Bruk av polynomdivisjon. Faktorisering og likninger

Vi setter inn $x=-1$ i $P\left(x\right)$:

$\begin{array}{rcl}P\left(-1\right) & =& 6·{\left(-1\right)}^3+5·{\left(-1\right)}^2-2·\left(-1\right)-1\\ & =& -6+5+2-1\\ & =& 0\end{array}$

Vi har fra oppgave a) at $x=-1$ er én løsning av likningen, og dermed at $x+1$ er en faktor i $P\left(x\right)$. Vi utfører polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left(6x^3+5x^2-2x-1\right):\left(x+1\right)& =& 6x^2-x-1\\ \underline{-\left(6x^3+6x^2\right) }& & \\ -x^2-2x-1& & \\ \underline{-\left(-x^2+x\right) }& & \\ -x-1& & \\ \underline{-(-x-1)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi finner de to siste løsningene ved hjelp av abc-formelen:

$\begin{array}{rcl}x & =& \hspace{0.17em}\frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·6·\left(-1\right)}}{2·6}\\ & =& \frac{1\pm \sqrt{25}}{12}\\ & =& \frac{1\pm 5}{12}\\ x & =& \frac{1+5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \vee x=\frac{1-5}{12}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}\end{array}$

Løsningene på likningen er

$x=-1 \vee x=\frac{1}{2} \vee x=-\frac{1}{3}$

$6·\frac{1}{2}·\left(-\frac{1}{3}\right)·\left(-1\right) = \frac{6·1·\left(-1\right)·\left(-1\right)}{2·3}=\frac{6}{6}=1$

Vi tar utgangspunkt i den faktoriserte formen av det generelle tredjegradspolynomet og regner oss fram:

$\begin{array}{rcl}P\left(x\right) & =& a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\\ & =& a\left(x^3+\left(x_3-x_2-x_1\right)x^2+\left(x_2{x}_3+x_1{x}_2+x_1{x}_3\right)x-x_1{x}_2{x}_3\right)\\ & =& a{x}^3+a\left(x_3-x_2-x_1\right)x^2+a\left(x_2{x}_3+x_1{x}_2+x_1{x}_3\right)x-a{x}_1{x}_2{x}_3\end{array}$

Vi har at dette uttrykket må være lik det ufaktoriserte uttrykket, og hvis vi ser på det siste leddet, har vi at $d=-a{x}_1{x}_2{x}_3$, som gir oss det vi skulle vise.

Kanskje det ikke er nødvendig å regne ut hele polynomet?

Hvis vi ser på utregningene i oppgave d), ser vi at alle leddene utenom det aller siste vil inneholde x i en eller annen potens. Kun det siste leddet vil kun inneholde nullpunktene og a.

Vi ser først på fjerdegradspolynomet:

$\begin{array}{rcl}a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e & =& a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\end{array}$

Det siste leddet vil bli

$a·\left(-x_1\right)·\left(-x_2\right)·\left(-x_3\right)·\left(-x_4\right)=a{x}_1{x}_2{x}_3{x}_4$

Så ser vi på femtegradspolynomet:

$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\left(x-x_5\right)$

Det siste leddet vil bli

$a·\left(-x_1\right)·\left(-x_2\right)·\left(-x_3\right)·\left(-x_4\right)·\left(-x_5\right)=-a{x}_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5$

Vi ser at for fjerdegradspolynomet blir det siste leddet lik konstantleddet e, mens i femtegradspolynomet blir det som i tredjegradspolynomet: Det siste leddet blir lik det motsatte av konstantleddet.

Vi undersøker om telleren er delelig med$x-3$. Hvis telleren er delelig med $(x-3)$, vil polynomet$x^3-4x^2+9$ være lik 0 når $x=3$. Vi setter inn $x=3$ og regner ut:

$3^3-4·3^2+9=27-36+9=0$

Svaret ble 0, og polynomdivisjonen vil gå opp.

$\begin{array}{lcc} \left(x^3-4x^2+0x+9\right):\left(x-3\right)& =& x^2-x-3\\ \underline{-\left(x^3-3x^2\right) } & & \\ -x^2+0x+9& & \\ \underline{-\left(-x^2+3x\right) }& & \\ -3x+9& & \\ \underline{-\left(-3x+9\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi får

$\frac{x^3-4x^2+9}{x-3}=\frac{\cancel{\left(x-3\right)}\left(x^2-x-3\right)}{\cancel{x-3}}=x^2-x-3$

Vi faktoriserer nevneren$2x^2-4x=2x(x-2).$ Vi sjekker først om telleren kan deles på en av faktorene i nevneren. Vi ser at telleren ikke kan blir 0 ved å sette inn$x=0$, så eneste mulighet for forkorting er faktoren$(x-2).$ Hvis telleren er delelig med$(x-2)$, vil telleren bli 0 når vi setter inn$x=2$:

$3·2^3-5·2^2-4=24-20-4=0$

Da vet vi at polynomdivisjonen vil gå opp.

$\begin{array}{lcc} \left(3x^3-5x^2+0x-4\right):\left(x-2\right)& =& 3x^2+x+2\\ \underline{-\left(3x^3-6x^2\right) } & & \\ x^2+0x-4& & \\ \underline{-\left(-x^2-2x\right) }& & \\ 2x-4& & \\ \underline{-\left(2x-4\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi har faktorisert tredjegradspolynomet i telleren og funnet at $3x^3-5x^2-4=(x-2)(3x^2+x+2)$. Vi kan nå forkorte brøken.

$\frac{3x^3-5x^2-4}{2x^2-4x}=\frac{(x-2)(3x^2+x+2)}{2x\left(x-2\right)}=\frac{3x^2+x+2}{2x}$

Nevneren kan faktoriseres ved hjelp av konjugatsetningen.

$x^2-9=(x-3)(x+3)$

$\frac{x^3+x^2-9x-9}{x^2-9}=\frac{x^3+x^2-9x-9}{(x-3)(x+3)}$

Vi sjekker om telleren kan deles på en av faktorene i nevneren. Vi prøver$(x-3)$:

$3^3+3^2-9·3-9=27+9-27-9=0$

Da vet vi at polynomdivisjonen vil gå opp:

$\begin{array}{lcc} \left(x^3+x^2-9x-9\right):\left(x-3\right)& =& x^2+4x+3\\ \underline{-\left(x^3-3x^2\right) } & & \\ 4x^2-9x-9& & \\ \underline{-\left(4x^2-12x\right) }& & \\ 3x-9& & \\ \underline{ -\left(3x-9\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Nå har vi $\frac{x^3+x^2-9x-9}{x^2-9}=\frac{(x-3)(x^2+4x+3)}{(x-3)(x+3)}$.

Vi faktoriserer $x^2+4x+3$:

$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$

Vi kan nå forkorte brøken:

$\frac{x^3+x^2-9x-9}{x^2-9}=\frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}(x+1)}{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}}=x+1$

$\begin{array}{lcc} \left(x^3-6x^2+11x-6\right):\left(x-1\right)& =& x^2-5x+6\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) } & & \\ -5x^2+11x-6& & \\ \underline{-\left(-5x^2+5x\right) }& & \\ 6x-6& & \\ \underline{ -\left(6x-6\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Divisjonen gikk opp. Det betyr at $x^3-6x^2+11x-6=(x^2-5x+6)(x-1)$.

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetningen:

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

Den ferdige faktoriseringen blir

$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$

$\begin{array}{lcc} \left(6x^3+x^2-9x-4\right):\left(2x+1\right)& =& 3x^2-x-4\\ \underline{-\left(6x^3+3x^2\right) } & & \\ -2x^2-9x-4& & \\ \underline{-\left(-2x^2-x\right) }& & \\ -8x-4& & \\ \underline{ -\left(-8x-4\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Divisjonen gikk opp. Det betyr at

$6x^3+x^2-9x-4=(3x^2-x-4)(2x+1)$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetningen. Vi setter $3x^2-x-4=0.$

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl}x & =& \frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4·3·(-4)}}{2·3}\\ x & =& \frac{1\pm 7}{6}\\ x_1 & =& -1 \vee x_2= \frac{4}{3}\end{array}$

Det betyr at

$3x^2-x-4=3(x-(-1\left)\right)(x-\frac{4}{3})=(x+1)(3x-4)$

Den ferdige faktoriseringen blir

$\left(x+1\right)\left(3x-4\right)\left(2x+1\right)$

$\begin{array}{lcc} \left(x^3-x^2-4x+4\right):\left(x-1\right)& =& x^2-4\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) } & & \\ 0-4x+4& & \\ \underline{-\left(-4x+x\right) }& & \\ 0& & \end{array}$

Divisjonen gikk opp. Det betyr at

$$$(x^3-x^2-4x+4)=(x^2-4)·(x-1)$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av konjugatsetningen.

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Den ferdige faktoriseringen blir

$(x^3-x^2-4x+4)=(x-2)·(x+2)·(x-1)$

Vi observerer at uttrykket $x^3+4x^2+x-6$ er lik null for $x=1$. Vi vet da at $(x-1)$ er faktor i $x^3+4x^2+x-6.$

Vi gjør en polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left(x^3+4x^2+x-6\right):\left(x-1\right)& =& x^2+5x+6\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) } & & \\ 5x^2+x-6& & \\ \underline{-\left(5x^2-5x\right) }& & \\ 6x-6& & \\ \underline{ -\left(6x-6\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

$x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$

Den ferdige faktoriseringen blir

$x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x+2)(x+3)$

Uttrykket$2x^3-14x+12$er lik null for$x=1$. Vi vet da at$x-1$ er en faktor i$2x^3-14x+12.$

Vi utfører divisjonen:

$\begin{array}{lcc} \left(2x^3+0x^2-14x+12\right):\left(x-1\right)& =& 2x^2+2x-12\\ \underline{-\left(2x^3-2x^2\right) } & & \\ 2x^2-14x+12& & \\ \underline{-\left(2x^2-2x\right) }& & \\ -12x+12& & \\ \underline{ -\left(-12x+12\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi kan faktorisere andregradspolynomet:

$2x^2+2x-12=2\left(x^2+x-6\right)=2(x+3)(x-2)$

Den ferdige faktoriseringen blir

$2x^3-14x+12=2(x-1)(x-2)(x+3)$

Vi observerer først at uttrykket $x^4+2x^3-7x^2-8x+12$ blir 0 for $x=1$. Vi deler uttrykket på $x-1$:

$\begin{array}{lcc} \left(x^4+2x^3-7x^2-8x+12\right):\left(x-1\right)& =& x^3+3x^2-4x-12\\ \underline{-\left(x^4-x^3\right) }& & \\ 3x^3-7x^2-8x+12& & \\ \underline{-\left(3x^3+3x^2\right) }& & \\ -4x^2-8x+12& & \\ \underline{-\left(-4x^2-4x\right) }& & \\ -12x-12 & & \\ \underline{-\left(-12x+12\right) }& & \\ 0& & \end{array}$

Vi står nå igjen med et tredjegradsuttrykk, så vi ser igjen etter et nullpunkt slik at vi kan utføre en ny polynomdivisjon. Vi ser at konstantleddet er 12, og hvis vi faktoriserer dette tallet, får vi at $12=2·2·3$. Vi sjekker om $x=2$ er et nullpunkt:

$2^4+2·2^3-7·2^2-8·2+12 = 16+16-28-16+12=0$

Vi kan utføre enda en polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left(x^3+3x^2-4x-12\right):\left(x-2\right)& =& x^2+5x+6\\ \underline{-\left(x^3-2x^2\right) }& & \\ 5x^2-4x-12& & \\ \underline{-\left(5x^2-10x\right) }& & \\ 6x-12& & \\ \underline{-(6x-12)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi har at

$x^2+5x+6=\left(x+2\right)\left(x+3\right)$

Til sammen gir dette at

$x^4+2x^3-7x^2-8x+12=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)$

Vi har at uttrykket$x^3+3x^2+4x+2$er lik null for$x=-1$. Vi vet da at$x+1$er faktor i$x^3+3x^2+4x+2$.

Vi utfører divisjonen.

$\begin{array}{lcc} \left(x^3+3x^2+4x+2\right):\left(x+1\right)& =& x^2+2x+2\\ \underline{-\left(x^3+x^2\right) }& & \\ 2x^2+4x+2& & \\ \underline{-\left(2x^2+2x\right) }& & \\ 2x+2& & \\ \underline{-(2x+2)}& & \\ 0& & \end{array}$

$$Vi setter$x^2+2x+2=0.$

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x+2 & =& 0\\ x & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·2}}{2·1}\\ x & =& \frac{-2\pm \sqrt{-4}}{2}\end{array}$

Vi får ingen reelle løsninger. Det betyr at$x^2+2x+2$ikke kan faktoriseres. Den ferdige faktoriseringen blir

$x^3+3x^2+4x+2=(x^2+2x+2)(x+1)$

Vi observerer at $18=3·3·2$. Vi tester derfor om uttrykket kan deles på $x-2$ ved å sette inn 2 for x:

$2^3-2·2^2-9·2+18=8-8-18+18=0$

Vi utfører polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left(x^3-2x^2-9x+18\right):\left(x-2\right)& =& x^2-9\\ \underline{-\left(x^3-2x^2\right) }& & \\ 0-9x+18& & \\ \underline{-\left(-9x+18\right)} & & \\ 0& & \end{array}$

Vi kan faktorisere andregradsuttrykket ved hjelp av konjugatsetningen og får

$\begin{array}{rcl}{x}^3-2x^2-9x+18 & =& 0\\ (x-2)(x-3)(x+3) & =& 0\\ x & =& 2 \vee x=3 \vee x=-3\end{array}$

Vi observerer at $3=3·1$, og sjekker om $x=1$ er en løsning:

$1^3+3·1^2-1-3=1+3-1-3=0$

Vi utfører polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+3x^2-x-3\right):\left(x-1\right)& =& x^2+4x+3\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) }& & \\ 4x^2-x-3& & \\ \underline{ -\left(4x^2-4x\right) } & & \\ 3x-3& & \\ \underline{ -\left(3x-3\right)} & & \\ 0& & \end{array}$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket og får at

$\begin{array}{rcl}{x}^3+3x^2-x-3 & =& 0\\ \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right) & =& 0\\ x & =& 1 \vee x=-1 \vee x=-3\end{array}$

Vi bruker faktoriseringene fra a) og b) og får:

$\begin{array}{rcl}\frac{x^3-2x^2-9x+18}{x^3+3x^2-x-3} & =& 0\\ \frac{\left(x-3\right)\cancel{\left(x+3\right)}\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)\cancel{\left(x+3\right)}} & =& 0\\ \left(x-3\right)\left(x-2\right) & =& 0\\ x & =& 3 \vee x=2\end{array}$

Vi observerer at $x^2+4x+3 = \left(x+1\right)\left(x+3\right)$. De andre nevnerne er faktorer i dette uttrykket, så dette er fellesnevneren. Vi ganger den inn i alle ledd slik at vi blir kvitt brøkene:

$\begin{array}{rcl}\frac{x^2}{x+3}+\frac{2x}{x+1}+\frac{4}{x^2+4x+3} & =& \frac{7}{x+3} |·\left(x+1\right)\left(x+3\right)\\ x^2\left(x+1\right)+2x\left(x+3\right)+4 & =& 7(x+1)\\ x^3+x^2+2x^2+6x+4-7x-7 & =& 0\\ x^3+3x^2-x-3 & =& 0\end{array}$

Vi ender opp med en tredjegradslikning, den samme som vi løste i oppgave 5 b), det vil si at tredjegradslikningen har løsningene

$\begin{array}{rcl}x & =& 1 \vee x=-1 \vee x= -3\end{array}$

Vi ser at de to negative løsningene gir 0 under brøkstreken i den opprinnelige likningen, dermed har vi kun én løsning på denne:

$x=1$

Dette uttrykket likner mye på likningen i oppgave 6 a). Husk at å faktorisere og forkorte uttrykk er litt annerledes enn likningsløsning!

Vi utvider alle brøkene til fellesnevner og setter på en felles brøkstrek:

$\begin{array}{rcl}& & \frac{x^2·\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)·\left(x+1\right)}+\frac{2x·\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)·\left(x+3\right)}+\frac{4}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}-\frac{7·\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)·\left(x+1\right)} \\ & =& \frac{x^3+x^2+2x^3+6x+4-7x-7}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)} \\ & =& \frac{x^3+3x^2-x-3}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\end{array}$

Her bruker vi opplysningene fra oppgave 5 b) til å faktorisere:

$= \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)} =x-1$

Vi legger merke til at de to løsningene vi må forkaste i likningen, gir faktorer vi kan forkorte i det tilsvarende uttrykket som skal trekkes sammen.

Vi finner fellesnevneren og fjerner nevnerne:

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{x+2}+\frac{x+1}{x+2} & =& \frac{3}{x+1} |·\left(x+2\right)\left(x+1\right)\\ x+1+{(x+1)}^2 & =& 3\left(x+2\right)\\ x+1+x^2+2x+1-3x-6 & =& 0\\ x^2-4 & =& 0\\ x & =& \pm 2\end{array}$

Vi observerer at $x=-2$ gir 0 i nevneren, og vi står igjen med løsningen

$x=2$

$\begin{array}{rcl}\frac{x}{x+3}+\frac{1}{x-1} & =& \frac{3}{x} |·x\left(x+3\right)\left(x-1\right)\\ x·x\left(x-1\right)+x\left(x+3\right) & =& 3·\left(x+3\right)\left(x-1\right)\\ x^3-x^2+x^2+3x & =& 3x^2+6x-9\\ x^3-3x^2-3x+9 & =& 0 \end{array}$

Vi observerer at $x=3$ er en løsning (vi gjetter på 3, siden konstantleddet er $9=3·3$):

$3^3-3·3^2-3·3+9=0$

Vi utfører polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left( x^3-3x^2-3x+9\right):\left(x-3\right)& =& x^2-3\\ \underline{-\left(x^3-3x^2\right) }& & \\ 0-3x+9& & \\ \underline{-\left(-3x+9\right) }& & \\ 0& & \end{array}$

Vi har at likningen har følgende tre løsninger:

$x=3, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}$

$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x+1}-\frac{6}{x-4} & =& \frac{6}{x+2}+1 |·\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)\\ 2\left(x-4\right)\left(x+2\right)-6·\left(x+1\right)\left(x+2\right) & =& 6·\left(x+1\right)\left(x-4\right)+\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)\\ 2x^2-4x-16-6x^2-18x-12 & =& 6x^2-18x-24+x^3-x^2-10x-8\\ x^3+9x^2-6x-4 & =& 0\end{array}$

Vi observerer at $x=1$ er én løsning:

$1^3+9·1^2-6·2-4=0$

Det betyr at $x-1$ er en faktor i tredjegradsuttrykket, og vi utfører en polynomdivisjon for å finne eventuelle andre løsninger:

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+9x^2-6x-4\right):\left(x-1\right)& =& x^2+10x+4\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) }& & \\ 10x^2-6x-4& & \\ \underline{-\left(10x^2-10x\right) }& & \\ 4x-4& & \\ \underline{-(4x-4)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi finner nullpunktene til andregradsuttrykket med abc-formelen:

$\begin{array}{rcl}x & =& \frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & =& \frac{-10\pm \sqrt{84}}{2}\\ & =& \frac{-5·2\pm \sqrt{4·21}}{2}\\ & =& -5\pm \sqrt{21}\end{array}$

Likningen vår har følgende tre løsninger:

$x=1, x=-5+\sqrt{21}, x=-5-\sqrt{21}$

Først faktoriserer vi nevneren til høyre for brøkstreken. Vi observerer at begge de to nevnerne til venstre er faktorer i tredjegradspolynomet:

$\begin{array}{rcl}{\left(-2\right)}^3+2·{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-2 & =& -8+8+2-2=0\\ 1^3+2·1^2+1-2 & =& 1+2+1-2=0\end{array}$

Vi finner den siste faktoren ved hjelp av polynomdivisjon:

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)=x^2+x-2$

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+2x^2-x-2\right):\left(x^2+x-2\right)& =& x+1\\ \underline{-\left(x^3+x^2-2x\right) }& & \\ x^2+x-2& & \\ \underline{-\left(x^2+x-2\right) }& & \\ 0& & \end{array}$

Nå kan vi løse likningen ved å gange med fellesnevneren:

$\begin{array}{rcl}\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x-1} & =& -\frac{6}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)} |·\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)\\ x·\left(x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\left(x+2\right) & =& -6\\ x^3-x-(x^2+3x+2) +6 & =& 0\\ x^3-x^2-4x+4 & =& 0\end{array}$

Vi observerer at ett nullpunkt for tredjegradspolynomet er $x=1$:

$1^3-1^2-4·1+4=0$

Vi gjør polynomdivisjon igjen:

$\begin{array}{lcc} \left( x^3-x^2-4x+4\right):\left(x-1\right)& =& x^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right)\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) }& & \\ -4x+4& & \\ \underline{-\left(-4x+4\right) }& & \\ 0& & \end{array}$