Volum og buelengde

Hvis vi deler et egg med en eggdeler, får vi parallelle skiver med samme tykkelse, men med ulik størrelse på den sirkelformede flaten. Hver enkelt skive får tilnærmet form som en sylinder med veldig liten høyde. Summen av volumene til alle skivene er lik volumet til egget.

Dette prinsippet vil gjelde for alle romfigurer.

Av figuren har vi at $A\left(x\right)·∆x$ er en tilnærmingsverdi for volumet av en skive. En tilnærmingsverdi for det samlede volumet av det eggeformede legemet på figuren kan vi derfor finne ved å summere volumet av alle skivene. Når $∆x$ blir veldig liten, nærmer denne summen seg volumet av egget – og samtidig et integral.

Volumet av ei kule

Vi kan bruke dette til å vise at volumet av ei kule er gitt ved

$$ V_{kule}=\frac{4}{3}\pi r^3$$

I figuren har vi tegnet ei kule med radius $r$.

Vi har markert en snittflate i kula i avstand $$ x$$ fra kulas sentrum. Snittflaten har form som en sirkel, og radius i denne sirkelen kaller vi $r_x$.

Arealet av snittsirkelen er vil da være gitt ved

$$ A\left(x\right)=\pi {r_x}^2$$

Vi bruker Pytagoras’ setning og finner $r_x$ uttrykt ved $r$ og $x$.

$$ \begin{array}{rcl}{r_x}^2& = & r^2-x^2\\ r_x& =& \sqrt{r^2-x^2}\end{array}$$

Dette gjør at hvis vi velger ulike $$ x$$-verdier i området $$ -r\le x\le r$$, vil vi kunne beregne $$ r_x$$.

Arealet av snittflaten er dermed gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}A\left(x\right)& = & \pi ·{r_x}^2\\ & & \\ & =& \pi ·{\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)}^2\\ & & \\ & =& \pi \left(r^2-x^2\right)\end{array}$$

Hvis vi deler kula i sylinderformede skiver, vil volumet av hver skive bli

$$ \begin{array}{rcl}{V}_{skive} & =& A\left(x\right)·∆x\\ & =& \pi \left(r^2-x^2\right)·∆x\end{array}$$

Dette uttrykket kan brukes til å beregne volumet av ei kule numerisk, og da er programmering et godt verktøy. Vi kan lage et program som beregner volumet av hver slik skive med høyde $$ ∆x$$ og summerer disse for å få en tilnærmingsverdi til det totale volumet. Jo mindre $$ ∆x$$ er, jo nærmere blir tilnærmingsverdien det faktiske volumet. Dette skal vi prøve ut i oppgavene.

Vi fortsetter beviset ved å omforme uttrykket slik at vi kan bruke integrasjon.

$$ \begin{array}{rcl}{V}_{kule}& = & {\int }_{-r}^r\pi \left(r^2-x^2\right) dx\\ & & \\ & =& {\int }_{-r}^r\pi r^2 dx-{\int }_{-r}^r\pi x^2 dx\\ & & \\ & =& \pi r^2{\int }_{-r}^{r}1 dx-\pi {\int }_{-r}^r{x}^2 dx\\ & & \\ & =& \pi r^2·{\left[x\right]}_{-r}^r-\pi {\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_{-r}^r\\ & & \\ & =& \pi r^2·\left(r-\left(-r\right)\right)-\pi ·\left(\frac{1}{3}{r}^3-\left(-\frac{1}{3}{r}^3\right)\right)\\ & & \\ & =& \pi r^3+\pi r^3-\left(\frac{\pi r^3}{3}+\frac{\pi r^3}{3}\right)\\ & & \\ & =& \frac{3\pi r^3+3\pi r^3-\pi r^3-\pi r^3}{3}\\ & & \\ & =& \frac{4\pi r^3}{3}\end{array}$$

Hvor lang er en graf fra ett punkt på grafen til et annet? Dette er en enkel beregning hvis grafen er ei rett linje, men vanskeligere hvis grafen er buet. Vi skal ta for oss hvordan vi ved hjelp av integrasjon kan utlede en formel for lengden til en del av en graf. Vi kaller en slik lengde for buelengde.

Vi ønsker å utlede en formel for beregning av buelengden til grafen til en kontinuerlig funksjon fra et punkt $$ A$$ til et punkt $$ B$$ på grafen, det vil si fra $$ x=x_1$$ til $$ x=x_2$$.

Vi setter punkter langs grafen og trekker rette linjer mellom punktene. Disse linjestykkene vil være en tilnærming til grafen i området mellom $$ A$$ og $$ B$$. Hvis vi summerer lengdene av alle linjestykkene, vil vi få en tilnærmet verdi for buelengden fra $$ A$$ til $$ B$$.

Lengden av hvert linjestykke kaller vi $$ ∆s$$, og som figuren over viser, vil vi kunne se på et slikt linjestykke som hypotenusen i en rettvinklet trekant, der $$ ∆x$$ og $$ ∆y$$ er kateter i trekanten. Legg merke til at $$ ∆x$$ er endring i $$ x$$-verdi mellom punktene på grafen.

Vi har da følgende sammenheng:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(∆s\right)}^2 & =& {\left(∆x\right)}^2+{\left(∆y\right)}^2\\ ∆s & =& \sqrt{{\left(∆x\right)}^2+{\left(∆y\right)}^2}\end{array}$$

Uttrykket for lengden av et linjestykke mellom to punkter på grafen, kan brukes for å beregne buelengde numerisk ved hjelp av programmering. Vi kan lage et program der vi angir en funksjon, startverdi, sluttverdi og hvor stor $$ \begin{array}{rcl}& & ∆\end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}$$ skal være. Programmet "deler" grafen i linjestykker og beregner lengden av hvert av linjestykkene. Ved å summere disse lengdene vil programmet kunne gi en tilnærmet buelengde. Jo mindre vi setter $$ \begin{array}{rcl}& & ∆\end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}$$, jo nærmere blir tilnærmingen den faktiske buelengden. Dette skal vi prøve ut i oppgavene.

Vi gjør en omforming av likningen for å nærme oss integralregning:

$$ \begin{array}{rcl}∆s& =& \sqrt{\left(1+\frac{{\left(∆y\right)}^2}{{\left(∆x\right)}^2}\right){\left(∆x\right)}^2}\\ & & \\ & =& \sqrt{1+{\left(\frac{∆y}{∆x}\right)}^2}·∆x\end{array}$$

Uttrykket $$ \frac{∆y}{∆x}$$er den momentane vekstfarten i et punkt når $$ ∆x\to 0$$, og dermed har vi at

$$ \begin{array}{rcl}∆s& =& \sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}∆x\end{array}$$

Som tidligere nevnt er summen av alle linjestykkene en tilnærmet verdi for buelengden. Ved å la $$ ∆x$$ gå mot null vil denne tilnærmingen gå mot den eksakte verdien av buelengden.

Ut fra dette får vi følgende uttrykk for beregning av buelengde:

$$ s=\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _a^b∆s={\int }_a^b\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}dx$$

Omkretsen til en sirkel

Vi vet at omkretsen av en sirkel er definert ved $$ O=2\pi r$$. Vi kan bevise denne sammenhengen ved hjelp av uttrykket for beregning av buelengde.

En sirkel er gitt ved $$ x^2+y^2=r^2$$, der $$ r$$ er radius i sirkelen.

Dette gir $$ y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$$.

Hvis vi bruker funksjonen $$ y=\sqrt{r^2-x^2}$$ , der $$ x\in \left[0,r\right]$$, har vi en kontinuerlig funksjon som er deriverbar i definisjonsområdet, og som representerer $$ \frac{1}{4}$$ av en sirkel med radius lik $$ r$$, siden vi bare tar med positive $$ x$$-verdier.

$$ y = \sqrt{r^2-x^2}$$

Vi deriverer og får

$$ \begin{array}{rcl}\frac{dy}{dx} & =& \frac{1}{2\sqrt{r^2-x^2}}·-2x\\ & =& -\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}\end{array}$$

Vi kan nå sette inn i formelen for buelengde:

$$ \begin{array}{rcl}s & =& {\int }_a^b\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}dx \\ & =& {\int }_0^r\sqrt{1+{\left(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)}^2}dx\\ & =& {\int }_0^r\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx\\ & =& {\int }_0^r\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx\\ & =& {\int }_0^r\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx\\ & =& r{\int }_0^r\frac{1}{\sqrt{r^2-x^2}}dx\end{array}$$

Integranden minner om den deriverte til $$ \arcsin x$$, og vi bruker dette videre i løsningen.

$$ \begin{array}{rcl}s & =& r{\int }_0^r\frac{1}{\sqrt{r^2\left(1-{\displaystyle \frac{x^2}{r^2}}\right)}}dx\\ & =& \frac{r}{r}{\int }_0^r\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{\left(1-{\left(\frac{x}{r}\right)}^2\right)}}}dx\\ & =& {\int }_0^r\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{\left(1-{\left(\frac{x}{r}\right)}^2\right)}}}dx\end{array}$$

Vi bruker nå integrasjon ved variabelskifte for å bestemme integralet:

$$ \begin{array}{l}u\end{array} \begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{l} \left(\frac{x}{r}\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{du}{dx} & =& \frac{1}{r}\\ dx & =& du·r\end{array}$$

Vi setter inn $$ u$$ og $$ \frac{du}{dx}$$:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\begin{array}{ccl}s& =& {\int }_0^r\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{\left(1-u^2\right)}}}du·r\\ & =& r{\int }_0^r\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{\left(1-u^2\right)}}}du\\ & =& r{\left[\arcsin u\right]}_0^r\\ & =& r·{\left[\arcsin \frac{x}{r}\right]}_0^r\\ & =& r·\left(\arcsin \frac{r}{r}-\arcsin \frac{0}{r}\right)\\ & =& r·\left(\arcsin 1-\arcsin 0\right)\\ & =& r·\frac{\mathrm{\pi }}{2}\end{array}\end{array}\begin{array}{l} \end{array} \\ \end{gathered}$$

Omkretsen til $$ \frac{1}{4}$$ av sirkelen er ut fra dette lik $$ \frac{\mathrm{\pi }}{2}·r$$, noe som gir at omkretsen av hele sirkelen er $$ 4·\frac{\mathrm{\pi }}{2}·r=2\pi r$$.