabellen.

Vi finner raden der vi har 1,5 i venstre kolonne. Så leser vi av tallet i kolonnen med 0,03 som overskrift og finner 0,937 0. Det betyr at

$P\left(Z\le 1,53\right)=0,937 0$

Siden tabellen gir oss de kumulative sannsynlighetene, har vi at

$P\left(-0,3\le Z\le 0,75\right)=P\left(Z\le 0,75\right)-P\left(Z\le -0,3\right)$

Vi går inn i tabellen og finner cella med radoverskrift $\mathrm{0,7}$ og kolonneoverskrift $\mathrm{0,05}$, og vi ser at $P\left(Z\le 0,75\right)=0,773 4$. Tilsvarende finner vi cella med radoverskrift $\mathrm{-0,3}$ og kolonneoverskrift $\mathrm{0,00}$ og leser av $P\left(Z\le -0,3\right)=0,382 1$. Dette gir oss at

$P\left(-0,3\le Z\le 0,75\right)=0,773 4-0,382 1=0,391 3$

Vi leser av tabellen og finner at $P\left(Z\le 2\right)=0,977 2$. Dette gir oss

$P\left(Z\ge 2\right)=1-P\left(Z\le 2\right)=1-0,977 2=0,022 8$

Vi leser av tabellen og får at $P\left(Z\le -2\right)=0,022 8$.

Vi legger merke til at denne sannsynligheten er lik sannsynligheten i c). Dette er på grunn av at normalfordelingen er symmetrisk rundt forventningsverdien (som her er 0), og det er like sannsynlig at $Z$ er større enn 2 som at $Z$ er mindre enn $-2$.

Vi leser av tabellen og får

$\begin{array}{rcl}P\left(-3<Z<3\right) & =& P\left(Z\le 3\right)-P\left(Z\le -3\right)\\ & =& 0,998 7-0,001 3 = 0,997 4\end{array}$

Vi legger merke til at 99,74 % av observasjonene ligger innenfor tre standardavviks avstand fra forventningsverdien.

Vi leser av tabellen:

$P\left(Z\le 1\right)=0,841 3$

Vi har at

$P\left(Z>-1\right)=1-P\left(Z\le -1\right)=1-0,158 7=0,841 3$

Vi legger merke til at sannsynligheten er lik sannsynligheten i f). Dette er fordi det på grunn av symmetrien er like stor sannsynlighet for at en observasjon er mer enn ett standardavvik unna forventningsverdien i begge retninger. Dette gjelder for alle verdier, at $P\left(Z\le z\right)=1-P\left(Z\le -z\right)=P\left(Z>-z\right)$. Vi kan altså alltid lese av $P\left(Z\le -z\right)$ dersom oppgaven ber om $P\left(Z>z\right)$.

Vi har at

$\begin{array}{rcl}P\left(-1\le Z\le 1\right) & =& P\left(Z\le 1\right)-P\left(Z\le -1\right)\\ & =& 0,841 3-0,158 7=0,682 6\end{array}$

Dette kunne vi ha svart på også uten å regne ut, siden vi vet at i en normalfordeling vil 68,26 % av observasjonene ligge innenfor ett standardavviks avstand.

I en standard normalfordeling har vi at $\mu =0$ og $\sigma =1$.

Vi får

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\mathrm{\pi }}}·e^{-{\left(\frac{x-\mu }{2·\sigma }\right)}^2}\\ & =& \frac{1}{1·\sqrt{2\mathrm{\pi }}}·e^{-{\left(\frac{x-0}{2}\right)}^2}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}·e^{-\frac{x^2}{4}} \end{array}$

$E\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)=E\left(\frac{1}{\sigma }X-\frac{\mu }{\sigma }\right)=\frac{1}{\sigma }·\mu -\frac{\mu }{\sigma }=0$

$Var\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)=Var\left(\frac{1}{\sigma }X-\frac{\mu }{\sigma }\right)=\frac{1}{{\sigma }^2}Var\left(X\right)={\left(\frac{1}{\sigma }\right)}^2·{\sigma }^2=1$

$SD\left(Z\right)=\sqrt{1}=1$

Vi skal finne $P\left(X\le 173\right)$. Vi regner om til standard normalfordeling:

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{173-167}{6}=\frac{6}{6}=1$

Vi leser av tabellen og finner at

$P\left(Z\le 1\right)=0,841 3$

Dette gir at $P\left(X\le 173\right)=0,841 3$.

Vi skal regne ut $P\left(X>161\right)=1-P\left(X\le 161\right)$.

Vi regner igjen om til standard normalfordeling:

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{161-167}{6}=\frac{-6}{6}=-1$

Vi leser av tabellen og finner at $P\left(Z\le -1\right)=0,158 7$.

Dette gir at

$P\left(X>161\right)=1-P\left(Z\le -1\right)=1-0,158 7=0,841 3$

Vi ser at sannsynligheten for å være høyere enn 161 cm og sannsynligheten for å være lavere enn 173 cm er den samme. Vi legger merke til at det er ett standardavvik unna forventningsverdien i hver sin retning.

Vi har at

$P\left(161\le X\le 173\right)=P\left(-1\le Z\le 1\right)=0,841 3-0,158 7=0,682 6$

Vi ser at sannsynligheten er 0,682 6. Dette stemmer med at det skal være 68,26 % av observasjonene som ligger innenfor ett standardavviks avstand fra forventningsverdien.

Vi har at $\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}=\sqrt{64}=8$. Vi regner om til standard normalfordeling:

$Z=\frac{4-2}{8}=\frac{2}{8}=0,25$

Dette gir

$P\left(Y\le 4\right)=P\left(Z\le 0,25\right)=0,598 7$

Vi regner om til standard normalfordeling:

$\begin{array}{rcl}{z}_1 & =& \frac{3-2}{8}=\frac{1}{8}=0,125\approx 0,13\\ z_2 & =& \frac{5-2}{8}=\frac{3}{8}=0,375\approx 0,38\end{array}$

Vi runder av til to desimaler fordi det er denne nøyaktigheten tabellen har.

Dette gir at

$\begin{array}{rcl}P\left(3<Y<5\right) & =& P\left(0,13<Z<0,38\right)\\ & =& P\left(Z\le 0,38\right)-P\left(Z\le 0,13\right)\\ & =& 0,648 0-0,551 7\\ & =& 0,096 3\end{array}$

Vi finner de to tilhørende $z$-verdiene:

$\begin{array}{rcl}P\left(Z\le z\right) & =& 0,366 9 \Rightarrow z_1=-0,34\\ P\left(Z>z\right) & =& 0,308 5 \Rightarrow 1-P\left(Z\le z_2\right)=0,308 5\\ & \Rightarrow & P\left(Z\le z_2\right)=0,691 5 \Rightarrow z_2 =0,5\end{array}$

Så lager vi et likningssystem:

$\begin{array}{rcl}\frac{0,96-\mu }{\sigma } & =& -0,34\\ \frac{6-\mu }{\sigma } & =& 0,5\end{array}$

Vi løser likningssystemet:

$\begin{array}{rcl}0,96-\mu & =& -0,34\sigma \\ 6-\mu & =& 0,5\sigma \\ & & \\ 5,04 & =& 0,84\sigma \\ \sigma & =& \frac{5,04}{0,84}=6\\ & & \\ 6-\mu & =& 0,5·6\\ \mu & =& 3\end{array}$

Vi får at $\mu =3$ og $\sigma =6$.

Vi har at

$\begin{array}{rcl}P\left(22<X<42\right) & =& 1-P\left(X\le 22\right)-P\left(X>42\right)\\ & =& 1-2·0,106=1-0,212\\ & =& 0,788\end{array}$

Siden $P\left(X\le 22\right)=P\left(X>42\right)$, har vi at forventningsverdien må ligge midt mellom disse to verdiene. Vi får at

$\mu =\frac{42+22}{2}=32$

Vi bruker én av verdiene vi kjenner, og setter opp en likning. Vi velger $x=22$.

Først finner vi $z$-verdien som er slik at $P\left(X\le 22\right)=P\left(Z\le z\right)=0,106$. Fra tabellen får vi at $z=-1,25$.

Vi får følgende likning:

$\begin{array}{rcl}\frac{x-\mu }{\sigma } & =& z\\ \frac{22-32}{\sigma } & =& -1,25\\ -1,25\sigma & =& -10\\ \sigma & =& 8\end{array}$

Vi har at standardavviket er lik 8.