Oppgave

Regning med vektorer på koordinatform

Her kan du regne med vektorer på koordinatform.

4.2.10

Gitt vektorene $\vec{a} = [2, 3], \vec{b} = [- 3, 5] og \vec{c} = [- 1, - 6]$

Finn:

$\begin{array}{l} a) \vec{a} + \vec{b} \\ b) \vec{a} - \vec{b} \\ c) \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \\ d) \vec{c} - \vec{b} - \vec{a} \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} a) \vec{a} + \vec{b} & = & [2, 3] + [- 3, 5] \\ = & [2 - 3, 3 + 5] \\ = & [- 1, 8] \\ b) \vec{a} - \vec{b} & = & [2, 3] - [- 3, 5] \\ = & [2 - (- 3), 3 - 5] \\ = & [5, - 2] \\ c) \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = & [2, 3] + [- 3, 5] + [- 1, - 6] \\ = & [2 - 3 - 1, 3 + 5 - 6] \\ = & [- 2, 2] \\ d) \vec{c} - \vec{b} - \vec{a} & = & [- 1, - 6] - [- 3, 5] - [2, 3] \\ = & [- 1 + 3 - 2, - 6 - 5 - 3] \\ = & [0, - 14] \end{array}$

4.2.11

a) Uttrykk vektorene i oppgave 4.2.10 ved hjelp av enhetsvektorene.

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{a} = [2, 3] = 2 \cdot \vec{e_{x}} + 3 \cdot \vec{e_{y}} \\ \vec{b} = [- 3, 5] = - 3 \cdot \vec{e_{x}} + 5 \vec{e_{y}} \\ \vec{c} = [- 1, - 6] = - 1 \cdot \vec{e_{x}} - 6 \vec{e_{y}} = - \vec{e_{x}} - 6 \vec{e_{y}} \end{array}$

b) Gjør utregningene i 4.2.10 a) og c) med de uttrykkene du får. Sjekk at du får de samme resultatene!

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{a} + \vec{b} & = & (2 \vec{e_{x}} + 3 \vec{e_{y}}) + (- 3 \vec{e_{x}} + 5 \vec{e_{y}}) \\ = & 2 \vec{e_{x}} + 3 \vec{e_{y}} - 3 \vec{e_{x}} + 5 \vec{e_{y}} \\ = & - \vec{e_{x}} + 8 \vec{e_{y}} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = & (2 \vec{e_{x}} + 3 \vec{e_{y}}) + (- 3 \vec{e_{x}} + 5 \vec{e_{y}}) + (- \vec{e_{x}} - 6 \vec{e_{y}}) \\ = & 2 \vec{e_{x}} + 3 \vec{e_{y}} - 3 \vec{e_{x}} + 5 \vec{e_{y}} - \vec{e_{x}} - 6 \vec{e_{y}} \\ = & - 2 \vec{e_{x}} + 2 \vec{e_{y}} \end{array}$

4.2.12

Vi har fortsatt gitt vektorene $\vec{a} = [2, 3], \vec{b} = [- 3, 5] og \vec{c} = [- 1, - 6]$

Regn ut:

a) $3 \vec{a} + 2 \vec{b} - 4 \vec{c}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 \vec{a} + 2 \vec{b} - 4 \vec{c} & = & 3 [2, 3] + 2 [- 3, 5] - 4 [- 1, - 6] \\ = & [6, 9] + [- 6, 10] - [- 4, - 24] \\ = & [6 - 6 + 4, 9 + 10 + 24] \\ = & [4, 43] \end{array}$

b) $- 5 \vec{a} + 3 \vec{c} - 4 \vec{b}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rcl} - 5 \vec{a} + 3 \vec{c} - 4 \vec{b} & = & - 5 [2, 3] + 3 [- 1, - 6] - 4 [- 3, 5] \\ = & [- 10, - 15] + [- 3, - 18] - [- 12, 20] \\ = & [- 10 - 3 + 12, - 15 - 18 - 20] \\ = & [- 1, - 53] \end{array} \end{array}$