Oppgave

Integrasjon – blandede oppgaver

Her kan du øve på å løse blandede oppgaver til emnet integrasjon. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Du finner løsningene til oppgavene nederst på siden.

Oppgave 1

Regn ut integralene uten å bruke digitale hjelpemidler.

a) $\int_{0}^{4} (x + 2) d x$

b) $\int_{- 2}^{2} x^{2} d x$

c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

d) $\int_{0}^{3} 10^{x} d x$

e) $\int e^{- 3 x + 7} d x$

f) $\int (x^{5} \cdot e^{- 3 x^{6}} + 2) d x$

g) $\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{5} - 5 x^{3} + 10 x - 2} d x$

Oppgave 2

Vi har følgende sammenheng mellom fart, $v$ , tilbakelagt strekning, $s$ , og tid, $t$ :

$v = \frac{d s}{d t}$

a) Bruk sammenhengen over til å vise at $s = \int v d t$ .

Oppgavene nedenfor gjelder et objekt som beveger seg i ei rett linje med hastighet $v$ . Beregn strekningen som objektet har flyttet seg i tidsrommet som er angitt i hver oppgave. Oppgavene skal løses ved hjelp av integrasjon og uten digitale hjelpemidler.

Tida angis i sekunder (s) og farten i meter per sekund (m/s).

b) $v = 2 t + 5, t \in [0, 3]$

c) $v = 6 t^{2} + 4 t, t \in [1, 3]$

d) $v = \sqrt{t} + 1, t \in [4, 9]$

Oppgave 3

Vi har følgende sammenheng mellom akselerasjon, $a$ , fart, $v$ , og tid, $t$ :

$a = \frac{d v}{d t}$

a) Bruk sammenhengen over til å vise at $v = \int a d t$ .

Tida angis i sekunder (s), farten i m/s og akselerasjonen i m/s².

b) Bestem et uttrykk for farten til objektet som funksjon av tida når akselerasjonen til objektet er $a = 9, 8$ m/s² .

c) Vi får vite at startfarten til objektet er 2 m/s. Hvordan kan vi bruke denne informasjonen til å bestemme et mer presist uttrykk for farten til objektet som funksjon av tida, $v (t)$ ?

Tips

Når objektet har farten $v = 2$ m/s, er $t = 0$ .

Denne informasjonen gjør at vi kan finne en verdi for konstanten $C$ .

d) Bruk det du kom fram til i b) for å beregne hvor langt objektet forflytter seg fra $t = 0$ til $t = 10$ .

Tips

Husk at $\begin{array}{rcl} s & = & \int v d t \end{array}$ $\begin{array}{rcl} \end{array}$ .

Oppgave 4

En stor bedrift i Harstad hadde i 2021 en inntekt på 100 millioner kroner per år. Det er gjort en analyse som viser at inntektene kommer til å øke de kommende årene ut fra funksjonen

$f (t) = 100 \cdot e^{\frac{t}{9}}$

der $f (t)$ er inntekten i millioner kroner $t$ år etter 2021.

Beregn bedriftens samlede inntekt i løpet av de neste 10 årene ved hjelp av CAS.

Oppgave 5

Middelverdisetningen sier at hvis en funksjon $f$ er integrerbar fra $x = a$ til $x = b$ , er gjennomsnittsverdien $f$ for $f$ gitt ved

$f = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

a) Bestem gjennomsnittsverdien, $f$ , til $f (x) = 3 x + 4, x \in [0, 2]$ ved hjelp av integrasjon og uten bruk av digitale hjelpemidler.

b) Hvordan kan du kontrollere at beregningen i a) er riktig uten å bruke digitale hjelpemidler?

c) Bestem gjennomsnittsverdien, $f$ , til $f (x) = x^{2} - 2 x, x \in [- 1, 2]$ ved hjelp av integrasjon og uten bruk av digitale hjelpemidler.

Oppgave 6

Funksjonen $f$ angir temperaturen gjennom et døgn i Stavanger. Funksjonen har framkommet ved regresjon ut fra målinger av temperatur hver time, og $x$ er antall timer etter midnatt.

$f (x) = - 0.0064 x^{3} + 0.2368 x^{2} - 2.0945 x + 5.771$

a) Lag en algoritme for et program som beregner gjennomsnittstemperaturen numerisk med rektangelmetoden i et oppgitt intervall. Start- og sluttid skal oppgis når programmet kjøres, og i hele timer etter midnatt. Antall rektangler skal også angis når programmet kjøres.

b) Lag programmet som beskrevet i a).

Oppgave 7

Grensekostnad er et begrep innen økonomi som beskriver hvordan de totale kostnadene endres når produksjonen økes med én enhet. De totale kostnadene beskrives ofte ved hjelp av en kostnadsfunksjon, og grensekostnaden blir dermed den deriverte av kostnadsfunksjonen.

a) Hvordan kan vi ut fra det som står ovenfor, finne en kostnadsfunksjon ut fra en gitt funksjon for grensekostnadene?

b) Et firma i Tromsø, Friskluft AS, har gjort beregninger og funnet ut at grensekostnaden ved å produsere $x$ enheter av ei vifte er gitt ved $G (x) = 0.05 x^{2} - 7 x + 980$ . Bestem kostnadsfunksjonen, $K (x)$ , når vi vet at $G (x) = K^{'} (x)$ .

c) Bestem et eksakt funksjonsuttrykk for $K (x)$ når du får vite at kostnadene ved produksjon av 0 enheter (oppstartskostnadene) er 5 500 kroner.

Oppgave 8

En tank på 500 L skal fylles med vann ved hjelp av ei elektrisk pumpe. Pumpa går litt sakte før den blir varm, og funksjonen $f$ uttrykker hvor mange liter per sekund pumpa klarer å pumpe $t$ sekunder etter at den er slått på.

$f (t) = 0, 5 (1 - e^{- 0, 05 t})$

a) Hvor mange liter per sekund klarer pumpa å pumpe 30 sekunder etter at den har blitt slått på?

b) Hvor mange liter per sekund klarer pumpa å pumpe etter at den har blitt varm?

c) Hvor mange liter klarer pumpa å pumpe det første minuttet?

d) Hvor lang tid tar det å fylle tanken?

Oppgave 9

Sylinder der radiusen for åpningen i bunnen er markert. I tillegg er to vannivåer markert, det øverste som a og det nederste som b. Toppflaten er angitt som A av y. Skjermutklipp.

Utløpstida for å senke vannivået i en vanntank fra en høyde $a$ til en høyde $b$ er gitt ved

$T = - \int_{a}^{b} \frac{A (y)}{μ π r^{2} \sqrt{2 g y}} d y$

$μ$ er en konstant som ofte blir kalt utstrømningskoeffisienten. $r$ er radiusen til den sirkelformede åpningen i bunnen som vannet skal ut av. $g$ er 9,8 m/s² (tyngdens akselerasjon), og $y$ er høyden vannet står i tanken ved et tidspunkt, $t$ .

Videre er $a$ høyden til vannet i tanken før tømmingen starter, mens $b$ er høyden til vannet etter at den ønskede vannmengden er tappet ut.

For å forklare hva $A (y)$ og $d y$ er, må vi tenke oss at vi plasserer et koordinatsystem med origo i sentrum av bunnen av tanken, og at vi "deler" vannet i tanken i tynne skiver med høyde lik $d y$ . Da vil volumet av hver "vannskive" være gitt ved arealet av hver skive, $A (y)$ , multiplisert med høyden, $d y$ . Arealet av en skive vil da avhenge av radius for skiven, som vil være gitt ved aktuell $x$ -verdi.

For at denne formelen skal kunne brukes, må $A (y)$ enten være konstant gjennom hele figuren eller kunne beskrives ved hjelp av et funksjonsuttrykk.

Vi benytter oss av en fast verdi for utstrømningskoeffisienten, $μ = 0, 6$ .

a) En vanntank har form som en sylinder med radius lik 1 meter og høyde lik 2 meter. Hvor mye vann inneholder tanken når den er helt full?

b) Tanken er helt full, og den skal tømmes gjennom en åpning i bunnen av karet. Åpningen er sirkelformet og har radius 0,01 m. Bruk CAS til å beregne hvor lang tid tar det å tømme tanken.

c) En annen vanntank som også er sylinderformet og har har radius 1 meter, er 3 meter høy og er også full av vann. Tømmingen skjer også her gjennom en sirkelformet åpning i bunnen som har radius 0,01 meter. Bruk CAS til å finne tiden det tar å senke vannstanden 2 meter i denne tanken.

d) Sammenlign resultatene i a) og b). Vi tømmer ut like mye vann i begge tilfellene, så hvorfor blir tidene for tømmingene forskjellige?

e) Den samme formelen kan også brukes for å beregne utløpstida til et lite basseng som har form som et firkantet prisme og er fylt helt opp med vann. Bunnen har sidekanter som er 3 meter og 2 meter, mens høyden i bassenget er 1,05 meter. Hvor mye vann rommer bassenget når det er helt fullt?

f) Bestem hvor lang tid det tar å tømme bassenget. Åpningen er også her en sirkel med radius 0,01 meter.

g) Sammenlign tida det tar å tømme bassenget med tida det tok å tømme den sylinderformede tanken i b). Både bassenget og tanken er fylt med cirka 6 300 liter vann og skal tømmes helt. Hvorfor er utløpstidene forskjellige?

Løsninger

Oppgave 1 a)

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{4} (x + 2) d x & = & {[\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{0}^{4} \\ = & \frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0) \\ = & 16 \end{array}$

Oppgave 1 b)

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x & = & {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{2} \\ = & \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} \\ = & \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \\ = & \frac{16}{3} \end{array}$

Oppgave 1 c)

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x & = & {[\ln |x|]}_{1}^{e} \\ = & \ln e - \ln 1 \\ = & 1 - 0 \\ = & 1 \end{array}$

Oppgave 1 d)

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{3} 10^{x} d x & = & {[\frac{10^{x}}{\ln 10}]}_{0}^{3} \\ = & \frac{10^{3}}{\ln 10} - \frac{10^{0}}{\ln 10} \\ = & \frac{999}{\ln 10} \end{array}$

Oppgave 1 e)

Løsning

$\int e^{- 3 x + 7} d x$

Vi setter $u = - 3 x + 7$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 3 \\ d x = - \frac{d u}{3} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int e^{- 3 x + 7} d x & = & \int e^{u} \cdot - \frac{d u}{3} \\ = & - \frac{1}{3} \int e^{u} d u \\ = & - \frac{1}{3} e^{u} + C \\ = & - \frac{1}{3} e^{- 3 x + 7} + C \end{array}$

Oppgave 1 f)

Løsning

$\int (x^{5} \cdot e^{- 3 x^{6}} + 2) d x$

Vi bruker delvis integrasjon på det første leddet og setter $u = - 3 x^{6}$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 3 \cdot 6 \cdot x^{5} \\ d x = - \frac{d u}{18 x^{5}} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int x^{5} \cdot e^{- 3 x^{6}} d x & = & \int x^{5} \cdot e^{u} \cdot - \frac{d u}{18 x^{5}} \\ = & - \frac{1}{18} \int e^{u} d u \\ = & - \frac{1}{18} e^{u} + C \\ = & - \frac{1}{18} e^{- 3 x^{6}} + C \end{array}$

Vi integrerer så hele uttrykket:

$\begin{array}{rcl} \int (x^{5} \cdot e^{- 3 x^{6}} + 2) d x & = & - \frac{1}{18} e^{- 3 x^{6}} + 2 x + C \end{array}$

Oppgave 1 g)

Løsning

Når uttrykket er en brøk, tenker vi ofte delbrøkoppspalting, men her kan ikke nevneren faktoriseres, så da er ikke det en mulig vei å gå. Vi prøver derfor variabelskifte, siden telleren er en grad lavere enn nevneren.

Vi setter $u = x^{5} - 5 x^{3} + 10 x - 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{rcl} \frac{d u}{d x} & = & 5 x^{4} - 15 x^{2} + 10 \\ = & 5 (x^{4} - 3 x^{2} + 2) \\ d x & = & \frac{d u}{5 (x^{4} - 3 x^{2} + 2)} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{5} - 5 x^{3} + 10 x - 2} d x & = & \int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 2}{u} \cdot \frac{d u}{5 (x^{4} - 3 x^{2} + 2)} \\ = & \frac{1}{5} \int \frac{d u}{u} \\ = & \frac{1}{5} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{5} \ln |x^{5} - 5 x^{3} + 10 x - 2| + C \end{array}$

Oppgave 2 a)

Løsning

$\begin{array}{rcl} v & = & \frac{d s}{d t} \\ d s & = & v \cdot d t \\ \int d s & = & \int v d t \\ s & = & \int v d t \end{array}$

Oppgave 2 b)

Løsning

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{0}^{3} (2 t + 5) d t \\ = & {[t^{2} + 5 t]}_{0}^{3} \\ = & 3^{2} + 5 \cdot 3 - (0^{2} + 5 \cdot 0) \\ = & 24 \end{array}$

Objektet flytter seg 24 meter i det angitte tidsrommet.

Til deg som har fysikk: Hvordan kan du løse oppgaven uten å integrere?

Oppgave 2 c)

Løsning

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{1}^{3} (6 t^{2} + 4 t) d t \\ = & {[2 t^{3} + 2 t^{2}]}_{1}^{3} \\ = & 2 {[t^{3} + t^{2}]}_{1}^{3} \\ = & 2 (3^{3} + 3^{2} - (1^{3} + 1^{2})) \\ = & 2 (27 + 9 - 2) \\ = & 68 \end{array}$

Objektet flytter seg 68 meter i det angitte tidsrommet.

Oppgave 2 d)

Løsning

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{4}^{9} (\sqrt{t} + 1) d t \\ = & {[\frac{2}{3} \cdot t^{\frac{3}{2}} + t]}_{4}^{9} \\ = & {[\frac{2}{3} t \cdot \sqrt{t} + t]}_{4}^{9} \\ = & \frac{2}{3} \cdot 9 \sqrt{9} + 9 - (\frac{2}{3} \cdot 4 \sqrt{4} + 4) \\ = & \frac{54}{3} + 9 - (\frac{16}{3} + 4) \\ = & \frac{53}{3} \\ \approx & 17, 67 \end{array}$

Objektet flytter seg cirka 17,7 meter i det angitte tidsrommet.

Oppgave 3 a)

Løsning

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{d v}{d t} \\ d v & = & a \cdot d t \\ \int d v & = & \int a d t \\ v & = & \int a d t \end{array}$

Oppgave 3 b)

Løsning

$\begin{array}{rcl} v & = & \int a d t \\ = & \int 9, 8 d t \\ = & 9, 8 t + C \end{array}$

Til deg som har fysikk: Hvordan kan du løse oppgaven uten å integrere?

Oppgave 3 c)

Løsning

$\begin{array}{rcl} v & = & 9, 8 t + C \\ 2 & = & 9, 8 \cdot t + C \\ C & = & 2 \end{array}$

Dette gir følgende uttrykk for farten til objektet:

$v (t) = 9, 8 t + 2$

Oppgave 3 d)

Løsning

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{0}^{10} v d t \\ = & \int_{0}^{10} (9, 8 t + 2) d t \\ = & {[4, 9 t^{2} + 2 t]}_{0}^{10} \\ = & 4, 9 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10 \\ = & 490 + 20 \\ = & 510 \end{array}$

Objektet forflytter seg 510 meter i det angitte tidsrommet. $\begin{array}{rcl} \end{array}$

Oppgave 4

Løsning

CAS-vinduet i GeoGebra, to linjer. Beregning av inntekt ut fra inntektsfunksjon. I linje 1 defineres funksjonen ved å skrive f parentes t parentes slutt kolon er lik 100 ganger e opphøyd i t delt på 9. I andre linje beregnes et bestemt integral ved å skrive Integral parentes f komma 0 komma 10 parentes slutt. Resultatet blir tilnærmet lik 1833,96. Skjermutklipp.

Den samlede inntekten de neste 10 årene vil være cirka 1 834 millioner kroner.

Oppgave 5 a)

Løsning

$\begin{array}{rcl} f & = & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = & \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} (3 x + 4) d x \\ = & \frac{1}{2} {[\frac{3}{2} x^{2} + 4 x]}_{0}^{2} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{3}{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) \\ = & \frac{1}{2} \cdot 14 \\ = & 7 \end{array}$

Oppgave 5 b)

Løsning

Siden funksjonen er ei rett linje, må gjennomsnittsverdien være gjennomsnittet av funksjonsverdiene i endepunktene. Vi kan derfor også beregne gjennomsnittsverdien som gjennomsnittet av to verdier:

$f = \frac{f (2) + f (0)}{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7$

Oppgave 5 c)

Løsning

$\begin{array}{rcl} f & = & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = & \frac{1}{2 - (- 1)} \int_{- 1}^{2} (x^{2} - 2 x) d x \\ = & \frac{1}{3} {[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{- 1}^{2} \\ = & \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2})) \\ = & \frac{1}{3} (\frac{8}{3} - 4 + \frac{1}{3} + 1) \\ = & 0 \end{array}$ .

Oppgave 6 a)

Algoritme

Programmet starter med å definere funksjonen $f (x)$ .

Deretter gis informasjon om programmet, før starttid, sluttid og antall rektangler registreres som input fra bruker.

Bredden til hvert rektangel beregnes ut fra differansen mellom start- og sluttid delt på antall rektangler.

Startverdi for $x$ settes lik oppgitt starttid.

Startverdi for totalt areal settes lik 0.

Ei løkke beregner arealet av hvert rektangel og summerer disse fortløpende. $x$ -verdien økes med rektangelbredden for hver runde, og løkka gjentas så lenge verdien av $x$ er mindre enn angitt sluttid.

Etter at løkka har stoppet, beregnes gjennomsnitt som totalt areal delt på differansen mellom sluttid og starttid, og gjennomsnittsverdien skrives ut.

Oppgave 6 b)

Program

Gjennomsnittstemperatur

1import math
2
3# Definerer funksjon
4def f(x):
5    return -0.0064*x**3+0.2368*x**2-2.0945*x+5.771
6    
7# Informasjon gis
8print("Funksjonen f(x)=-0.0064x^3+0.2368x^2-2.0945x+5.771 angir temperaturen gjennom et døgn i Stavanger.")
9print("Dette programmet gjør en numerisk beregning av gjennomsnittsverdien")
10print("til temperaturen fra et tidspunkt til et annet.")
11
12x1 = int(input("Skriv inn starttid, hel time: "))
13x2 = int(input("Skriv inn sluttid, hel time: "))
14
15antallRektangler = int(input("Skriv inn antall rektangler:"))
16
17dx=(x2-x1)/antallRektangler
18
19# Startverdi for x settes lik nedre grense for x
20xVerdi=x1
21
22#Startverdi for totaltAreal
23totaltAreal=0
24
25# Løkke som beregner areal av hvert rektangel og summerer etter hvert
26while xVerdi<x2:
27    # beregner høyden av rektangel
28    fx=f(xVerdi)
29    
30    # beregner areal av rektangel
31    areal=fx*dx
32    
33    # legger til beregnet areal totalt areal
34    totaltAreal=totaltAreal+areal
35    
36    # beregner neste x-verdi
37    xVerdi=xVerdi+dx
38    
39snitt=totaltAreal/(x2-x1)
40print(f"Gjennomsnittstemperaturen fra kl. {x1} til kl. {x2} er {snitt:.1f}.")

Oppgave 7 a)

Løsning

Siden derivasjon og integrasjon er motsatte regneoperasjoner, kan vi finne en kostnadsfunksjon ved å bestemme integralet av funksjonen for grensekostnadene.

Oppgave 7 b)

Løsning

$\begin{array}{rcl} G (x) & = & 0.05 x^{2} - 7 x + 980 \\ K (x) & = & \int (0.05 x^{2} - 7 x + 980) d x \\ = & 0.05 \cdot \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} \cdot 7 x^{2} + 980 x + C \\ = & \frac{1}{60} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 980 x + C \end{array}$

Oppgave 7 c)

Løsning

$\begin{array}{rcl} K (0) & = & 5 500 \\ \frac{1}{60} \cdot 0^{3} - \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + 980 \cdot 0 + C & = & 5 500 \\ C & = & 5 500 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} K (x) & = & \frac{1}{60} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 980 x + 5 500 \end{array}$

Oppgave 8

Løsning

a) Oppgaven spør etter $f (30) = 0, 388$ , se linje 2 i CAS-utklippet nedenfor. 30 sekunder etter at pumpa er slått på, pumper den 0,39 L/s.

b) Vi må finne ut hvilken verdi funksjonen går mot når $t$ blir stor. Oppgaven spør etter $\lim_{t \to \infty} f (t) = 0, 5$ , se linje 3 i CAS-utklippet nedenfor. Etter at pumpa har blitt varm, klarer den å pumpe 0,5 L/s.

c) Oppgaven spør etter samlet mengde når $t \in [0, 60]$ , som betyr integralet av funksjonen fra 0 til 60. Se linje 4 i CAS-utklippet. I løpet av det første minuttet klarer pumpa å pumpe 20,5 L.

d) Oppgaven spør etter hva den øvre integrasjonsgrensa skal være for at integralet av funksjonen fra 0 og oppover skal bli 500. Se linje 5 og 6 i CAS-utklippet. Pumpa må stå på i 17 minutter for å fylle tanken på 500 L.

CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet f av t kolon er lik 0,5 multiplisert med parentes 1 minus e opphøyd i minus 0,05 t. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet f av 30. Svaret med tilnærming er 0,388. På linje 3 er det skrevet Grenseverdi parentes f av t komma, uendelig parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,5. På linje 4 er det skrevet Integral parentes f komma, 0 komma, 60 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 20,498. På linje 5 er det skrevet Integral parentes f komma, 0 komma, t parentes slutt er lik 500. Svaret med "N Løs" er t er lik 1020. På linje 6 er det skrevet 1020 delt på 60. Svaret med tilnærming er 17. Skjermutklipp.

Oppgave 9 a)

Løsning

$V = π r^{2} h = (π \cdot 1^{2} \cdot 2) m^{3} = 2 π m^{3} \approx 6 280 {dm}^{3}$

Vanntanken inneholder cirka 6 280 liter vann når den er full.

Oppgave 9 b)

Løsning

Vi setter inn verdiene i uttrykket for utløpstida:

$\begin{array}{rcl} T & = & - \int_{a}^{0} \frac{A (y)}{μ π r^{2} \sqrt{2 g y}} d y \\ = & - \int_{2}^{0} \frac{π \cdot 1^{2}}{0, 6 π {(0, 01)}^{2} \sqrt{2 \cdot 9, 81} \cdot \sqrt{y}} d y \\ = & - \int_{2}^{0} \frac{1}{0, 6 \cdot {(0, 01)}^{2} \sqrt{2 \cdot 9, 81} \cdot \sqrt{y}} d y \end{array}$

Det bestemte integralet beregnes i CAS:

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Beregning av utløpstid for vann fra sylinder. Det er skrevet T kolon er lik minus integral fra 2 til 0 ganger 1 delt på nevner start 0,6 ganger 0,01 opphøyd i andre ganger kvadratrot 2 ganger 9,81 kvadratrot slutt ganger kvadratrot y nevner slutt dy. Resultatet blir 10642,51. Skjermutklipp.

Det tar 10 642 sekunder å tømme vanntanken, det vil si cirka 3 timer.

Oppgave 9 c)

Løsning

$μ = 0, 6$ . $r = 0, 01$ .

Radius for tanken lik 1 meter gir $A (y) = π \cdot 1^{2} = π$ .

Vannstanden skal senkes fra $a = 3 m$ til $b = 1 m$ .

Vi setter inn verdiene i uttrykket for utløpstida:

$\begin{array}{rcl} T & = & - \int_{a}^{b} \frac{A (y)}{μ π r^{2} \sqrt{2 g y}} d y \\ = & - \int_{3}^{1} \frac{π}{0, 6 π {(0, 01)}^{2} \sqrt{2 \cdot 9, 81} \cdot \sqrt{y}} d y \\ = & - \int_{3}^{1} \frac{1}{0, 6 \cdot {(0, 01)}^{2} \sqrt{2 \cdot 9, 81} \cdot \sqrt{y}} d y \end{array}$

Det bestemte integralet beregnes i CAS:

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Beregning av utløpstid for vann fra sylinder. Det står T kolon er lik minus integral parentes 1 delt på nevner start 0,6 ganger 0,01 opphøyd i andre ganger kvadratrot 2 ganger 9,81 kvadratrot slutt ganger kvadratrot y nevner slutt komma 3 komma 1 parentes slutt. Resultatet blir tilnærmet lik 5509. Skjermutklipp.

Det tar 5 509 sekunder å tømme tanken, det vil si cirka 1,5 time.

Oppgave 9 d)

Løsning

Vi ser at det tar kortere tid å senke vannstanden i tanken som er tre meter høy. Dette skyldes at det virker et større trykk på vannet som skal ut av denne tanken, siden tanken inneholder mer vann totalt.

Oppgave 9 e)

Løsning

$V = l \cdot b \cdot h = (3 \cdot 2 \cdot 1, 05) m^{3} = 6, 3 m^{3} = 6 300 {dm}^{3}$

Bassenget rommer 6 300 liter når det er helt fullt.

Oppgave 9 f)

Løsning

$μ = 0, 6$ . $r = 0, 01$ .

Arealet av bunnflaten, $A (y) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Vannstanden skal senkes fra $a = 1, 05 m$ til $b = 0 m$ .

Vi setter inn verdiene i uttrykket for utløpstida:

$\begin{array}{rcl} T & = & - \int_{1, 5}^{0} \frac{A (y)}{μ π r^{2} \sqrt{2 g y}} d y \\ = & - \int_{1, 5}^{0} \frac{6}{0, 6 π {(0, 01)}^{2} \sqrt{2 \cdot 9, 81} \cdot \sqrt{y}} d y \end{array}$

Det bestemte integralet beregnes i CAS:

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Beregning av utløpstid for vann fra prismeformet tank. Det står T kolon er lik minus integral parentes 6 delt på nevner start 0,6 ganger pi ganger 0,01 opphøyd i andre ganger kvadratrot 2 ganger 9,81 kvadratrot slutt ganger kvadratrot y nevner slutt komma 1,05 komma 0 parentes slutt. Skjermutklipp.

Det tar 14 727 sekunder å tømme det prismeformede bassenget, det vil si cirka 4 timer.

Oppgave 9 g)

Løsning

Vi har den samme mengden vann i bassenget og i sylinderen, men vannet i bassenget fordeler seg over en større flate enn vannet i sylinderen. Dette gjør at vannet i sylinderen har større statisk trykk (på grunn av tyngdekraften) siden det har større høyde, og vannet blir derfor presset ut av den sylinderformede tanken med større trykk enn det som er tilfellet i bassenget. Det går derfor raskest å tømme den sylinderformede tanken.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Integrasjon – blandede oppgaver(DOCX)
Integrasjon – blandede oppgaver(PDF)