Oppgave

Dekomponering av vektorer

Her kan du øve på å dekomponere vektorer, det vil si å skrive vektorer som vektorsummer.

Det er bilde av seks vektorer. u-vektor går to skritt rett opp. v-vektor går seks skritt rett opp. w-vektor går ett og et halvt skritt rett til høyre. c-vektor går tre skritt til høyre og fire skritt ned. d-vektor går seks skritt til høyre og fire skritt opp. e-vektor går seks skritt til høyre og ett skritt ned. Skjermutklipp.

4.2.50

Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [0, 2] og \vec{b} = [3, 0]$ .

a) Bruk disse vektorene til å dekomponere vektorene på bildet til høyre.

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{u} = [0, 2] = \vec{a} \\ \vec{v} = [0, 6] = 3 \vec{a} \\ \vec{w} = [\frac{3}{2}, 0] = \frac{1}{2} \vec{b} \\ \vec{c} = [3, - 4] = - 2 \vec{a} + \vec{b} \\ \vec{d} = [6, 4] = 2 \vec{a} + 2 \vec{b} \\ \vec{e} = [6, - 1] = - \frac{1}{2} \vec{a} + 2 \vec{b} \end{array}$

b) Bruk disse vektorene til å dekomponere vektorene nedenfor:

$\begin{array}{l} 1) [3, 2] \\ 2) [2, 3] \\ 3) [6, 1] \\ 4) [- 9, 8] \\ 5) [3, - 12] \\ 6) [- 6 000, - 10 000] \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{l} 1) [3, 2] = [0, 2] + [3, 0] = \vec{a} + \vec{b} \\ 2) [2, 3] = [0, 3] + [2, 0] = \frac{3}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} \\ 3) [6, 1] = [0, 1] + [6, 0] = \frac{1}{2} \vec{a} + 2 \vec{b} \\ 4) [- 9, 8] = [0, 8] + [- 9, 0] = 4 \vec{a} - 3 \vec{b} \\ 5) [3, - 12] = [0, - 12] + [3, 0] = - 6 \vec{a} + \vec{b} \\ 6) [- 6 000, - 10 000] = [0, - 10 000] + [- 6 000, 0] = - 5 000 \vec{a} - 2 000 \vec{b} \end{array}$

4.2.51

Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [2, 1] og \vec{b} = [1, 3]$ .

a) Bruk disse vektorene til å dekomponere vektorene $\vec{u}, \vec{v} og \vec{w}$ på bildet i oppgave 4.2.50.

Løsning

Vi har at vektorsummene skal være $t \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} = [2 t, t] + [s, 3 s] = [2 t + s, t + 3 s]$ .

Vi løser vektorlikninger for å finne dekomponeringene:

$\begin{array}{rcl} \vec{u} & = & t \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} \\ [0, 2] & = & [2 t + s, t + 3 s] \\ 2 t + s & = & 0 \\ s & = & - 2 t \\ 2 & = & t + 3 s \\ 2 & = & t + 3 \cdot (- 2 t) \\ 2 & = & - 5 t \\ t & = & - \frac{2}{5} \\ s & = & - 2 \cdot (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} \\ \vec{u} & = & - \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \vec{v} & = & 3 \vec{u} \\ = & 3 \cdot (- \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b}) \\ = & - \frac{6}{5} \vec{a} + \frac{12}{5} \vec{b} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \vec{w} & = & t \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} \\ [\frac{3}{2}, 0] & = & [2 t + s, t + 3 s] \\ 0 & = & t + 3 s \\ t & = & - 3 s \\ \frac{3}{2} & = & 2 t + s \\ \frac{3}{2} & = & 2 \cdot (- 3 s) + s \\ \frac{3}{2} & = & - 5 s \\ s & = & - \frac{3}{10} \\ t & = & - 3 \cdot (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{10} \\ \vec{w} & = & \frac{9}{10} \vec{a} - \frac{3}{10} \vec{b} \end{array}$

b) Bruk disse vektorene til å dekomponere vektorene 4), 5) og 6) i oppgave 4.2.50 b).

Løsning

$\begin{array}{rcl} [- 9, 8] & = & [2 t + s, t + 3 s] \\ - 9 & = & 2 t + s \\ s & = & - 2 t - 9 \\ 8 & = & t + 3 s \\ 8 & = & t + 3 (- 2 t - 9) \\ 8 & = & - 5 t - 27 \\ t & = & - 7 \\ s & = & - 2 \cdot (- 7) - 9 \\ = & 5 \\ [9, 8] & = & - 7 \vec{a} + 5 \vec{b} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} [3, - 12] & = & [2 t + s, t + 3 s] \\ - 12 & = & t + 3 s \\ t & = & - 3 s - 12 \\ 3 & = & 2 t + s \\ 3 & = & 2 (- 3 s - 12) + s \\ 3 & = & - 5 s - 24 \\ s & = & - \frac{27}{5} \\ t & = & - 3 \cdot (- \frac{27}{5}) - 12 = \frac{81}{5} - \frac{60}{5} = \frac{21}{5} \\ [3, - 12] & = & \frac{21}{5} \vec{a} - \frac{27}{5} \vec{b} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} [- 6 000, - 10 000] & = & [2 t + s, t + 3 s] \\ - 6 000 & = & 2 t + s \\ s & = & - 2 t - 6 000 \\ - 10 000 & = & t + 3 s \\ - 10 000 & = & t + 3 (- 2 t - 6000) \\ - 10 000 & = & - 5 t - 18 000 \\ t & = & - \frac{8 000}{5} \\ s & = & - 2 \cdot (- \frac{8 000}{5}) - 6 000 = \frac{16 000}{5} - \frac{30 000}{5} = - \frac{14 000}{5} \\ [- 6 000, - 10 000] & = & - \frac{8 000}{5} \vec{a} - \frac{14 000}{5} \vec{b} \end{array}$