Fagstoff

Logaritmer og logaritmefunksjonen

Logaritmer kan redusere multiplikasjon til addisjon og divisjon til subtraksjon.

På begynnelsen av 1600-tallet ble teleskopet oppfunnet. Det skjedde store framskritt innenfor astronomien. Arbeid med astronomi, navigasjon og trigonometriske beregninger førte til at matematikere, fysikere og astronomer etter hvert fikk behov for å regne med tall med mange siffer.

For å lette arbeidet fant noen ut at ved å bruke regnereglene for potensregning, kunne multiplikasjon reduseres til addisjon og divisjon reduseres til subtraksjon ved hjelp av det som er blitt kalt logaritmer.

Tegning i svart-hvitt av John Napier som sitter i en stol. Han har langt skjegg, pipekrage og mørk, vid jakke. Illustrasjon. — John Napier (1550–1617)

Det var skotten John Napier (1550–1617) som begynte å regne med logaritmer. Han fant ut at alle tall kan skrives som potenser, og han begynte arbeidet med såkalte logaritmetabeller. Engelskmannen Henry Briggs (1561–1630) fortsatte dette arbeidet. Briggs brukte 10 som grunntall, og i 1624 utga han boken Arithmetica Logarithmica, som blant annet inneholder en tabell med logaritmene til tall fra 1 til 20 000.

Briggs var først og fremst interessert i arbeidet med logaritmer fordi han skjønte at logaritmeregning kunne være til stor nytte når man skulle utføre til dels lange og kompliserte beregninger innenfor navigasjon. Navigasjon var spesielt viktig for engelskmennene med tanke på landets sikkerhet og forsvar.

Briggske logaritmer

For å forklare hva logaritmer er, skal vi ta utgangspunkt i potensregning.

Vi skal multiplisere to store tall:

$10 000 \cdot 100 000$

Fra potensregningen vet vi at $10 000 = 10^{4}$ og $100 000 = 10^{5}$ .

Vi vet at potenser med samme grunntall multipliseres ved å addere eksponentene og beholde grunntallet. Multiplikasjonen blir slik:

$10 000 \cdot 100 000 = 10^{4} \cdot 10^{5} = 10^{4 + 5} = 10^{9} = 1 000 000 000$

Multiplikasjonen blir redusert til addisjon av eksponentene i tierpotenser. Det er disse eksponentene som er logaritmene – det vil si at logaritmen (med 10 som grunntall) til 10 000 er 4 og logaritmen til 100 000 er 5.

Vi kunne i prinsippet ha brukt et hvilket som helst tall som grunntall i potensen, men slik tallsystemet vårt er oppbygd, er tallet 10 et naturlig valg. Logaritmen med 10 som grunntall har fått navnet den briggske logaritmen. Den briggske logaritmen symboliseres med lg (på norsk). Det betyr at vi for eksempel har at

$\begin{matrix} \lg 1 000 = 3 & fordi & 10^{3} = 1 000 \\ \lg 10 = 1 & fordi & 10^{1} = 10 \\ \lg 1 = 0 & fordi & 10^{0} = 1 \\ \lg 0, 01 = - 2 & fordi & 10^{- 2} = 0, 01 \end{matrix}$

Eksponentene/logaritmene behøver heller ikke være hele tall – og det var her de ble veldig nyttige. Under ser du de 10 første tallene i Briggs logaritmetabell (Briggs opererte med en nøyaktighet på 14 desimaler i sine tabeller)

Briggske logaritmer
x	lg x
1	0,000 0
2	0,301 0
3	0,477 1
4	0,602 1
5	0,699 0
6	0,778 2
7	0,845 1
8	0,903 1
9	0,954 2
10	1,000 0

For å multiplisere tallene 2 og 3 kan vi da regne slik:

$2 \cdot 3 \approx 10^{0, 301 0} \cdot 10^{0, 477 1} = 10^{0, 301 0 + 0, 477 1} = 10^{0, 778 1} \approx 6$

Multiplikasjon blir erstattet av addisjon. Den siste overgangen finner vi ved å bruke tabellen baklengs.

Nå tenker du sikkert at det helt klart hadde vært enklere å multiplisere direkte. Det er selvfølgelig riktig akkurat for dette eksempelet, men tenk deg at du skulle multiplisere to tall med mange siffer uten kalkulator. Da hadde det vært lurt å kunne erstatte multiplikasjon med addisjon.

Multipliser tallene 2 og 4 ved å bruke logaritmetabellen over og legge sammen logaritmene til 2 og 4.

Løsning

$2 \cdot 4 \approx 10^{0, 301 0} \cdot 10^{0, 602 1} = 10^{0, 301 0 + 0, 602 1} = 10^{0, 903 1} \approx 8$

Definisjon

Den briggske logaritmen til et positivt tall a er eksponenten i den potensen av 10 som er lik a. Den briggske logaritmen betegnes på norsk med lg.

Hvis $10^{x} = a$ , er $x = \lg a$ .

Vi kan altså skrive

$a = 10^{\lg a}$ for alle $a \in ⟨ 0, \to ⟩$

Logaritmefunksjonen

Grafen til funksjonen f av x er lik 10 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom minus 0,4 og 1,6. To punkter på grafen er markert. Det er punktet med koordinatene 1 og 10 og punktet med koordinatene 1,3 og 20. Grafen er stigende hele veien, og den stiger mer og mer. Grafen er aldri under x-aksen. Skjermutklipp.

På bildet har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved $f (x) = 10^{x}$ .

Langs x-aksen kan vi lese av logaritmeverdiene til tallene langs y-aksen.

Grafen viser for eksempel at $10^{1} = 10$ og $10^{1, 3} \approx 20$ . Det viser at $\lg 10 = 1$ og $\lg 20 \approx 1, 3$ .

Legg merke til at det bare er positive tall vi kan finne logaritmer til. Grunnen er at funksjonen f aldri er negativ.

Vi har at $V_{f} = 〈 0, \to 〉$ , altså at verdimengden til f er alle positive tall, mens definisjonsmengden er alle reelle tall, $D_{f} = R$ .

Grafen til funksjonen l g x er tegnet for x-verdier mellom 0,5 og 11. To punkter på grafen er markert. Det er punktet med koordinater 20 og 1,3 og punktet med koordinater 10 og 1. Skjermutklipp.

Vi kan også tegne grafen til logaritmefunksjonen $g (x) = \lg x$ . Da kan vi lese av logaritmeverdiene direkte.

Ved å finne koordinatene til punktene $(20, g (20))$ og $(10, g (10))$ finner du logaritmeverdiene til 10 og 20. Du ser at vi får de samme verdiene som ovenfor.

Legg også merke til at logaritmefunksjonen bare eksisterer for positive tall. Dermed har vi at $D_{g} = 〈 0, \to 〉$ og $V_{g} = ℝ$ .

Av grafene ser vi også at begge funksjonene vokser i hele definisjonsområdet.

Den naturlige logaritmen

På 1700-tallet oppsto problemet med å derivere eksponentialfunksjonen $a^{x}$ . Det viste seg at dette lot seg gjøre ved hjelp av logaritmer hvis man i stedet for 10 brukte tallet $e \approx 2, 718 281 828 459$ som grunntall i potensen. Dette tallet er et irrasjonalt tall slik som for eksempel pi, og det har dermed et uendelig antall siffer.

Logaritmen med e som grunntall har fått navnet den naturlige logaritmen. Den naturlige logaritmen symboliseres med ln. Selve regningen med logaritmer følger de samme reglene for naturlige logaritmer som for briggske logaritmer.

Definisjon

Den naturlige logaritmen til et positivt tall a er eksponenten i den potensen av $e \approx 2, 718 281 828 459$ som er lik a. Den naturlige logaritmen betegnes med ln.

Hvis $e^{x} = a$ , er $x = \ln a$ .

Vi kan altså skrive

$a = e^{\ln a}$ for alle $a \in ⟨ 0, \to ⟩$

Med e som grunntall får vi da for eksempel

$\begin{matrix} \ln 100 \approx 4, 605 & fordi & e^{4, 605} \approx 100 \\ \ln 2 \approx 0, 693 & fordi & e^{0, 693} \approx 2 \\ \ln e = 1 & fordi & e^{1} = e \\ \ln 1 = 0 & fordi & e^{0} = 1 \end{matrix}$

Hva blir den naturlige logaritmen til $e^{2}$ ?

Løsning

Siden den naturlige logaritmen til et tall er det vi må opphøye e i for å få dette tallet, må $\ln e^{2} = 2$ .

Andre logaritmer

Som nevnt over, kan vi lage logaritmer med et hvilket som helst tall. Vi har regnet med grunntallene 10 og e, som er de vanligste grunntallene å bruke. Vi tar med et eksempel på andre logaritmer også.

Eksempel

Finn logaritmen til 25 med 5 som grunntall ( $\log_{5} 25$ ). Begrunn svaret.

Løsning

$\log_{5} 25 = 2$ fordi $5^{2} = 25$ .

Den naturlige logaritmen og logaritmefunksjonen

Vi har nøyaktig samme forhold mellom funksjonene $f (x) = e^{x}$ og $g (x) = \ln x$ . Dette skal du få utforske i oppgave 1.2.10.

Logaritmer i GeoGebra

Regnestav og kalkulator på en oppslått logaritmetabell. Ei hånd bruker en blyant til å trykke på knappene på kalkulatoren. Foto. — Logaritmetabeller og regnestaver ble brukt i norsk skole fram til 1970-tallet. Da overtok kalkulatoren.

Logaritmetabeller ble brukt i norsk skole fram til 1970-tallet. Da overtok kalkulatoren. Spør noen voksne du kjenner om de husker logaritmetabellene. Kanskje noen har en gammel tabell liggende?

Logaritmer er fortsatt aktuelle. I dag kan du finne alle logaritmeverdier ved hjelp av kalkulator eller andre digitale verktøy. På kalkulatorer brukes gjerne log, som er den internasjonale betegnelsen for logaritmer med 10 som grunntall.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet l g parentes 2 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,3. Skjermutklipp. — Den briggske logaritmen til 2 med GeoGebra

I CAS i GeoGebra kan vi skrive lg(2) når vi skal regne ut den briggske logaritmen til 2.

På samme måte finner vi den naturlige logaritmen ved å skrive ln(2). Dersom vi skal finne logaritmen til 25 med 5 som grunntall, skriver vi log(5,25).