Oppgåve

Integrasjon – blanda oppgåver

Her kan du øve på å løyse blanda oppgåver til emnet integrasjon. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Du finn løysingane til oppgåvene nedst på sida.

Oppgåve 1

Rekn ut integrala utan å bruke digitale hjelpemiddel.

a) $\int_{0}^{4} (x + 2) d x$

b) $\int_{- 2}^{2} x^{2} d x$

c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

d) $\int_{0}^{3} 10^{x} d x$

e) $\int e^{- 3 x + 7} d x$

f) $\int (x^{5} \cdot e^{- 3 x^{6}} + 2) d x$

g) $\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{5} - 5 x^{3} + 10 x - 2} d x$

Oppgåve 2

Vi har den følgande samanhengen mellom fart, $v$ , tilbakelagd strekning, $s$ , og tid, $t$ :

$v = \frac{d s}{d t}$

a) Bruk samanhengen over til å vise at $s = \int v d t$ .

Oppgåvene nedanfor gjeld eit objekt som beveger seg i ei rett linje med fart $v$ . Berekn strekninga som objektet har flytta seg i tidsrommet som er gitt i kvar oppgåve. Oppgåvene skal løysast ved hjelp av integrasjon og utan digitale hjelpemiddel.

Tida blir gitt i sekund (s) og farten i meter per sekund (m/s).

b) $v = 2 t + 5, t \in [0, 3]$

c) $v = 6 t^{2} + 4 t, t \in [1, 3]$

d) $v = \sqrt{t} + 1, t \in [4, 9]$

Oppgåve 3

Vi har den følgande samanhengen mellom akselerasjon, $a$ , fart, $v$ , og tid, $t$ :

$a = \frac{d v}{d t}$

a) Bruk samanhengen over til å vise at $v = \int a d t$ .

Tida blir gitt i sekund (s), farten i m/s og akselerasjonen i m/s².

b) Bestem eit uttrykk for farten til objektet som funksjon av tida når akselerasjonen til objektet er $a = 9, 8$ m/s² .

c) Vi får vite at startfarten til objektet er 2 m/s. Korleis kan vi bruke denne informasjonen til å bestemme eit meir presist uttrykk for farten til objektet som funksjon av tida, $v (t)$ ?

Tips

Når objektet har farten $v = 2$ m/s, er $t = 0$ .

Denne informasjonen gjer at vi kan finne ein verdi for konstanten $C$ .

d) Bruk det du kom fram til i b) for å berekne kor langt objektet flyttar seg frå $t = 0$ til $t = 10$ .

Tips

Hugs at $\begin{array}{rcl} s & = & \int v d t \end{array}$ $\begin{array}{rcl} \end{array}$ .

Oppgåve 4

Ei stor bedrift i Harstad hadde i 2021 ei inntekt på 100 millionar kroner per år. Det er gjort ein analyse som viser at inntektene kjem til å auke dei kommande åra ut frå funksjonen

$f (t) = 100 \cdot e^{\frac{t}{9}}$

der $f (t)$ er inntekta i millionar kroner $t$ år etter 2021.

Berekn den samla inntekta til bedrifta dei neste 10 åra ved hjelp av CAS.

Oppgåve 5

Middelverdisetninga seier at dersom ein funksjon $f$ er integrerbar frå $x = a$ til $x = b$ , er gjennomsnittsverdien $f$ for $f$ gitt ved

$f = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

a) Bestem gjennomsnittsverdien, $f$ , til $f (x) = 3 x + 4, x \in [0, 2]$ ved hjelp av integrasjon og utan bruk av digitale hjelpemiddel.

b) Korleis kan du kontrollere at berekninga i a) er rett utan å bruke digitale hjelpemiddel?

c) Bestem gjennomsnittsverdien, $f$ , til $f (x) = x^{2} - 2 x, x \in [- 1, 2]$ ved hjelp av integrasjon og utan bruk av digitale hjelpemiddel.

Oppgåve 6

Funksjonen $f$ angir temperaturen gjennom eit døgn i Stavanger. Funksjonen har komme fram ved regresjon ut frå målingar av temperatur kvar time, og $x$ er talet på timar etter midnatt.

$f (x) = - 0.0064 x^{3} + 0.2368 x^{2} - 2.0945 x + 5.771$

a) Lag ein algoritme for eit program som bereknar gjennomsnittstemperaturen numerisk med rektangelmetoden i eit gitt intervall. Start- og sluttid skal givast når programmet blir køyrt, og i heile timar etter midnatt. Talet på rektangel skal òg givast når programmet blir køyrt.

b) Lag programmet som beskrive i a).

Oppgåve 7

Grensekostnad er eit omgrep innan økonomi som beskriv korleis dei totale kostnadene blir endra når produksjonen blir auka med éi eining. Dei totale kostnadene blir ofte beskrivne ved hjelp av ein kostnadsfunksjon, og grensekostnaden blir dermed den deriverte av kostnadsfunksjonen.

a) Korleis kan vi ut frå det som står ovanfor, finne ein kostnadsfunksjon ut frå ein gitt funksjon for grensekostnadene?

b) Eit firma i Tromsø, Friskluft AS, har gjort berekningar og funne ut at grensekostnaden ved å produsere $x$ einingar av ei vifte er gitt ved $G (x) = 0.05 x^{2} - 7 x + 980$ . Bestem kostnadsfunksjonen, $K (x)$ , når vi veit at $G (x) = K^{'} (x)$ .

c) Bestem eit eksakt funksjonsuttrykk for $K (x)$ når du får vite at kostnadene ved produksjon av 0 einingar (oppstartskostnadene) er 5 500 kroner.

Oppgåve 8

Ein tank på 500 L skal fyllast med vatn ved hjelp av ei elektrisk pumpe. Pumpa går litt sakte før ho blir varm, og funksjonen $f$ uttrykker kor mange liter per sekund pumpa klarer å pumpe $t$ sekund etter at ho er slått på.

$f (t) = 0, 5 (1 - e^{- 0, 05 t})$

a) Kor mange liter per sekund klarer pumpa å pumpe 30 sekund etter at ho har vorte slått på?

b) Kor mange liter per sekund klarer pumpa å pumpe etter at ho har vorte varm?

c) Kor mange liter klarer pumpa å pumpe det første minuttet?

d) Kor lang tid tek det å fylle tanken?

Oppgåve 9

Sylinder der radiusen for opninga i botnen er markert. I tillegg er to vassnivå markerte, det øvste som a og det nedste som b. Toppflata er gitt som A av y. Skjermutklipp.

Utløpstida for å senke vasstanden i ein vasstank frå ei høgde $a$ til ei høgde $b$ er gitt ved

$T = - \int_{a}^{b} \frac{A (y)}{μ π r^{2} \sqrt{2 g y}} d y$

$μ$ er ein konstant som ofte blir kalla utstrøymingskoeffisienten. $r$ er radiusen til den sirkelforma opninga i botnen som vatnet skal ut av. $g$ er 9,8 m/s² (akselerasjonen til tyngda), og $y$ er høgda vatna står i tanken ved eit tidspunkt, $t$ .

Vidare er $a$ høgda til vatnet i tanken før tømminga startar, mens $b$ er høgda til vatnet etter at den ønskte vassmengda er tappa ut.

For å forklare kva $A (y)$ og $d y$ er, må vi tenke oss at vi plasserer eit koordinatsystem med origo i sentrum av botnen av tanken, og at vi "deler" vatnet i tanken i tynne skiver med høgde lik $d y$ . Då vil volumet av kvar "vasskive" vere gitt ved arealet av kvar skive, $A (y)$ , multiplisert med høgda, $d y$ . Arealet av ei skive vil då avhenge av radius for skiva, som vil vere gitt ved aktuell $x$ -verdi.

For at denne formelen skal kunne brukast, må $A (y)$ anten vere konstant gjennom heile figuren eller kunne beskrivast ved hjelp av eit funksjonsuttrykk.

Vi nyttar oss av ein fast verdi for utstrøymingskoeffisienten, $μ = 0, 6$ .

a) Ein vasstank har form som ein sylinder med radius lik 1 meter og høgde lik 2 meter. Kor mykje vatn inneheld tanken når han er heilt full?

b) Tanken er heilt full, og han skal tømmast gjennom ei opning i botnen av karet. Opninga er sirkelforma og har radius 0,01 m. Bruk CAS til å berekne kor lang tid tek det å tømme tanken.

c) Ein annan vasstank som òg er sylinderforma og har har radius 1 meter, er 3 meter høg og er òg full av vatn. Tømminga skjer her òg gjennom ei sirkelforma opning i botnen som har radius 0,01 meter. Bruk CAS til å finne tida det tek å senke vasstanden 2 meter i denne tanken.

d) Samanlikn resultata i a) og b). Vi tømmer ut like mykje vatn i begge tilfella, så kvifor blir tidene for tømmingane ulike?

e) Den same formelen kan òg brukast for å berekne utløpstida til eit lite basseng som har form som eit firkanta prisme og er fylt heilt opp med vatn. Botnen har sidekantar som er 3 meter og 2 meter, mens høgda i bassenget er 1,05 meter. Kor mykje vatn rommar bassenget når det er heilt fullt?

f) Avgjer kor lang tid det tek å tømme bassenget. Opninga er her òg ein sirkel med radius 0,01 meter.

g) Samanlikn tida det tek å tømme bassenget med tida det tok å tømme den sylinderforma tanken i b). Både bassenget og tanken er fylt med cirka 6 300 liter vatn og skal tømmast heilt. Kvifor er utløpstidene ulike?

Løysingar

Oppgåve 1 a)

Løysing

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{4} (x + 2) d x & = & {[\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{0}^{4} \\ = & \frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0) \\ = & 16 \end{array}$

Oppgåve 1 b)

Løysing

$\begin{array}{rcl} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x & = & {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{2} \\ = & \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} \\ = & \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \\ = & \frac{16}{3} \end{array}$

Oppgåve 1 c)

Løysing

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x & = & {[\ln |x|]}_{1}^{e} \\ = & \ln e - \ln 1 \\ = & 1 - 0 \\ = & 1 \end{array}$

Oppgåve 1 d)

Løysing

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{3} 10^{x} d x & = & {[\frac{10^{x}}{\ln 10}]}_{0}^{3} \\ = & \frac{10^{3}}{\ln 10} - \frac{10^{0}}{\ln 10} \\ = & \frac{999}{\ln 10} \end{array}$

Oppgåve 1 e)

Løysing

$\int e^{- 3 x + 7} d x$

Vi set $u = - 3 x + 7$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 3 \\ d x = - \frac{d u}{3} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int e^{- 3 x + 7} d x & = & \int e^{u} \cdot - \frac{d u}{3} \\ = & - \frac{1}{3} \int e^{u} d u \\ = & - \frac{1}{3} e^{u} + C \\ = & - \frac{1}{3} e^{- 3 x + 7} + C \end{array}$

Oppgåve 1 f)

Løysing

$\int (x^{5} \cdot e^{- 3 x^{6}} + 2) d x$

Vi bruker delvis integrasjon på det første leddet og set $u = - 3 x^{6}$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 3 \cdot 6 \cdot x^{5} \\ d x = - \frac{d u}{18 x^{5}} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int x^{5} \cdot e^{- 3 x^{6}} d x & = & \int x^{5} \cdot e^{u} \cdot - \frac{d u}{18 x^{5}} \\ = & - \frac{1}{18} \int e^{u} d u \\ = & - \frac{1}{18} e^{u} + C \\ = & - \frac{1}{18} e^{- 3 x^{6}} + C \end{array}$

Vi integrerer så heile uttrykket:

$\begin{array}{rcl} \int (x^{5} \cdot e^{- 3 x^{6}} + 2) d x & = & - \frac{1}{18} e^{- 3 x^{6}} + 2 x + C \end{array}$

Oppgåve 1 g)

Løysing

Når uttrykket er ein brøk, tenker vi ofte delbrøkoppspalting, men her kan ikkje nemnaren faktoriserast, så då er ikkje det ein mogleg veg å gå. Vi prøver derfor variabelskifte, sidan teljaren er ein grad lågare enn nemnaren.

Vi set $u = x^{5} - 5 x^{3} + 10 x - 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{rcl} \frac{d u}{d x} & = & 5 x^{4} - 15 x^{2} + 10 \\ = & 5 (x^{4} - 3 x^{2} + 2) \\ d x & = & \frac{d u}{5 (x^{4} - 3 x^{2} + 2)} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{5} - 5 x^{3} + 10 x - 2} d x & = & \int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 2}{u} \cdot \frac{d u}{5 (x^{4} - 3 x^{2} + 2)} \\ = & \frac{1}{5} \int \frac{d u}{u} \\ = & \frac{1}{5} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{5} \ln |x^{5} - 5 x^{3} + 10 x - 2| + C \end{array}$

Oppgåve 2 a)

Løysing

$\begin{array}{rcl} v & = & \frac{d s}{d t} \\ d s & = & v \cdot d t \\ \int d s & = & \int v d t \\ s & = & \int v d t \end{array}$

Oppgåve 2 b)

Løysing

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{0}^{3} (2 t + 5) d t \\ = & {[t^{2} + 5 t]}_{0}^{3} \\ = & 3^{2} + 5 \cdot 3 - (0^{2} + 5 \cdot 0) \\ = & 24 \end{array}$

Objektet flyttar seg 24 meter i det gitte tidsrommet.

Til deg som har fysikk: Korleis kan du løyse oppgåva utan å integrere?

Oppgåve 2 c)

Løysing

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{1}^{3} (6 t^{2} + 4 t) d t \\ = & {[2 t^{3} + 2 t^{2}]}_{1}^{3} \\ = & 2 {[t^{3} + t^{2}]}_{1}^{3} \\ = & 2 (3^{3} + 3^{2} - (1^{3} + 1^{2})) \\ = & 2 (27 + 9 - 2) \\ = & 68 \end{array}$

Objektet flyttar seg 68 meter i det gitte tidsrommet.

Oppgåve 2 d)

Løysing

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{4}^{9} (\sqrt{t} + 1) d t \\ = & {[\frac{2}{3} \cdot t^{\frac{3}{2}} + t]}_{4}^{9} \\ = & {[\frac{2}{3} t \cdot \sqrt{t} + t]}_{4}^{9} \\ = & \frac{2}{3} \cdot 9 \sqrt{9} + 9 - (\frac{2}{3} \cdot 4 \sqrt{4} + 4) \\ = & \frac{54}{3} + 9 - (\frac{16}{3} + 4) \\ = & \frac{53}{3} \\ \approx & 17, 67 \end{array}$

Objektet flyttar seg cirka 17,7 meter i det gitte tidsrommet.

Oppgåve 3 a)

Løysing

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{d v}{d t} \\ d v & = & a \cdot d t \\ \int d v & = & \int a d t \\ v & = & \int a d t \end{array}$

Oppgåve 3 b)

Løysing

$\begin{array}{rcl} v & = & \int a d t \\ = & \int 9, 8 d t \\ = & 9, 8 t + C \end{array}$

Til deg som har fysikk: Korleis kan du løyse oppgåva utan å integrere?

Oppgåve 3 c)

Løysing

$\begin{array}{rcl} v & = & 9, 8 t + C \\ 2 & = & 9, 8 \cdot t + C \\ C & = & 2 \end{array}$

Dette gir det følgande uttrykket for farten til objektet:

$v (t) = 9, 8 t + 2$

Oppgåve 3 d)

Løysing

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{0}^{10} v d t \\ = & \int_{0}^{10} (9, 8 t + 2) d t \\ = & {[4, 9 t^{2} + 2 t]}_{0}^{10} \\ = & 4, 9 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10 \\ = & 490 + 20 \\ = & 510 \end{array}$

Objektet flyttar seg 510 meter i det gitte tidsrommet. $\begin{array}{rcl} \end{array}$

Oppgåve 4

Løysing

CAS-vindauget i GeoGebra, to linjer. Berekning av inntekt ut frå inntektsfunksjon. I linje 1 blir funksjonen definert ved å skrive f parentes t parentes slutt kolon er lik 100 gonger e opphøgd i t delt på 9. I andre linje blir eit bestemt integral berekna ved å skrive Integral parentes f komma 0 komma 10 parentes slutt. Resultatet blir tilnærma lik 1834. Skjermutklipp.

Den samla inntekta dei neste 10 åra vil vere cirka 1 834 millionar kroner.

Oppgåve 5 a)

Løysing

$\begin{array}{rcl} f & = & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = & \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} (3 x + 4) d x \\ = & \frac{1}{2} {[\frac{3}{2} x^{2} + 4 x]}_{0}^{2} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{3}{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) \\ = & \frac{1}{2} \cdot 14 \\ = & 7 \end{array}$

Oppgåve 5 b)

Løysing

Sidan funksjonen er ei rett linje, må gjennomsnittsverdien vere gjennomsnittet av funksjonsverdiane i endepunkta. Vi kan derfor òg berekne gjennomsnittsverdien som gjennomsnittet av to verdiar:

$f = \frac{f (2) + f (0)}{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7$

Oppgåve 5 c)

Løysing

$\begin{array}{rcl} f & = & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = & \frac{1}{2 - (- 1)} \int_{- 1}^{2} (x^{2} - 2 x) d x \\ = & \frac{1}{3} {[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{- 1}^{2} \\ = & \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2})) \\ = & \frac{1}{3} (\frac{8}{3} - 4 + \frac{1}{3} + 1) \\ = & 0 \end{array}$ .

Oppgåve 6 a)

Algoritme

Programmet startar med å definere funksjonen $f (x)$ .

Deretter blir informasjon om programmet gitt, før starttid, sluttid og talet på rektangel blir registrert som input frå brukar.

Breidda til kvart rektangel blir berekna ut frå differansen mellom start- og sluttid delt på talet på rektangel.

Startverdi for $x$ blir sett lik gitt starttid.

Startverdi for totalt areal blir sett lik 0.

Ei lykkje bereknar arealet av kvart rektangel og summerer desse fortløpande. $x$ -verdien blir auka med rektangelbreidda for kvar runde, og lykkja blir gjenteken så lenge verdien av $x$ er mindre enn gitt sluttid.

Etter at lykkja har stoppa, blir gjennomsnitt berekna som totalt areal delt på differansen mellom sluttid og starttid, og gjennomsnittsverdien blir skriven ut.

Oppgåve 6 b)

Program

Gjennomsnittstemperatur

1import math
2
3# Definerer funksjon
4def f(x):
5    return -0.0064*x**3+0.2368*x**2-2.0945*x+5.771
6    
7# Informasjon blir gitt
8print("Funksjonen f(x)=-0.0064x^3+0.2368x^2-2.0945x+5.771 gir temperaturen gjennom eit døgn i Stavanger.")
9print("Dette programmet gjer ei numerisk berekning av gjennomsnittsverdien")
10print("til temperaturen frå eit tidspunkt til eit anna.")
11
12x1 = int(input("Skriv inn starttid, heil time: "))
13x2 = int(input("Skriv inn sluttid, heil time: "))
14
15taletPaaRektangel = int(input("Skriv inn talet på rektangel:"))
16
17dx=(x2-x1)/taletPaaRektangel
18
19# Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x
20xVerdi=x1
21
22#Startverdi for totaltAreal
23totaltAreal=0
24
25# Lykkje som bereknar areal av kvart rektangel og summerer etter kvart
26while xVerdi<x2:
27    # bereknar høgda av rektangel
28    fx=f(xVerdi)
29    
30    # bereknar areal av rektangel
31    areal=fx*dx
32    
33    # legg til berekna areal totalt areal
34    totaltAreal=totaltAreal+areal
35    
36    # bereknar neste x-verdi
37    xVerdi=xVerdi+dx
38    
39snitt=totaltAreal/(x2-x1)
40print(f"Gjennomsnittstemperaturen frå kl. {x1} til kl. {x2} er {snitt:.1f}.")

Oppgåve 7 a)

Løysing

Sidan derivasjon og integrasjon er motsette rekneoperasjonar, kan vi finne ein kostnadsfunksjon ved å bestemme integralet av funksjonen for grensekostnadene.

Oppgåve 7 b)

Løysing

$\begin{array}{rcl} G (x) & = & 0.05 x^{2} - 7 x + 980 \\ K (x) & = & \int (0.05 x^{2} - 7 x + 980) d x \\ = & 0.05 \cdot \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} \cdot 7 x^{2} + 980 x + C \\ = & \frac{1}{60} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 980 x + C \end{array}$

Oppgåve 7 c)

Løysing

$\begin{array}{rcl} K (0) & = & 5 500 \\ \frac{1}{60} \cdot 0^{3} - \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + 980 \cdot 0 + C & = & 5 500 \\ C & = & 5 500 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} K (x) & = & \frac{1}{60} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 980 x + 5 500 \end{array}$

Oppgåve 8

Løysing

a) Oppgåva spør etter $f (30) = 0, 388$ , sjå linje 2 i CAS-utklippet nedanfor. 30 sekund etter at pumpa er slått på, pumpar ho 0,39 L/s.

b) Vi må finne ut kva verdi funksjonen går mot når $t$ blir stor. Oppgåva spør etter $\lim_{t \to \infty} f (t) = 0, 5$ , sjå linje 3 i CAS-utklippet nedanfor. Etter at pumpa har vorte varm, klarer ho å pumpe 0,5 L/s.

c) Oppgåva spør etter samla mengde når $t \in [0, 60]$ , som betyr integralet av funksjonen frå 0 til 60. Sjå linje 4 i CAS-utklippet. I løpet av det første minuttet klarer pumpa å pumpe 20,5 L.

d) Oppgåva spør etter kva den øvre integrasjonsgrensa skal vere for at integralet av funksjonen frå 0 og oppover skal bli 500. Sjå linje 5 og 6 i CAS-utklippet. Pumpa må stå på i 17 minutt for å fylle tanken på 500 L.

CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er det skrive f av t kolon er lik 0,5 multiplisert med parentes 1 minus e opphøgd i minus 0,05 t. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive f av 30. Svaret med tilnærming er 0,388. På linje 3 er det skrive Grenseverdi parentes f av t komma, uendeleg parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,5. På linje 4 er det skrive Integral parentes f komma, 0 komma, 60 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 20,498. På linje 5 er det skrive Integral parentes f komma, 0 komma, t parentes slutt er lik 500. Svaret med "N Løys" er t er lik 1020. På linje 6 er det skrive 1020 delt på 60. Svaret med tilnærming er 17. Skjermutklipp.

Oppgåve 9 a)

Løysing

$V = π r^{2} h = (π \cdot 1^{2} \cdot 2) m^{3} = 2 π m^{3} \approx 6 280 {dm}^{3}$

Vasstanken inneheld cirka 6 280 liter vatn når han er full.

Oppgåve 9 b)

Løysing

Vi set inn verdiane i uttrykket for utløpstida:

$\begin{array}{rcl} T & = & - \int_{a}^{0} \frac{A (y)}{μ π r^{2} \sqrt{2 g y}} d y \\ = & - \int_{2}^{0} \frac{π \cdot 1^{2}}{0, 6 π {(0, 01)}^{2} \sqrt{2 \cdot 9, 81} \cdot \sqrt{y}} d y \\ = & - \int_{2}^{0} \frac{1}{0, 6 \cdot {(0, 01)}^{2} \sqrt{2 \cdot 9, 81} \cdot \sqrt{y}} d y \end{array}$

Det bestemde integralet blir berekna i CAS:

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Berekning av utløpstid for vatn frå sylinder. Det er skrive T kolon er lik minus integral frå 2 til 0 gonger 1 delt på nemnar start 0,6 gonger 0,01 opphøgd i andre gonger kvadratrot 2 gonger 9,81 kvadratrot slutt gonger kvadratrot y nemnar slutt dy. Resultatet blir 10642,51. Skjermutklipp.

Det tek 10 642 sekund å tømme vasstanken, det vil seie cirka 3 timar.

Oppgåve 9 c)

Løysing

$μ = 0, 6$ . $r = 0, 01$ .

Radius for tanken lik 1 meter gir $A (y) = π \cdot 1^{2} = π$ .

Vasstanden skal senkast frå $a = 3 m$ til $b = 1 m$ .

Vi set inn verdiane i uttrykket for utløpstida:

$\begin{array}{rcl} T & = & - \int_{a}^{b} \frac{A (y)}{μ π r^{2} \sqrt{2 g y}} d y \\ = & - \int_{3}^{1} \frac{π}{0, 6 π {(0, 01)}^{2} \sqrt{2 \cdot 9, 81} \cdot \sqrt{y}} d y \\ = & - \int_{3}^{1} \frac{1}{0, 6 \cdot {(0, 01)}^{2} \sqrt{2 \cdot 9, 81} \cdot \sqrt{y}} d y \end{array}$

Det bestemde integralet blir berekna i CAS:

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Berekning av utløpstid for vatn frå sylinder. Det står T kolon er lik minus integral parentes 1 delt på nemnar start 0,6 gonger 0,01 opphøgd i andre gonger kvadratrot 2 gonger 9,81 kvadratrot slutt gonger kvadratrot y nemnar slutt komma 3 komma 1 parentes slutt. Resultatet blir tilnærma lik 5509. Skjermutklipp.

Det tek 5 509 sekund å tømme tanken, det vil seie cirka 1,5 time.

Oppgåve 9 d)

Løysing

Vi ser at det tek kortare tid å senke vasstanden i tanken som er tre meter høg. Dette kjem av at det verkar eit større trykk på vatnet som skal ut av denne tanken, sidan tanken inneheld meir vatn totalt.

Oppgåve 9 e)

Løysing

$V = l \cdot b \cdot h = (3 \cdot 2 \cdot 1, 05) m^{3} = 6, 3 m^{3} = 6 300 {dm}^{3}$

Bassenget rommar 6 300 liter når det er heilt fullt.

Oppgåve 9 f)

Løysing

$μ = 0, 6$ . $r = 0, 01$ .

Arealet av botnflata, $A (y) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Vasstanden skal senkast frå $a = 1, 05 m$ til $b = 0 m$ .

Vi set inn verdiane i uttrykket for utløpstida:

$\begin{array}{rcl} T & = & - \int_{1, 5}^{0} \frac{A (y)}{μ π r^{2} \sqrt{2 g y}} d y \\ = & - \int_{1, 5}^{0} \frac{6}{0, 6 π {(0, 01)}^{2} \sqrt{2 \cdot 9, 81} \cdot \sqrt{y}} d y \end{array}$

Det bestemde integralet blir berekna i CAS:

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Berekning av utløpstid for vatn frå prismeforma tank. Det står T kolon er lik minus integral parentes 6 delt på nemnar start 0,6 gonger pi gonger 0,01 opphøgd i andre gonger kvadratrot 2 gonger 9,81 kvadratrot slutt gonger kvadratrot y nemnar slutt komma 1,05 komma 0 parentes slutt. Skjermutklipp.

Det tek 14 727 sekund å tømme det prismeforma bassenget, det vil seie cirka 4 timar.

Oppgåve 9 g)

Løysing

Vi har den same mengda vatn i bassenget og i sylinderen, men vatnet i bassenget fordeler seg over ei større flate enn vatnet i sylinderen. Dette gjer at vatnet i sylinderen har større statisk trykk (på grunn av tyngdekrafta) sidan det har større høgde, og vatnet blir derfor pressa ut av den sylinderforma tanken med større trykk enn det som er tilfellet i bassenget. Det går derfor raskast å tømme den sylinderforma tanken.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Integrasjon – blanda oppgåver(DOCX)
Integrasjon – blanda oppgåver(PDF)