Oppgave

Sparing

Oppgavene her skal løses med regneark om ikke annet er oppgitt.

Du finner regneark med løsninger nederst på sida.

4.1.30

Petter har 40 000 kroner på en sparekonto i banken. Han får 4 prosent rente per år. Løs oppgaven med CAS eller kalkulator.

a) Hvor mye har beløpet vokst til dersom det står på kontoen i 5 år?

Løsning

I løpet av 5 år har beløpet vokst til $40 000 \cdot 1, 04^{5} \approx 48 666 kr$ .

b) Hvor mye har beløpet vokst til dersom det står på kontoen i 10 år?

Løsning

I løpet av 10 år har beløpet vokst til $40 000 \cdot 1, 04^{10} \approx 59 210 kr$ .

c) Regn ut hvor mye Petter fikk i renter de 5 første årene.

Løsning

Renter de første 5 årene blir $48 666 kr - 40 000 kr = 8 666 kr$ .

d) Regn ut hvor mye Petter fikk i renter de 5 siste årene.

Løsning

Renter de siste 5 årene blir $59 210 kr - 48 666 kr = 10 544 kr$ .

e) Hvorfor er ikke beløpene du fant i c) og d), like store?

Løsning

Grunnlaget renta regnes ut fra, er høyere de fem siste årene enn de fem første årene. For hvert nytt år beløpet står i banken, får du renter av rentene du fikk året før.

4.1.31

Lag et regneark der du kan legge inn beløp, rentefot og antall år, og se hvordan ulike beløp vil vokse ved banksparing.

Løsning

Regnearket kan se slik ut:

	A	B	B (formelvisning)
1	Hvordan et innskudd vokser ved banksparing
2
3	Skriv inn innskudd, antall år i banken og rentefot:
4
5	Innskudd	kr 5 000,00	5000
6	Antall år i banken	10	10
7	Rentefot i prosent	3,5	3,5
8	Vekstfaktor	1,035	=1+B7/100
9	I banken etter disse årene	kr 7 052,99	=B5*B8^B6

Nedenfor kan du se utregningene i et regneark.

4.1.32

Det er andre nyttårsdag, og Jonas fikk til sammen 2 500 kroner i julegave som han skal sette inn på en ny sparekonto. Jonas pleier å få penger av flere av slektningene sine til jul. Han regner med å kunne sette inn penger fra julegaver i 5 år til, for da er han ferdig med videregående skole.

For å finne ut hvor mye han vil ha på konto om 5 år, går han ut ifra at han vil få omtrent 300 kroner mer i julegave for hvert år. Han har en sparekonto der han får 2,5 prosent årlig rente.

a) Hva kommer Jonas til å sette inn om to år?

Løsning

Etter to år vil julegavesummen ha økt med 300 kroner to ganger. Han vil derfor om to år kunne sette inn

$2 500 kr + 2 \cdot 300 kr = 3 100 kr$

b) Lag en formel/funksjon $S (x)$ som regner ut hva Jonas kommer til å sette inn om $x$ år.

Løsning

Vi bruker den samme framgangsmåten som i oppgaven ovenfor og får

$S (x) = 2 500 + x \cdot 300 = 2 500 + 300 x$

c) Vi skal nå lage et regneark som viser innskuddene (beløpene han skal sette inn) nå og 5 år framover.

Regneark der inndataområdet er første innskudd på 2500 kroner, årlig økning på 300 kroner og rente på 2,5 prosent. Overskriftene står i kolonne A, mens tallene står i kolonne B. I celle A 6 er overskriften år nummer, og i celle B 6 er overskriften innskudd. Det første årsnummeret er 0 i celle A 7. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Start med å lage et inndataområde med opplysningene i problemet. Legg inn det første innskuddet på 2 500 kroner i celle B2 og den årlige økningen på 300 kroner i celle B3. Så trenger vi renta i celle B4. Regnearket skal se ut som på bildet. Bruk regnskapsnummerformat på celler som skal ha pengeverdier (se sida Bruttolønn, nettolønn og skatt (ndla.no)).

Vi skal bruke formler for å lage årsnumrene i kolonne A i stedet for å skrive dem inn manuelt. Vi trenger tallene fra og med 0 til og med 5. Vi starter årsnumrene på 0 siden det første innskuddet skal skje nå. Start med å skrive 0 i rute A7.

Vi vet at årsnummeret øker med 1 for hvert år. I celle A8 skriver vi derfor =A7+1 for at innholdet skal bli én større enn i cella ovenfor. Kontroller at det blir riktig årsnummer, altså 1, i celle A8.

Vi kan bruke tilsvarende formel for celle A9 til og med A12 som den i celle A8. Betyr det at vi kan kopiere formelen i A8 til cellene A9 til A12 med vanlig kopiering? Problemet er at vi i formelen for celle A9 må bytte ut A7 med A8, men regneark er smarte og går automatisk ut ifra at vi vil oppdatere formelen for hver celle den skal limes inn i. Gjør derfor følgende:

Kopier celle A8.
Marker de cellene formelen skal inn i (A9 til A12).
Velg "Lim inn", for eksempel ved å trykke Ctrl-V.

Kontroller at årsnumrene blir riktige.

En annen måte å kopiere formelen i A8 på er følgende:

Stå med markøren i celle A8 (den cella vi ønsker å kopiere formelen fra).
Ta tak i det nederste høyre hjørnet av cella (som har en ekstra markering) med musepekeren, og dra hjørnet nedover til celle A12 er markert. Slipp musepekeren.

d) Trykk på "Vis formler" i regnearket for å se på formlene i kolonne A. Skriv en liten tekst som beskriver hvordan formelkopiering foregår i et regneark. Bruk som eksempel hva som skjer med formelen når den blir kopiert til celle A11.

Løsning

Når regnearket limer inn en formel i ei celle, vil alle celleadresser i formelen endres etter hvor langt unna cella er i forhold til cella med den opprinnelige formelen. I celle A11 prøver vi å lime inn formelen =A7+1. Formelen står opprinnelig i celle A8, og A11 ligger 3 rader rett under A8. Det betyr at A7 i formelen må skiftes 3 rader nedover og bli til A10. Formelen i celle A11 blir derfor =A10+1.

Regneark og formelvisning av regnearket der inndataområdet er første innskudd på 2500 kroner, årlig økning på 300 kroner og rente på 2,5 prosent. Overskriftene står i kolonne A, mens tallene står i kolonne B. I celle A 6 er overskriften år nummer, og i celle B 6 er overskriften innskudd. Det første årsnummeret er 0 i celle A 7. Det siste årsnummeret er 5 i celle A 12. Tallet i celle A 8 er lagd med formelen er lik A 7 pluss 1, og resten av årsnumrene nedenfor er lagd ved å kopiere denne formelen. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Merk at dersom vi hadde prøvd å lime inn formelen i celle B11, ville i tillegg kolonnebokstaven A i formelen ha blitt skiftet til B. Formelen i celle B11 ville ha blitt =B10+1. Prøv selv!

e) Så skal vi regne ut innskuddene for alle disse årene. I år nummer null vet vi at Jonas skal sette inn 2 500 kroner. Hva slags regnearkformel bruker vi i celle B7?

Løsning

Her skal vi rett og slett overføre tallet i celle B2. Da skriver vi =B2 i celle B7 for å kopiere innholdet fra celle B2.

f) Bruk formelen/funksjonen $S (x)$ til å lage en regnearkformel i celle B8 som regner ut hva Jonas skal sette inn neste år.

Løsning

Formelen/funksjonen $S (x)$ sier at vi skal ta det første innskuddet og legge til 300 multiplisert med årsnummeret. Det første innskuddet står i celle B2, det faste tillegget i celle B3, og årsnummeret står i celle A8. Da skriver vi =B2+B3*A8 i celle B8. Kontroller at du får riktig svar i cella.

g) Nå hadde det vært fint om det gikk an å kopiere formelen i B8 nedover til cellene B9 til B12. Prøv dette. Ble det riktig svar i disse cellene? Trykk på "Vis formler", og forklar eventuelt hvorfor det ikke ble riktige svar.

Løsning

Eksempel på feil ved formelkopiering. Formelvisning av regnearket der inndataområdet er første innskudd på 2500 kroner, årlig økning på 300 kroner og rente på 2,5 prosent. Overskriftene står i kolonne A, mens tallene står i kolonne B. I celle A 6 er overskriften år nummer, og i celle B 6 er overskriften innskudd. Det første årsnummeret er 0 i celle A 7. Det siste årsnummeret er 5 i celle A 12. Tallet i celle A 8 er lagd med formelen er lik A 7 pluss 1, og resten av årsnumrene nedenfor er lagd ved å kopiere denne formelen. Formlene fra og med celle B 9 til og med celle B 12 er feil på grunn av feil bruk av formelkopiering av formelen i celle B 8. Skjermutklipp. — Feil formel i cellene B9–B12 på grunn av feil bruk av formelkopiering. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Det blir ikke riktige svar. I noen av cellene kommer det bare en feilmelding. Årsaken er at regnearket tror at vi skal endre alle celleadressene i formelen i takt med plasseringen av cellene som formelen skal limes inn i, men vi ønsker jo å bruke tallene i cellene B2 og B3 i alle cellene. Det er bare den siste celleadressen, A8, vi ønsker skal endre seg.

Faste celleadresser

Heldigvis er det en enkel måte å fikse problemet på i den forrige oppgaven. Når vi skal kopiere formler som inneholder celleadresser som vi ikke ønsker skal endres under kopieringen, gjør vi det ved å sette dollartegnet $ foran kolonnebokstaven og foran radnummeret i celleadressen. Dersom vi for eksempel ikke ønsker at celleadressen B2 skal endres når vi kopierer en formel, skriver vi $B$2 i formelen i stedet for B2 før vi kopierer den. Da blir dette en fast celleadresse.

h) Hva blir formelen i celle B8 slik at den kan kopieres rett til cellene B9 til B12? Kopier formelen, og kontroller at svarene blir riktige.

Løsning

Formelen i celle B8 blir =$B$2+$B$3*A8. Når denne blir kopiert, er det bare celleadressen A8 som vil endre seg i formelen når vi limer den inn i cellene B9 til B12.

Vi ser at innskuddene øker med 300 for hvert år, som rett er.

Så må vi regne ut hvor mye Jonas har i banken 5 år fram i tid. Her har vi lagt opp til at vi i kolonne C skal regne ut hva hvert innskudd er verdt om 5 år. Hvert år et av innskuddene står i banken, vil verdien av det øke med 2,5 prosent. Det tilsvarer at vi multipliserer med vekstfaktoren ved 2,5 prosent økning.

i) Hva blir vekstfaktoren ved en økning på 2,5 prosent?

Løsning

Vekstfaktoren ved 2,5 prosent økning finner vi ved å regne ut

$1 + \frac{2, 5}{100} = 1 + 0, 025 = 1, 025$

j) Det passer å legge inn formelen for vekstfaktoren i celle B5 som en del av inndataområdet selv om vi må gjøre en utregning. Hva skriver vi i denne cella?

Løsning

Vi skriver =1+B4/100. Kontroller at resultatet blir 1,025.

Nå er det ikke noen tom rad mellom inndataområdet og utregningene lenger. Dersom vi vil, kan vi legge til en ny rad i regnearket ved å høyreklikke på 6-tallet i radoverskriften til rad 6 og legge inn en ny rad over for å få litt luft. Så skriver vi inn overskriften "Verdi om 5 år" i celle C7 (ved siden av overskriften "Innskudd"). Resultatet blir som på bildet nedenfor.

Spørsmål

Hva skjer med formlene våre i cellene nedenfor rad 6 nå når vi har satt inn en ekstra rad? Skaper dette problemer?

Svar

Dette skaper heldigvis ikke noen problemer for oss. Når vi setter inn en ny rad 6, vil alle celleadressene som ligger nedenfor rad 6, få økt radnummeret med 1. Regnearkprogrammet tar hensyn til at vi legger inn nye rader og oppdaterer formlene i alle celler nedenfor rad 6 automatisk. Det betyr at der det for eksempel sto A9 i en formel tidligere, står det nå A10.

Spørsmål

Hvor lenge skal det første innskuddet på 2 500 kroner stå? Hvor lenge skal det andre og det siste stå?

Svar

Det første innskuddet skal stå i 5 år. Det andre blir stående ett år mindre, altså 4 år. Det siste innskuddet (det sjette) er akkurat gjort når 5 år har gått, så det har stått 0 år.

k) Det nest siste innskuddet (på 3 700 kroner) skal stå i ett år. Bruk vekstfaktoren, og sett opp regnestykket som gir hvor mye dette beløpet vokser til etter ett år i banken.

Løsning

Vi må multiplisere innskuddet med vekstfaktoren opphøyd i antallet år innskuddet skal stå. Her er det bare ett år, og vi får

$3 700 kr \cdot 1, 025^{1} (= 3 700 kr \cdot 1, 025)$

l) Det andre innskuddet (på 2 800 kroner) skal stå i fire år. Bruk vekstfaktoren, og sett opp regnestykket som gir hvor mye dette beløpet vokser til etter fire år i banken.

Løsning

$2 800 kr \cdot 1, 025^{4}$

Vi ønsker nå å lage en formel i celle C8 som vi kan kopiere nedover. Legg merke til at tallet vekstfaktoren skal opphøyes i, starter på 5 for det første innskuddet og går ned til 0 for det sjette og siste innskuddet. Dersom det hadde vært motsatt, kunne vi i celle C8 ha skrevet =B8*$B$8^(A8), altså opphøyd i årsnummeret slik som i kolonne A, men det blir ikke riktig.

m) Lag en formel i celle C8 som kan kopieres til cellene C9 til C13.

Tips

Problemet er å finne en formel der det vi opphøyer vekstfaktoren i, starter med 5 i celle C8 og slutter på 0 i celle C13. Det vil si at vi må lage en formel der eksponenten går nedover fra 5 til 0, mens årsnummeret i kolonne A går fra 0 til 5, altså motsatt.

Løsning

Er du enig i at dersom vi legger sammen årsnummeret med det vi skal opphøye vekstfaktoren i, får vi alltid 5 uansett hvilken rad vi ser på? Da må det vi skal opphøye i, være lik 5 minus årsnummeret. Formelen i celle C8 blir derfor

=B8*$B$5^(5-A8)

n) Lag ferdig regnearket, og finn ut hvor mye Jonas har i banken om 5 år, altså rett etter det sjette innskuddet.

Løsning

Jonas vil ha 20 622 kroner stående på kontoen etter det siste innskuddet.

4.1.33

Kari begynner med å sette inn 10 000 kroner på en BSU-konto 1. januar hvert år. Hun får 3,90 prosent rente per år. Vi skal bruke regneark til å finne ut hvordan disse pengene vokser.

Innledende oppgaver – med CAS eller kalkulator

a) Hvor mye står det på kontoen rett før hun setter inn 10 000 kroner for andre gang?

Tips

Her kan det være lurt å bruke vekstfaktor.

Løsning

Det første beløpet har da stått i banken i nøyaktig ett år. Vi regner ut vekstfaktoren ved 3,9 prosent rente først.

$1 + \frac{3, 9}{100} = 1, 039$

Beløpet på BSU-kontoen til Kari etter ett år blir

$10 000 kr \cdot 1, 039 = 10 390 kr$

b) Hvor mye står det på kontoen rett før hun har satt inn 10 000 kroner for tredje gang?

Løsning

Det første beløpet har da stått i banken i nøyaktig to år. Det andre beløpet har stått på konto i ett år. Vi regner ut hvor mye hvert innskudd har vokst til ved å multiplisere med vekstfaktoren opphøyd i antallet år innskuddet har vært på kontoen.

Beløpet på BSU-kontoen til Kari er

$10 000 kr \cdot 1, 039^{2} + 10 000 kr \cdot 1, 039 = 21 185, 21 kr$

Resten av oppgaven skal løses med regneark

c) Hvor mye står på kontoen rett før hun setter inn 10 000 kroner for tiende gang?

Tips 1

Lag et regneark der du lar hvert innskudd få sin egen rad der du regner ut hva innskuddet har vokst til om 9 år. Til det trenger du en formel for hvor mange år hvert innskudd skal stå, slik at du kan kopiere denne formelen for alle innskuddene. Husk at hvert innskudd skal multipliseres med vekstfaktoren opphøyd i hvor mange år innskuddet skal stå.

Summer til slutt verdien av alle innskuddene.

Tips 2

Det første innskuddet vil stå i 9 år, altså (10 – 1) år.
Det andre innskuddet vil stå i 8 år, altså (10 – 2) år.
$⦙$

Tips 3

Innskudd nummer $n$ vil stå i $(10 - n)$ år.

Løsning

Regneark og formelvisning av regnearket der inndataområdet er fast innskudd på 10000 kroner og rente på 3,9 prosent. Vekstfaktoren på 1,039 er regnet ut nedenfor. Overskriftene står i kolonne A, mens tallene står i kolonne B. I celle A 6 er overskriften innskudd nummer, og i celle B 6 er overskriften innskudd. I celle C 6 er overskriften verdi om 9 år. Det første innskuddsnummeret er 1 i celle A 7. Det siste årsnummeret er 9 i celle A 15. Tallet i celle A 8 er lagd med formelen er lik A 7 pluss 1, og resten av årsnumrene nedenfor er lagd ved å kopiere denne formelen. Tallet for verdi av innskuddet om 9 år i celle C 7 er regnet ut med formelen er lik B 7 asterisk dollartegn B dollartegn 4 cirkumfleks parentes 10 minus A 7 parentes slutt, og denne formelen er kopiert ned til og med rad 15. På rad 16 er kolonne B summert til 90000 kroner og kolonne C summert til 109505,79 kroner. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Kari vil ha 109 505,79 kroner stående på kontoen rett før det tiende innskuddet.

d) Hvor mye står det på kontoen rett etter at Kari har satt inn 10 000 kroner for 20. gang?

Tips

Dette blir nesten som den forrige oppgaven, men det siste innskuddet vil ha verdien 10 000 kroner siden vi skal måle rett etter at innskuddet er gjort.

Bruk den samme framgangsmåten for å komme fram til en formel for hvor mange år hvert innskudd skal stå.

Løsning

Rett etter det 20. innskuddet vil Kari ha 294 709,96 kroner på kontoen.

(Regnearkformlene i kolonne A og B er som i den forrige oppgaven.)

e) Sett at Kari får 4,10 prosent rente i stedet for 3,9 prosent. Hvor mye mer vil hun ha i banken rett etter at hun har satt inn 10 000 kroner for 20. gang?

Løsning

Dersom renta øker til 4,10 prosent i stedet for 3,9 prosent, vil Kari ha 300 889,58 kroner på kontoen rett etter det 20. innskuddet, det vil si 6 179,61 kroner mer.

f) Refleksjonsspørsmål: Hvorfor balte vi så mye med å finne en formel til utregningene i kolonne C som kunne kopieres?

Forklaring

Dersom vi ikke hadde funnet en formel som kunne kopieres, måtte vi ha skrevet inn formlene manuelt i alle cellene fra og med celle C8 og nedover. Derfor var det også viktig å ha et innskuddsnummer i kolonne A som vi kunne bruke i formelen.

4.1.34

Ulrik begynner med å sette inn 10 000 kroner på en BSU-konto 1. januar hvert år. Han får 4,10 prosent rente per år.

a) Hva er forskjellen på oppgave b) nedenfor og oppgave d) ovenfor?

Løsning

For det første er renta 4,1 prosent i stedet for 3,9. Deretter skal vi sjekke hvor mye det er på kontoen rett før det 20. innskuddet, ikke rett etter som i d)-oppgaven over. Oppgaven ligner derfor også litt på c)-oppgaven over, sett bort ifra antall innskudd.

b) Hvor mye har han stående på kontoen rett før han skal sette inn for 20. gang?

Løsning

Vi lager et regneark tilsvarende det i oppgave 4.1.33 c), men det nye regnearket må inneholde 19 innskudd.

Regneark og formelvisning av regnearket der inndataområdet er fast innskudd på 10000 kroner og rente på 4,1 prosent. Vekstfaktoren på 1,041 er regnet ut nedenfor. Overskriftene står i kolonne A, mens tallene står i kolonne B. I celle A 6 er overskriften innskudd nummer, og i celle B 6 er overskriften innskudd. I celle C 6 er overskriften verdi om 19 år. Det første innskuddsnummeret er 1 i celle A 7. Det siste årsnummeret er 19 i celle A 25. Tallet i celle A 8 er lagd med formelen er lik A 7 pluss 1, og resten av årsnumrene nedenfor er lagd ved å kopiere denne formelen. Tallet for verdi av innskuddet om 19 år i celle C 7 er regnet ut med formelen er lik B 7 asterisk dollartegn B dollartegn 4 cirkumfleks parentes 20 minus A 7 parentes slutt, og denne formelen er kopiert ned til og med rad 25. På rad 26 er kolonne B summert til 190000 kroner og kolonne C summert til 290889,58 kroner. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan også svare på spørsmålet ved å bruke hva Kari i den forrige oppgaven hadde på kontoen rett etter det 20. innskuddet (300 889,50 kroner med 4,1 prosent rente) og trekke fra det siste innskuddet på 10 000 kroner.

Ulrik vil ha 290 889,58 kroner på kontoen rett før det 20. innskuddet.

c) Hvor mye har han stående på kontoen rett før han skal sette inn for 20. gang dersom renta endrer seg til 3,9 prosent rett etter at han har satt inn for tiende gang?

Tips 1

Fra og med det tiende innskuddet må formelen i regnearket i b) endres.

Tips 2

Regn ut hvor mye som er innestående på kontoen rett etter det tiende innskuddet.

Løsning

Vi summerer først hva som er innestående på kontoen rett etter det tiende innskuddet. Videre kan vi se på den summen som "det nye tiende innskuddet", siden det skal stå like lenge som det opprinnelige innskuddet på 10 000 kroner. Fra og med da må vi passe på å bruke den andre vekstfaktoren.

Regneark og formelvisning av regnearket der inndataområdet er fast innskudd på 10000 kroner, rente nummer 1 på 4,1 prosent, rente nummer 2 på 3,9 prosent, vekstfaktor nummer 1 på 1,041 og vekstfaktor nummer 2 på 1,039 er regnet ut nedenfor. Overskriftene står i kolonne A, mens tallene står i kolonne B. I celle A 8 er overskriften innskudd nummer, og i celle B 8 er overskriften innskudd. I celle C 8 er overskriften verdi om 9 år. Det første innskuddsnummeret er 1 i celle A 7. Det siste årsnummeret er 19 i celle A 29. Tallet i celle A 8 er lagd med formelen er lik A 7 pluss 1, og resten av årsnumrene ned til celle A 18 er lagd ved å kopiere denne formelen. Tallet for verdi av innskuddet om 19 år i celle C 9 er regnet ut med formelen er lik B 9 asterisk dollartegn B dollartegn 5 cirkumfleks parentes 10 minus A 9 parentes slutt. Denne formelen er kopiert ned til og med rad 18. På rad 19 er kolonne C summert, og tallet er overført som innskudd nummer 10 i celle B 20. Resten av innskuddene ned til og med celle B 29 er fremdeles på 10000 kroner. Verdien i celle C 20 er regnet ut med formelen er lik B 20 asterisk dollartegn B dollartegn 6 cirkumfleks parents 20 minus A 20 parentes slutt. Denne formelen er kopiert ned til rad 29. På rad 30 er kolonne C summert til 286342,45 kroner. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Ulrik vil ha innestående 286 342,45 kroner på kontoen dersom renta blir endret fra 4,1 prosent til 3,9 prosent rett etter det tiende innskuddet.

Løsningen finner du i det nedlastbare regnearket nedenfor.

Filer

Løsninger på oppgavene(XLSX)

4.1.30

4.1.31

4.1.32

Faste celleadresser

Spørsmål

Spørsmål

4.1.33

Innledende oppgaver – med CAS eller kalkulator

Resten av oppgaven skal løses med regneark

4.1.34

Filer

Regler for bruk av teksten "Sparing"