Den deriverte til eksponentialfunksjonen

En eksponentialfunksjon er en funksjon gitt på formen

$f\left(x\right)=k·a^x$

der variabelen $x$ opptrer som eksponent i en potens. Grunntallet i eksponenten $a$ er en konstant større enn null, og $k$ er en konstant.

Det er et tall som peker seg spesielt ut som grunntall i eksponentialfunksjonen, og det er tallet

$e=2,718 281 828 549....$

Utforsk

På figuren under ser du den blå grafen til funksjonen $$ f$$ gitt ved $$ f\left(x\right)=e^x$$. Her er det et svart punkt som du kan trekke opp eller ned langs grafen. Den stiplede linja viser tangenten til punktet på grafen.

1. Dra i punktet på figuren over, og observer koordinatene til punktet og likningen til tangenten. Ser du noen sammenheng?

   Vi observerer

   Vi ser at andrekoordinaten til punktet er det samme som stigningstallet til tangenten i punktet. $$ f\left(x\right)$$ er jo andrekoordinaten til punktet $$ x$$, og stigningstallet til tangenten er den deriverte til $$ f$$.

2. Hvordan kan du beskrive det du fant over rent matematisk?

Konklusjonen blir at eksponentialfunksjonen $f$ gitt ved $f\left(x\right)=e^x$ er lik sin egen deriverte:

$$ f\left(x\right)=e^x\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=e^x$$

Dette gjør tallet $e$ til et av de viktigste tallene i matematikken. Husk at tallet $e$ også er grunntallet til den naturlige logaritmen.

Legg også merke til at når $f\left(x\right)=k{e}^x$, der $k$ er en konstant, er $f^{\text{'}}\left(x\right)=k{e}^x$.

Hva gjør vi når eksponenten er en funksjon av x?

Når eksponenten er en funksjon av $x$, bruker vi kjerneregelen, for eksempel slik:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & e^{4x}\\ & & \\ g\left(u\right)& =& e^u u=4x\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& e^u u^{\text{'}}\left(x\right)=4\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& e^{4x}·4\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 4e^{4x}\end{array}$$

Hva gjør vi når grunntallet ikke er e?

Definisjonen av den naturlige logaritmen sier at ethvert tall $a>0$ kan skrives som $e$ opphøyd i logaritmen til $a$: $a=e^{\ln a}$.

Det gir at

$a^x={\left(e^{\ln a}\right)}^x=e^{x\ln a}$

Så bruker vi kjerneregelen:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & a^x=e^{x\ln a}\\ & & \\ g\left(u\right)& =& e^u u=x\ln a\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& e^u u^{\text{'}}\left(x\right)=\ln a\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ & =& e^{x\ln a}·\ln a\\ & & \\ & =& {\left(e^{\ln a}\right)}^x·\ln a\\ & & \\ & =& a^x·\ln a\end{array}$$

Vi får følgende derivasjonsregel for eksponentialfunksjoner:

$$ f\left(x\right)=a^x\begin{array}{ccc}& & \end{array}a>0\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=a^x·\ln a$$

Eksempel 1

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 5^x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 5^x\ln 5\end{array}$

Eksempel 2

$$ \begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & 3^{4x}\\ & & \\ g\left(u\right)& =& 3^u u=4x\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& 3^u·\mathrm{ln3} u^{\text{'}}\left(x\right)=4\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 3^{4x}·\mathrm{ln3}·4\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 4·3^{4x}·\mathrm{ln3} \end{array}$$