Logaritmelikninger

Hvordan løser vi lgx = 2?

Hvis vi finner at $\lg x=2$, og vår oppgave er å finne x, utnytter vi det faktum at hvis to uttrykk er like, så er 10 opphøyd i uttrykkene også like. Videre bruker vi definisjonen på logaritmer for å finne den ukjente.

Vi må alltid huske at vi bare kan finne logaritmer til positive tall. Samtidig kan selve logaritmen til et tall være negativ fordi alle tall mellom 0 og 1 har negativ logaritme.

Eksempel 1

Vi skal løse likningen

$\lg x=2$

Vi slår først fast at x må være større enn 0. Vi setter 10 opphøyd i det som står på venstre side lik 10 opphøyd i det som står på høyre side.

${10}^{\lg x}={10}^2$

Vi bruker definisjonen på logaritmer og forenkler venstre side. Resultatet blir

$x=100$

Vi kontrollerer at løsningen kan brukes, og det kan den siden 100 er større enn 0.

Eksempel 2

Vi skal løse likningen

$\lg x^2+2\lg x-2=0$

Vi slår fast at x må være større enn 0 på grunn av logaritmeuttrykket i det andre leddet ($2\lg x$). Vi bruker tredje logaritmesetning på det første leddet og trekker sammen og forenkler.

$\begin{array}{rcl}2\lg x+2\lg x & =& 2\\ 4\lg x & =& 2\\ \lg x & =& \frac{2}{4}\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$

Så bruker vi først at to tierpotenser er like, og forenkler venstre side ved hjelp av definisjonen på logaritmer.

$\begin{array}{rcl}{10}^{\lg x} & =& \sqrt{10}\\ x & =& \sqrt{10}\end{array}$

Løsningen kan brukes siden $\sqrt{10}$ er større enn 0.

Vi kan løse logaritmelikninger med CAS i GeoGebra på vanlig måte:

Husk å bruke parenteser når du bruker funksjonene "lg" og "ln" i GeoGebra.

Eksempel 3

Vi skal løse likningen

$\lg (x+2)-\lg 2=2$

På grunn av det første logaritmeuttrykket får vi at $x>-2$. Vi bruker andre logaritmesetning baklengs og får

$\lg \left(\frac{x+2}{2}\right)=2$

Igjen bruker vi at to tierpotenser med like eksponenter er like, og definisjonen på logaritmer:

$\begin{array}{rcl}{10}^{\lg \left(\frac{x+2}{2}\right)} & =& {10}^2\\ \frac{x+2}{2} & =& 100\\ x+2 & =& 200\\ x & =& 198\end{array}$

Løsningen kan brukes siden 198 er større enn $-2$.

Eksempel 4

I det siste eksempelet skal vi løse likningen

$\lg x+\lg \left(x-1\right)=\lg 6$

Fra det første leddet har vi at $x>0$. Fra det andre leddet har vi at $x>1$. De mulige løsningene av likningen må derfor oppfylle kravet $x>1$.

Vi starter med å slå sammen de to første leddene ved å bruke den første logaritmesetningen baklengs. Hele løsningen blir

$\begin{array}{rcl}\lg x+\lg \left(x-1\right) & =& \lg 6\\ \lg \left(x\left(x-1\right)\right) & =& \lg 6\\ {10}^{\lg \left(x\left(x-1\right)\right)} & =& {10}^{\lg 6}\\ x\left(x-1\right) & =& 6\\ x^2-x-6 & =& 0\\ \left(x+2\right)\left(x-3\right) & =& 0\\ x & =& -2 \vee x=3\end{array}$

Siden vi har kravet $x>1$, kan vi bare ha løsningen $x=3$.