Pris og etterspørsel

Inntekt og pris

Inntektsfunksjonen

En bedrift kan ikke bare bestemme prisen på en vare, forutsette at alt blir solgt, og ut ifra dette beregne den produksjonen som gir størst overskudd. Kanskje prisen er satt så høyt at ikke alle varene blir solgt?

Vi ser på et eksempel fra siden Kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjon. Klasse 3STB har kommet fram til at inntektsfunksjonen $I$ ved salg av treningsapparatet Multiform er gitt ved

$I\left(x\right)=800x-2x^2 , D_I=\left[0,150\right]$

Inntekten ved salg er alltid lik prisen per enhet multiplisert med antall solgte enheter. Hvis vi forutsetter at alle produserte enheter blir solgt, er $I\left(x\right)=p·x$, hvor $x$ er antall produserte og solgte enheter, og $p$ er prisen per enhet.

Prisfunksjonen

I dette eksempelet kan vi komme fram til en funksjon for prisen $p$. Ved å faktorisere inntektsfunksjonen får vi at

$I\left(x\right)=800x-2x^2=\left(800-2x\right)·x$

Det betyr at vi kan se på faktoren $\left(800-2x\right)$ som prisen på varen, siden inntekten er pris multiplisert med antall solgte enheter. Prisen blir derfor her en funksjon av antall enheter $x$.

$p\left(x\right)=800-2x , D_p=\left[0, 150\right]$

Prisfunksjonen er lineær med negativt stigningstall. Vi ønsker å finne verdimengden $V_p$ til prisfunksjonen.

$\begin{array}{rcl}p\left(0\right)& =& 800-2·0=800\\ p\left(150\right)& =& 800-2·150=500\end{array}$

Hva blir verdimengden ut ifra dette?

Aktivitet

Siden prisen er en funksjon av antall enheter, er antall enheter avhengig av prisen. Endre på likningen $p=800-2x$ slik at den blir på formen "$x=$".

Tenk over

Hva betyr dette resultatet i praksis?

Etterspørselen

$x$ er fortsatt antall produserte og solgte enheter. Siden vi forutsetter at alle enheter selges, kan vi kalle antall enheter for etterspørselen, $e$, i stedet for $x$. Etterspørselen $e$ er det antallet enheter vi kan forvente å selge når prisen er $p$. Etterspørselen som funksjon av prisen blir, ut ifra den omsnudde formelen over,

$e\left(p\right)=400-0,5p , D_e=\left[500, 800\right]$

Dette kalles for etterspørselsfunksjonen, og denne funksjonen viser hvor mange enheter vi kan få solgt ved en bestemt pris. Produksjonen kan da tilpasses salget.

Kostnad og inntekt som funksjon av pris

Når etterspørselen som funksjon av prisen er $e\left(p\right)=400-0,5p$, kan både kostnadene og inntekten skrives som funksjon av prisen. Antall produserte enheter $x$ erstattes direkte av etterspørselen $e$.

Finn inntektsfunksjonen

Inntektsfunksjoner kan generelt skrives som $I\left(x\right)=p·x$. Hva blir inntektsfunksjonen $I\left(p\right)$ i eksempelet vårt?

Finn kostnadsfunksjonen

Finn kostnadsfunksjonen $K\left(p\right)$ ved å erstatte $x$ med $e\left(p\right)$.

Kostnads- og inntektsfunksjonen med CAS

Bruk CAS til å finne $I\left(p\right)$ og $K\left(p\right)$ ut ifra etterspørselsfunksjonen $e\left(p\right)$ i eksempelet.

I(p) og K(p) med CAS

Overskudd som funksjon av pris

Vi viser resten av eksempelet med bruk av CAS. Overskuddsfunksjonen finner vi som før ved å se på forskjellen mellom inntekten og kostnadene. Så finner vi det største overskuddet som toppunktet til funksjonen.

Overskuddsfunksjonen

Bruk CAS, finn overskuddsfunksjonen $O\left(p\right)$ og den prisen som gir størst overskudd.

Løsning

Siden overskuddsfunksjonen er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran andregradsleddet, vet vi at funksjonen har et toppunkt. Det største overskuddet får elevene derfor når prisen er 670 kroner.

Til slutt regner vi ut hvor stort overskuddet blir med denne prisen, og vi må finne ut hvor mange enheter (trimapparater) vi skal produsere.

Det maksimale overskuddet er på 10 125 kroner per uke. Etterspørselen ved denne prisen er 65 enheter.

Dette er det samme antall enheter som vi har funnet på siden Kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjon. Det skyldes at vi tok utgangspunkt i den opprinnelige inntektsfunksjonen $I\left(x\right)$ for å komme fram til etterspørselsfunksjonen. I andre situasjoner har vi ingen oppgitt inntektsfunksjon, kun en oppgitt etterspørselsfunksjon.

Grafisk løsning

Vi får det samme resultatet grafisk.

Vi kan i tillegg finne hvilke priser vi må holde oss innenfor hvis vi skal gå med overskudd. Da kan vi for eksempel finne nullpunktene til overskuddsfunksjonen $O$.

Tenk over

I utgangspunktet hadde elevene tenkt å selge treningsapparatet til 800 kroner. Hva betyr det at den prisen som gir størst overskudd, er 670 kroner?