Fagstoff

Logaritmar og logaritmefunksjonen

Logaritmar kan redusere multiplikasjon til addisjon og divisjon til subtraksjon.

På byrjinga av 1600-talet vart teleskopet funne opp. Det skjedde store framsteg innanfor astronomien. Arbeid med astronomi, navigasjon og trigonometriske berekningar førte til at matematikarar, fysikarar og astronomar etter kvart fekk behov for å rekne med tal med mange siffer.

For å lette arbeidet fann nokon ut at ved å bruke reknereglane for potensrekning, kunne multiplikasjon reduserast til addisjon og divisjon kunne reduserast til subtraksjon ved hjelp av det som har vorte kalla logaritmar.

Teikning i svart-kvitt av John Napier som sit i ein stol. Han har langt skjegg, pipekrage og mørk, vid jakke. Illustrasjon. — John Napier (1550–1617)

Det var skotten John Napier (1550–1617) som byrja å rekne med logaritmar. Han fann ut at alle tal kan skrivast som potensar, og han byrja arbeidet med såkalla logaritmetabellar. Engelskmannen Henry Briggs (1561–1630) heldt fram dette arbeidet. Briggs brukte 10 som grunntal, og i 1624 gav han ut boka Arithmetica Logarithmica, som mellom anna inneheld ein tabell med logaritmane til tal frå 1 til 20 000.

Briggs var først og fremst interessert i arbeidet med logaritmar fordi han skjønte at logaritmerekning kunne vere til stor nytte når ein skulle utføre til dels lange og kompliserte berekningar innanfor navigasjon. Navigasjon var spesielt viktig for engelskmennene med tanke på tryggleiken til og forsvaret av landet.

Briggske logaritmar

For å forklare kva logaritmar er, skal vi ta utgangspunkt i potensrekning.

Vi skal multiplisere to store tal:

$10 000 \cdot 100 000$

Frå potensrekninga veit vi at $10 000 = 10^{4}$ og $100 000 = 10^{5}$ .

Vi veit at potensar med same grunntal blir multiplisert ved å addere eksponentane og behalde grunntalet. Multiplikasjonen blir slik:

$10 000 \cdot 100 000 = 10^{4} \cdot 10^{5} = 10^{4 + 5} = 10^{9} = 1 000 000 000$

Multiplikasjonen blir redusert til addisjon av eksponentane i tiarpotensar. Det er desse eksponentane som er logaritmane – det vil seie at logaritmen (med 10 som grunntal) til 10 000 er 4 og logaritmen til 100 000 er 5.

Vi kunne i prinsippet ha brukt kva tal som helst som grunntal i potensen, men slik talsystemet vårt er oppbygd, er talet 10 eit naturleg val. Logaritmen med 10 som grunntal har fått namnet den briggske logaritmen. Den briggske logaritmen blir symbolisert med $\lg$ (på norsk). Det betyr at vi til dømes har at

$\begin{matrix} \lg 1 000 = 3 & fordi & 10^{3} = 1 000 \\ \lg 10 = 1 & fordi & 10^{1} = 10 \\ \lg 1 = 0 & fordi & 10^{0} = 1 \\ \lg 0, 01 = - 2 & fordi & 10^{- 2} = 0, 01 \end{matrix}$

Eksponentane/logaritmane treng heller ikkje vere heile tal – og det var her dei vart veldig nyttige. Under ser du dei 10 første tala i Briggs logaritmetabell (Briggs opererte med ei nøyaktigheit på 14 desimalar i tabellane sine)

Briggske logaritmar
x	lg x
1	0,000 0
2	0,301 0
3	0,477 1
4	0,602 1
5	0,699 0
6	0,778 2
7	0,845 1
8	0,903 1
9	0,954 2
10	1,000 0

For å multiplisere tala 2 og 3 kan vi då rekne slik:

$2 \cdot 3 \approx 10^{0, 301 0} \cdot 10^{0, 477 1} = 10^{0, 301 0 + 0, 477 1} = 10^{0, 778 1} \approx 6$

Multiplikasjon blir erstatta av addisjon. Den siste overgangen finn vi ved å bruke tabellen baklengs.

No tenker du sikkert at det heilt klart hadde vore enklare å multiplisere direkte. Det er sjølvsagt rett akkurat for dette dømet, men tenk deg at du skulle multiplisere to tal med mange siffer utan kalkulator. Då hadde det vore lurt å kunne erstatte multiplikasjon med addisjon.

Multipliser tala 2 og 4 ved å bruke logaritmetabellen over og legge saman logaritmane til 2 og 4.

Løysing

$2 \cdot 4 \approx 10^{0, 301 0} \cdot 10^{0, 602 1} = 10^{0, 301 0 + 0, 602 1} = 10^{0, 903 1} \approx 8$

Definisjon

Den briggske logaritmen til eit positivt tal $a$ er eksponenten i den potensen av 10 som er lik a. Den briggske logaritmen blir på norsk angitt med lg.

Dersom $10^{x} = a$ , så er $x = \lg a$ .

Vi kan altså skrive

$a = 10^{\lg a}$ for alle $a \in ⟨ 0, \to ⟩$

Logaritmefunksjonen

Grafen til funksjonen f av x er lik 10 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom minus 0,4 og 1,6. To punkt på grafen er markerte. Det er punktet med koordinatane 1 og 10 og punktet med koordinatane 1,3 og 20. Grafen er stigande heile vegen, og han stig meir og meir. Grafen er aldri under x-aksen. Skjermutklipp.

På biletet har vi teikna grafen til funksjonen f gitt ved $f (x) = 10^{x}$ .

Langs x-aksen kan vi lese av logaritmeverdiane til tala langs y-aksen.

Grafen viser til dømes at $10^{1} = 10 og 10^{1, 3} \approx 20$ . Det viser at $\lg 10 = 1 og \lg 20 \approx 1, 3 .$

Legg merke til at det berre er positive tal vi kan finne logaritmar til. Grunnen er at funksjonen f aldri er negativ.

Vi har at $V_{f} = 〈 0, \to 〉$ , altså at verdimengda til f er alle positive tal, mens definisjonsmengda er alle reelle tal, $D_{f} = R$ .

Grafen til funksjonen l g x er teikna for x-verdiar mellom 0,5 og 11. To punkt på grafen er markerte. Det er punktet med koordinatar 20 og 1,3 og punktet med koordinatar 10 og 1. Skjermutklipp.

Vi kan òg teikne grafen til logaritmefunksjonen $g (x) = \lg x$ . Då kan vi lese av logaritmeverdiane direkte.

Ved å finne koordinatane til punkta $(20, g (20))$ og $(10, g (10))$ finn du logaritmeverdiane til 10 og 20. Du ser at vi får dei same verdiane som ovanfor.

Legg òg merke til at logaritmefunksjonen berre eksisterer for positive tal. Dermed har vi at $D_{g} = 〈 0, \to 〉$ og $V_{g} = R$ .

Av grafane ser vi òg at begge funksjonane veks i heile definisjonsområdet.

Den naturlege logaritmen

På 1700-talet oppstod problemet med å derivere eksponentialfunksjonen $a^{x}$ . Det viste seg at dette lét seg gjere ved hjelp av logaritmar dersom ein i staden for 10 brukte talet $e \approx 2, 718 281 828 459$ som grunntal i potensen. Dette talet er eit irrasjonalt tal slik som til dømes pi, og det har dermed eit uendeleg tal siffer.

Logaritmen med $e$ som grunntal har fått namnet den naturlege logaritmen. Den naturlege logaritmen blir symbolisert med $\ln$ . Sjølve rekninga med logaritmar følger dei same reglane for naturlege logaritmar som for briggske logaritmar.

Definisjon

Den naturlege logaritmen til eit positivt tal $a$ er eksponenten i den potensen av $e \approx 2, 718 281 828 459$ som er lik $a$ . Den naturlege logaritmen blir angitt med ln.

Dersom $e^{x} = a$ , så er $x = \ln a$ .

Vi kan altså skrive

$a = e^{\ln a}$ for alle $a \in ⟨ 0, \to ⟩$

Med e som grunntal får vi då til dømes

$\begin{matrix} \ln 100 \approx 4, 605 & fordi & e^{4, 605} \approx 100 \\ \ln 2 \approx 0, 693 & fordi & e^{0, 693} \approx 2 \\ \ln e = 1 & fordi & e^{1} = e \\ \ln 1 = 0 & fordi & e^{0} = 1 \end{matrix}$

Kva blir den naturlege logaritmen til $e^{2}$ ?

Løysing

Sidan den naturlege lotaritmen til eit tal er det vi må opphøgje e i for å få dette talet, må $\ln e^{2} = 2$ .

Andre logaritmar

Som nemnt over, kan vi lage logaritmar med kva tal som helst. Vi har rekna med grunntala 10 og e, som er dei vanlegaste grunntala å bruke. Vi tek med eit døme på andre logaritmar òg.

Døme

Finn logaritmen til 25 med 5 som grunntal ( $\log_{5} 25$ ). Grunngi svaret.

Løysing

$\log_{5} 25 = 2$ fordi $5^{2} = 25$ .

Den naturlege logaritmen og logaritmefunksjonen

Vi har nøyaktig same forhold mellom funksjonane $f (x) = e^{x}$ og $g (x) = \ln (x)$ . Dette skal du få utforske i oppgåve 1.2.10.

Logaritmar i GeoGebra

Reknestav og kalkulator på ein oppslått logaritmetabell. Ei hand bruker ein blyant til å trykke på knappane på kalkulatoren. Foto. — Logaritmetabellar og reknestavar vart brukte i norsk skule fram til 1970-talet. Då overtok kalkulatoren.

Logaritmetabellar vart brukte i norsk skule fram til 1970-talet. Då overtok kalkulatoren. Spør nokon vaksne du kjenner om dei hugsar logaritmetabellane. Kanskje nokon har ein gammal tabell liggande?

Logaritmar er framleis aktuelle. I dag kan du finne alle logaritmeverdiar ved hjelp av kalkulator eller andre digitale verktøy. På kalkulatorar blir det gjerne brukt log, som er den internasjonale nemninga for logaritmar med 10 som grunntal.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive l g parentes 2 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,3. Skjermutklipp. — Den briggske logaritmen til 2 med GeoGebra

I CAS i GeoGebra kan vi skrive lg(2) når vi skal rekne ut den briggske logaritmen til 2.

På same måte finn vi den naturlege logaritmen ved å skrive ln(2). Dersom vi skal finne logaritmen til 25 med 5 som grunntal, skriv vi log(5,25).