Den deriverte til eksponentialfunksjonen

Ein eksponentialfunksjon er ein funksjon gitt på forma

$f\left(x\right)=k·a^x$

der variabelen $x$ opptrer som eksponent i ein potens. Grunntalet i eksponenten $a$ er ein konstant større enn null, og $k$ er ein konstant.

Det er eit tal som peiker seg spesielt ut som grunntal i eksponentialfunksjonen, og det er talet

$e=2,718 281 828 549....$

Utforsk

På figuren under ser du den blå grafen til funksjonen $$ f$$ gitt ved $$ f\left(x\right)=e^x$$. Her er det eit svart punkt som du kan trekkje opp eller ned langs grafen. Den stipla linja viser tangenten til punktet på grafen.

1. Dra i punktet på figuren over, og observer koordinatane til punktet og likninga til tangenten. Ser du nokon samanheng?

   Vi observerer

   Vi ser at andrekoordinaten til punktet er det same som stigingstalet til tangenten i punktet. $$ f\left(x\right)$$ er jo andrekoordinaten til punktet $$ x$$, og stigingstalet til tangenten er den deriverte til $$ f$$.

2. Korleis kan du beskrive det du fann over reint matematisk?

Konklusjonen blir at eksponentialfunksjonen $f$ gitt ved $f\left(x\right)=e^x$ er lik sin eigen deriverte:

$$ f\left(x\right)=e^x\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=e^x$$

Dette gjer talet $e$ til eit av dei viktigaste tala i matematikken. Hugs at talet $e$ òg er grunntalet til den naturlege logaritmen.

Legg òg merke til at når $f\left(x\right)=k{e}^x$, der $k$ er ein konstant, er $f^{\text{'}}\left(x\right)=k{e}^x$.

Kva gjer vi når eksponenten er ein funksjon av x?

Når eksponenten er ein funksjon av $x$, bruker vi kjerneregelen, til dømes slik:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & e^{4x}\\ & & \\ g\left(u\right)& =& e^u u=4x\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& e^u u^{\text{'}}\left(x\right)=4\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& e^{4x}·4\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 4e^{4x}\end{array}$$

Kva gjer vi når grunntalet ikkje er e?

Definisjonen av den naturlege logaritmen seier at kvart tal $a>0$ kan skrivast som $e$ opphøgd i logaritmen til $a$: $a=e^{\ln a}$.

Det gir at

$a^x={\left(e^{\ln a}\right)}^x=e^{x\ln a}$

Så bruker vi kjerneregelen:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & a^x=e^{x\ln a}\\ & & \\ g\left(u\right)& =& e^u u=x\ln a\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& e^u u^{\text{'}}\left(x\right)=\ln a\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ & =& e^{x\ln a}·\ln a\\ & & \\ & =& {\left(e^{\ln a}\right)}^x·\ln a\\ & & \\ & =& a^x·\ln a\end{array}$$

Vi får følgjande derivasjonsregel for eksponentialfunksjonar:

$$ f\left(x\right)=a^x\begin{array}{ccc}& & \end{array}a>0\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=a^x·\ln a$$

Døme 1

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 5^x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 5^x\ln 5\end{array}$

Døme 2

$$ \begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & 3^{4x}\\ & & \\ g\left(u\right)& =& 3^u u=4x\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& 3^u·\mathrm{ln3} u^{\text{'}}\left(x\right)=4\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 3^{4x}·\mathrm{ln3}·4\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 4·3^{4x}·\mathrm{ln3} \end{array}$$