Logaritmelikningar

Korleis løyser vi lgx = 2?

Om vi finn at $\lg x=2$, og oppgåva vår er å finne x, utnyttar vi det faktumet at viss to uttrykk er like, så er 10 opphøgd i uttrykka òg like. Vidare bruker vi definisjonen på logaritmar for å finne den ukjende.

Vi må alltid hugse at vi berre kan finne logaritmar til positive tal. Samtidig kan sjølve logaritmen til eit tal vere negativ fordi alle tal mellom 0 og 1 har negativ logaritme.

Døme 1

Vi skal løyse likninga

$\lg x=2$

Vi slår først fast at x må vere større enn 0. Vi set 10 opphøgd i det som står på venstre side lik 10 opphøgd i det som står på høgre side.

${10}^{\lg x}={10}^2$

Vi bruker definisjonen på logaritmar og forenklar venstre side. Resultatet blir

$x=100$

Vi kontrollerer at løysinga kan brukast, og det kan den sida 100 er større enn 0.

Døme 2

Vi skal løyse likninga

$\lg x^2+2\lg x-2=0$

Vi slår fast at x må vere større enn 0 på grunn av logaritmeuttrykket i det andre leddet ($2\lg x$). Vi bruker tredje logaritmesetning på det første leddet og trekker saman og forenklar.

$\begin{array}{rcl}2\lg x+2\lg x & =& 2\\ 4\lg x & =& 2\\ \lg x & =& \frac{2}{4}\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$

Så bruker vi først at to tiarpotensar er like, og forenklar venstre side ved hjelp av definisjonen på logaritmar.

$\begin{array}{rcl}{10}^{\lg x} & =& \sqrt{10}\\ x & =& \sqrt{10}\end{array}$

Løysinga kan brukast sidan $\sqrt{10}$ er større enn 0.

Vi kan løyse logaritmelikningar med CAS i GeoGebra på vanleg måte:

Hugs å bruke parentesar når du bruker funksjonane "lg" og "ln" i GeoGebra.

Døme 3

Vi skal løyse likninga

$\lg (x+2)-\lg 2=2$

På grunn av det første logaritmeuttrykket får vi at $x>-2$. Vi bruker andre logaritmesetning baklengs og får

$\lg \left(\frac{x+2}{2}\right)=2$

Igjen bruker vi at to tiarpotensar med like eksponentar er like, og definisjonen på logaritmar:

$\begin{array}{rcl}{10}^{\lg \left(\frac{x+2}{2}\right)} & =& {10}^2\\ \frac{x+2}{2} & =& 100\\ x+2 & =& 200\\ x & =& 198\end{array}$

Løysinga kan brukast sidan 198 er større enn $-2$.

Døme 4

I det siste dømet skal vi løyse likninga

$\lg x+\lg \left(x-1\right)=\lg 6$

Frå det første leddet har vi at $x>0$. Frå det andre leddet har vi at $x>1$. Dei moglege løysingane av likninga må derfor oppfylle kravet $x>1$.

Vi startar med å slå saman dei to første ledda ved å bruke den første logaritmesetninga baklengs. Heile løysinga blir

$\begin{array}{rcl}\lg x+\lg \left(x-1\right) & =& \lg 6\\ \lg \left(x\left(x-1\right)\right) & =& \lg 6\\ {10}^{\lg \left(x\left(x-1\right)\right)} & =& {10}^{\lg 6}\\ x\left(x-1\right) & =& 6\\ x^2-x-6 & =& 0\\ \left(x+2\right)\left(x-3\right) & =& 0\\ x & =& -2 \vee x=3\end{array}$

Sidan vi har kravet $x>1$, kan vi berre ha løysinga $x=3$.