Oppgave

Effektfaktor og virkningsgrad i en elmotor

Her skal du bli litt bedre kjent med størrelsen effekt i elektriske motorer. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

a) Du vet at effektfaktoren til en elektromotor er $\cos 𝜑 = 0, 65$ .

Hva er fasevinkelen $φ$ ?

Løsning

I OneNote finner vi fasevinkelen $φ$ ved å skrive acos(0,65)=.

Med CAS i GeoGebra finner vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.65) og trykke på knappen for numerisk utregning, $\approx_{}^{}$ .

Vi får i begge tilfeller at $𝜑 = 49 °$ .

b) Faseforskyvningsvinkelen $φ$ til en krets gir $\cos 𝜑 = 0, 75$ .

Hva er verdien av $φ$ ?

Løsning

Det spørres etter det samme som i forrige oppgave.

I OneNote finner vi fasevinkelen $φ$ ved å skrive acos(0,75)=.

Med CAS i GeoGebra finner vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.75) og trykke på knappen for numerisk utregning.

Vi får i begge tilfeller at $𝜑 = 41 °$ .

c) En motor har en effektfaktor på $\cos 𝜑 = 0, 92$ .

Hvor stor er fasevinkelen $φ$ ?

Løsning

I OneNote finner vi fasevinkelen $φ$ ved å skrive acos(0,92)=.

Med CAS i GeoGebra finner vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.92) og trykke på knappen for numerisk utregning.

Vi får i begge tilfeller at $𝜑 = 23 °$ .

d) En motor har en effektfaktor på $\cos 𝜑 = 0, 9$ .

Hva er faseforskyvningsvinkelen $φ$ ?

Løsning

Igjen spørres det etter det samme som i de forrige oppgavene.

I OneNote finner vi fasevinkelen 𝜑 ved å skrive acos(0,9)=.

Med CAS i GeoGebra finner vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.9) og trykke på knappen for numerisk utregning.

Vi får i begge tilfeller at $𝜑 = 26 °$ .

e) I en krets er fasevinkelen $φ$ slik at $\cos 𝜑 = 0, 8$ .

Beregn $φ$ .

Løsning

Igjen spørres det etter det samme som i de forrige oppgavene.

I OneNote finner vi fasevinkelen $φ$ ved å skrive acos(0,8)=.

Med CAS i GeoGebra finner vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.8) og trykke på knappen for numerisk utregning.

Vi får i begge tilfeller at $𝜑 = 37 °$ .

Oppgave 2

a) I en motor er fasevinkelen $φ$ oppgitt til 20°.

Beregn $\cos 𝜑$ .

Løsning

I OneNote finner vi $\cos 𝜑$ ved å skrive cos(20)=.

Med CAS i GeoGebra finner vi fasevinkelen ved å skrive cos(20°) og trykke på knappen for numerisk utregning. Symbolet for grader får vi ved å trykke Alt + o, det vil si holde inne Alt-knappen og trykke på bokstaven o.

Vi får i begge tilfeller at $\cos 𝜑 = 0, 94$ .

b) For en motor får du oppgitt at faseforskyvningsvinkelen $𝜑 = 15 °$ .

Beregn effektfaktoren til motoren.

Løsning

Effektfaktoren er $\cos 𝜑$ . I OneNote finner vi $\cos 𝜑$ ved å skrive cos(15)=.

Med CAS i GeoGebra finner vi fasevinkelen ved å skrive cos(15°) og trykke på knappen for numerisk utregning.

Vi får i begge tilfeller at $\cos 𝜑 = 0, 97$ .

c) I en strømkrets er faseforskyvningen oppgitt til 23°.

Beregn effektfaktoren i strømkretsen.

Løsning

Effektfaktoren er $\cos 𝜑$ . I OneNote finner vi $\cos 𝜑$ ved å skrive cos(23)=.

Med CAS i GeoGebra finner vi fasevinkelen ved å skrive cos(23°) og trykke på knappen for numerisk utregning.

Vi får i begge tilfeller at $\cos 𝜑 = 0, 92$ .

Oppgave 3

a) Tegn en skisse av effekttrekanten. Marker fasevinkelen $φ$ , tilført (aktiv) effekt $P_{t}$ , reaktiv effekt Q og tilsynelatende effekt S.

Løsningsforslag

Rettvinklet trekant der siden Q er motstående katet til vinkel fi, siden P t er hosliggende katet til vinkel fi, og S er hypotenusen. Illustrasjon. — Effekttrekant

En maskin har en tilført effekt $P_{t} = 4 000 W$ og en tilsynelatende effekt $S = 4 500 VA$ .

b) Hva er effektfaktoren til maskinen?

Løsning

Vi har at effektfaktoren $\cos 𝜑$ er forholdet mellom tilført effekt og tilsynelatende effekt. Dette gir at effektfaktoren er

$\cos 𝜑 = \frac{P_{t}}{S} = \frac{4 000 W}{4 500 VA} = 0, 89$

c) Hva er faseforskyvningen $φ$ til maskinen?

Løsning

I OneNote finner vi fasevinkelen $φ$ ved å skrive acos(0,89)=.

Med CAS i GeoGebra finner vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.89) og trykke på knappen for numerisk utregning.

Vi får i begge tilfeller at $𝜑 = 27 °$ .

d) Hva er den reaktive effekten Q til maskinen?

Løsning

Vi kan finne den reaktive effekten Q på to måter.

Metode 1:

Fra effekttrekanten har vi at $\sin 𝜑 = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{Q}{S}$ . Dette gir at

$Q = S \cdot \sin 𝜑 = 4 500 VA \cdot \sin 27 ° = 2 043 var$

I OneNote skriver vi 4500*sin(27)=. I CAS i GeoGebra skriver vi 4500*sin(27°) og trykker på knappen for numerisk utregning. Legg merke til at vi skifter måleenhet fra VA til var siden S måles i VA og Q måles i var (selv om begge er effekter).

Metode 2:

Med pytagorassetningen på effekttrekanten får vi at

$\begin{array}{rcl} Q^{2} + {P_{t}}^{2} & = & S^{2} \\ Q^{2} & = & S^{2} - {P_{t}}^{2} \\ Q & = & \sqrt{S^{2} - {P_{t}}^{2}} = \sqrt{{(4 500 VA)}^{2} - {(4 000 W)}^{2}} = 2 061 var \end{array}$

I OneNote skriver vi sqrt(4500^2-4000^2)=. I GeoGebra skriver vi det samme, men uten likhetstegnet. GeoGebra vil formatere uttrykket mens vi skriver.

Vi får ikke helt samme svar med de to metodene. Årsaken er at i den første metoden har vi brukt en avrundet verdi for fasevinkelen $φ$ .

Oppgave 4

For en stor boremaskin får du oppgitt at den tilførte effekten $P_{t} = 1 900 W$ og den reaktive effekten $Q = 650 var$ .

a) Hva er den tilsynelatende effekten S til boremaskinen?

Løsning

Med pytagorassetningen på effekttrekanten får vi at

$\begin{array}{rcl} S^{2} & = & Q^{2} + {P_{t}}^{2} \\ S & = & \sqrt{Q^{2} + {P_{t}}^{2}} = \sqrt{{(650 var)}^{2} + {(1 900 W)}^{2}} = 2 008 VA \end{array}$

I OneNote skriver vi sqrt(650^2+1900^2)=. I GeoGebra skriver vi det samme, men uten likhetstegnet. GeoGebra vil formatere uttrykket mens vi skriver.

b) Beregn effektfaktoren til boremaskinen.

Løsning

Ut fra effekttrekanten har vi at effektfaktoren $\cos 𝜑$ er

$\cos 𝜑 = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{P_{t}}{S} = \frac{1 900 W}{2 008 VA} = 0, 95$

Oppgave 5

For ei båndsag får du oppgitt at den tilsynelatende effekten $S = 2 900 VA$ og den reaktive effekten $Q = 1 100 var$ .

a) Hva er den aktive effekten til båndsaga?

Løsning

Med pytagorassetningen på effekttrekanten får vi at

$\begin{array}{rcl} Q^{2} + {P_{t}}^{2} & = & S^{2} \\ {P_{t}}^{2} & = & S^{2} - Q^{2} \\ P_{t} & = & \sqrt{S^{2} - Q^{2}} = \sqrt{{(2 900 VA)}^{2} - {(1 100 var)}^{2}} = 2 683 W \end{array}$

b) Beregn effektfaktoren til båndsaga.

Løsning

Ut fra effekttrekanten har vi at effektfaktoren $\cos 𝜑$ er

$\cos 𝜑 = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{P_{t}}{S} = \frac{2 683 W}{2 900 VA} = 0, 93$

Oppgave 6

Regn ut den tilførte effekten $P_{t}$ i tilfellene nedenfor.

a) En enfaset motor har følgende data:

spenning $U = 230 V$
strøm $I = 10 A$
effektfaktor $\cos 𝜑 = 0, 866$

Løsning

$P_{t} = U \cdot I \cdot \cos 𝜑 = 230 V \cdot 10 A \cdot 0, 866 = 1 992 W$

b) En trefaset motor har følgende data:

spenning: 400 V
strøm: 10 A
fasevinkel: 22°

Løsning

$P_{t} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos 𝜑 = \sqrt{3} \cdot 400 V \cdot 10 A \cdot \cos 22 ° = 6 424 W$

I OneNote skriver vi sqrt(3)*400*10*cos(22)=. I CAS i GeoGebra skriver vi sqrt(3)*400*10*cos(22°) og trykker på knappen for numerisk beregning.

Oppgave 7

Merkeskilt på elektrisk sag. Informasjon som kan leses, er at cos fi er 0,93, 230 volt, 50 hertz, P2 er 2,2 kilowatt. Foto. — Eksempel på merkeskilt på ei sag

Bildet viser et merkeskilt på ei sag. Der kan vi blant annet lese følgende:

1 ~Mot.
P1 3,0 kW
P2 2,2 kW
230 V
14 A
cos𝜑 0,93

a) Er motoren på saga en enfasemotor eller en trefasemotor?

Løsning

Betegnelsen "1 ~Mot." må bety at saga har en enfasemotor.

b) Hvor stor er fasevinkelen $φ$ målt i grader?

Løsning

Vi har at effektfaktoren $\cos 𝜑 = 0, 93$ . Dette er en likning som vi kan løse med en kalkulator eller med CAS i GeoGebra.

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet cos parentes x gradsymbol parentes slutt er lik 0,93. Svaret med NLøs er x er lik 21,57. Skjermutklipp.

Med kalkulatoren i OneNote skriver vi acos(0,93)=. Med CAS i GeoGebra skriver vi acosd(0.93).

Fasevinkelen er 21,6°.

c) Er P1 den tilsynelatende effekten S, den tilførte effekten $P_{t}$ eller ingen av de to? Regn ut begge effektene og sammenlikn resultatene opp mot den oppgitte P1 verdien.

Løsningsforslag

Vi starter med å regne ut den tilsynelatende effekten S.

$S = U \cdot I = 230 V \cdot 14 A = 3 220 VA = 3, 22 kVA$

Dette tallet er litt for stort. Vi regner så ut den tilførte effekten $P_{t}$ , som vi her kan regne ut ved å multiplisere den tilsynelatende effekten S med effektfaktoren, siden vi alt har regnet ut $S$ .

$P_{t} = U \cdot I \cdot \cos 𝜑 = S \cdot \cos 𝜑 = 3, 22 kVA \cdot 0, 93 = 2, 99 kW \approx 3, 0 kW$

Da kan vi konkludere med at den oppgitte effekten P1 på merkeskiltet er det samme som tilført effekt $P_{t}$ .

Legg merke til at vi skifter måleenhet fra kVA til kW siden den tilsynelatende effekten S skal ha måleenhet VA (voltampere), mens den tilførte effekten $P_{t}$ måles i W (watt).

d) Regn ut den reaktive effekten Q.

Løsningsforslag

Alternativ 1:

Vi bruker pytagorassetningen på effekttrekanten.

$\begin{array}{rcl} Q & = & \sqrt{S^{2} - {P_{t}}^{2}} \\ = & \sqrt{3, 22^{2} - 2, 99^{2}} kvar \\ = & 1, 2 kvar \end{array}$

Alternativ 2:

Vi bruker at $\sin 𝜑 = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{Q}{S}$ . Dette gir

$Q = S \cdot \sin 𝜑 = 3, 22 kVA \cdot \sin 21, 57 ° = 1, 2 kvar$

Legg merke til at vi skifter måleenhet fra kVA til kvar (kilovoltampere-reaktiv) siden den tilsynelatende effekten S skal ha måleenhet VA (voltampere), mens den reaktive effekten Q måles i var (voltampere-reaktiv).

e) Den oppgitte effekten P2 på 2,2 kW passer ikke med noen av de effekttypene vi har regnet ut. Siden P2 er mindre enn den tilførte effekten $P_{t}$ , vil den bety hvilken effekt vi får ut av motoren, såkalt avgitt eller utgående effekt $P_{a}$ .

Hvorfor får vi ikke like stor effekt ut av motoren som det vi tilfører?

Løsning

Vi taper energi på grunn av friksjon, luftmotstand og elektrisk resistans i motoren.

f) Vi kan regne ut den såkalte virkningsgraden $η$ (den greske bokstaven eta) til motoren ved å dele den utgående effekten $P_{a}$ på den tilførte effekten $P_{t}$ .

Regn ut virkningsgraden til motoren. Skriv også svaret som prosent.

Løsning

$η = \frac{P_{a}}{P_{t}} = \frac{2, 2 kW}{3, 0 kW} = 0, 73 = 73 %$

Oppgave 8

På et merkeskilt for en trefasemotor står det blant annet følgende:

V 230
A 1,2
cos𝜑 0,7
kW 0,28

a) Hva betyr disse opplysningene?

Løsning

Opplysningene betyr at når motoren får tilført en spenning på 230 V, kan den yte en avgitt effekt $P_{a} = 0, 28 kW$ og vil da trekke en strøm på 1,2 A. Effektfaktoren er 0,7.

Vi har forutsatt at det ikke er oppgitt andre effekter på merkeskiltet til motoren. Da er det den avgitte effekten som er oppgitt.

b) Regn ut den tilsynelatende effekten S.

Løsning

Her må vi huske på å ta med faktoren $\sqrt{3}$ siden det er en trefasemotor.

$S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I = \sqrt{3} \cdot 230 V \cdot 1, 2 A = 478 VA = 0, 478 kVA$

c) Regn ut den tilførte effekten $P_{t}$ til motoren.

Løsning

$P_{t} = S \cdot \cos 𝜑 = 0, 478 kVA \cdot 0, 7 = 0, 335 kW$

d) Hva er virkningsgraden $η$ til denne motoren?

Løsning

$η = \frac{P_{a}}{P_{t}} = \frac{0, 28 kW}{0, 335 kW} = 0, 836 = 83, 6 %$

Oppgave 9

På merkeskiltet til en elmotor står det blant annet 3 tilde Mot punktum, P 2 kolon 3,6 kW, 14,7 skråstrek 8,5 A, 230 skråstrek 400 V, cos fi 0,73. Foto.

Bildet viser merkeskiltet til en elmotor. Noen har klusset på skiltet slik at det ikke går an å se hva den tilførte effekten $P_{t}$ (kalt "P1" på skiltet) er.

a) Er dette en enfase- eller en trefasemotor?

Løsning

Siden det står "3~Mot." øverst på skiltet, er det en trefasemotor.

b) Hva slags type effekt er P2, som er oppgitt til 3,6 kW?

Løsning

Som i oppgave 1 må vi gå ut ifra at dette er den avgitte effekten, som vi vanligvis kaller $P_{a}$ .

c) Hva er strømmen gjennom motoren når den er tilkoblet 230 V og går på maksimum belastning?

Løsning

Siden det står "14,7/8,5 A" og 230 V står før 400 V, er strømmen i dette tilfellet 14,7 A.

d) Regn ut den tilførte effekten $P_{t}$ til motoren.

Løsning

$\begin{array}{rcl} P_{t} & = & \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos 𝜑 \\ = & \sqrt{3} \cdot 230 V \cdot 14, 7 A \cdot 0, 73 \\ = & 4 275 W \\ = & 4, 28 kW \end{array}$

e) Regn ut virkningsgraden til motoren. Skriv svaret både som desimaltall og prosent.

Løsning

$η = \frac{P_{a}}{P_{t}} = \frac{3, 6 kW}{4, 28 kW} = 0, 841 = 84, 1 %$

Oppgave 10

På et merkeskilt til en elmotor står det blant annet I E 2 82,8 prosent, three - phase induction motor, kW 1,5, V 230 skråstrek 400, A 6,32 skråstrek 3,65. Foto.

Bildet viser merkeskiltet til en elmotor.

a) Er dette en enfasemotor eller en trefasemotor?

Løsning

Her står det "Three - phase induction motor", så det er en trefasemotor.

b) Hva er strømmen gjennom motoren når den er tilkoblet 230 V og går på maksimum belastning, ifølge merkeskiltet?

Løsning

Siden det står "V 230/400" og "A 6,32/3,65", er strømmen i dette tilfellet 6,32 A.

c) Øverst til høyre står det "IE2 82,8 %". Hva kan det bety?

Løsning

Dette er virkningsgraden til motoren. Se også avsnittet "Elektriske motorer i et ressursperspektiv" i Wikipedias artikkel "Elektrisk motor".

d) Regn ut den tilførte effekten $P_{t}$ til motoren.

Tips til oppgaven

Vi kan ikke bruke den vanlige formelen for tilført effekt siden vi ikke kjenner effektfaktoren $\cos 𝜑$ . Men vi kan regne ut den tilførte effekten ut ifra virkningsgraden $η$ .

Løsning

Vi har for virkningsgraden $η$ :

$η = \frac{P_{a}}{P_{t}} \Leftrightarrow η \cdot P_{t} = P_{a} \Leftrightarrow P_{t} = \frac{P_{a}}{η}$

Vi får derfor at

$P_{t} = \frac{1, 5 kW}{0, 828} = 1, 81 kW$

e) Finn en formel for effektfaktoren $\cos 𝜑$ ut ifra kjente størrelser, og regn ut hva den blir her.

Tips til oppgaven

Bruk formelen $P_{t} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos 𝜑$ og snu på den.

Løsning

Vi har at

$P_{t} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos 𝜑 \Leftrightarrow \cos 𝜑 = \frac{P_{t}}{\sqrt{3} \cdot U \cdot I}$

Dette gir

$\cos 𝜑 = \frac{1 810 W}{\sqrt{3} \cdot 230 V \cdot 6, 32 A} = 0, 72$

Oppgave 11

Gå på et verksted som har maskiner med elmotorer. Ta bilde av merkeskiltene til motorene. Er det noen størrelser som ikke er oppgitt på skiltene? Regn ut disse.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Motorberegning