Oppgåve

Effektfaktor og verknadsgrad i ein elmotor

Her skal du bli litt betre kjend med storleiken effekt i elektriske motorar. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

a) Du veit at effektfaktoren til ein elektromotor er $\cos 𝜑 = 0, 65$ .

Kva er fasevinkelen $φ$ ?

Løysing

I OneNote finn vi fasevinkelen $φ$ ved å skrive acos(0,65)=.

Med CAS i GeoGebra finn vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.65) og trykke på knappen for numerisk utrekning, $\approx_{}^{}$ .

Vi får i begge tilfelle at $𝜑 = 49 °$ .

b) Faseforskyvingsvinkelen $φ$ til ein krets gir $\cos 𝜑 = 0, 75$ .

Kva er verdien av $φ$ ?

Løysing

Det blir spurt etter det same som i den førre oppgåva.

I OneNote finn vi fasevinkelen $φ$ ved å skrive acos(0,75)=.

Med CAS i GeoGebra finn vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.75) og trykke på knappen for numerisk utrekning.

Vi får i begge tilfelle at $𝜑 = 41 °$ .

c) Ein motor har ein effektfaktor på $\cos 𝜑 = 0, 92$ .

Kor stor er fasevinkelen $φ$ ?

Løysing

I OneNote finn vi fasevinkelen $φ$ ved å skrive acos(0,92)=.

Med CAS i GeoGebra finn vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.92) og trykke på knappen for numerisk utrekning.

Vi får i begge tilfelle at $𝜑 = 23 °$ .

d) Ein motor har ein effektfaktor på $\cos 𝜑 = 0, 9$ .

Kva er faseforskyvingsvinkelen $φ$ ?

Løysing

Igjen blir det spurt det etter det same som i dei førre oppgåvene.

I OneNote finn vi fasevinkelen 𝜑 ved å skrive acos(0,9)=.

Med CAS i GeoGebra finn vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.9) og trykke på knappen for numerisk utrekning.

Vi får i begge tilfelle at $𝜑 = 26 °$ .

e) I ein krets er fasevinkelen $φ$ slik at $\cos 𝜑 = 0, 8$ .

Berekn $φ$ .

Løysing

Igjen blir det spurt det etter det same som i dei førre oppgåvene.

I OneNote finn vi fasevinkelen $φ$ ved å skrive acos(0,8)=.

Med CAS i GeoGebra finn vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.8) og trykke på knappen for numerisk utrekning.

Vi får i begge tilfelle at $𝜑 = 37 °$ .

Oppgåve 2

a) I ein motor er fasevinkelen $φ$ gitt til 20°.

Berekn $\cos 𝜑$ .

Løysing

I OneNote finn vi $\cos 𝜑$ ved å skrive cos(20)=.

Med CAS i GeoGebra finn vi fasevinkelen ved å skrive cos(20°) og trykke på knappen for numerisk utrekning. Symbolet for gradar får vi ved å trykke Alt + o, det vil seie halde inne Alt-knappen og trykke på bokstaven o.

Vi får i begge tilfelle at $\cos 𝜑 = 0, 94$ .

b) For ein motor får du gitt at faseforskyvingsvinkelen $𝜑 = 15 °$ .

Berekn effektfaktoren til motoren.

Løysing

Effektfaktoren er $\cos 𝜑$ . I OneNote finn vi $\cos 𝜑$ ved å skrive cos(15)=.

Med CAS i GeoGebra finn vi fasevinkelen ved å skrive cos(15°) og trykke på knappen for numerisk utrekning.

Vi får i begge tilfelle at $\cos 𝜑 = 0, 97$ .

c) I ein straumkrets er faseforskyvinga gitt til 23°.

Berekn effektfaktoren i straumkretsen.

Løysing

Effektfaktoren er $\cos 𝜑$ . I OneNote finn vi $\cos 𝜑$ ved å skrive cos(23)=.

Med CAS i GeoGebra finn vi fasevinkelen ved å skrive cos(23°) og trykke på knappen for numerisk utrekning.

Vi får i begge tilfelle at $\cos 𝜑 = 0, 92$ .

Oppgåve 3

a) Teikn ei skisse av effekttrekanten. Marker fasevinkelen $φ$ , tilført (aktiv) effekt $P_{t}$ , reaktiv effekt Q og tilsynelatande effekt S.

Løysingsforslag

Rettvinkla trekant der sida Q er motståande katet til vinkel fi, sida P t er hosliggande katet til vinkel fi, og S er hypotenusen. Illustrasjon. — Effekttrekant

Ei maskin har ein tilført effekt $P_{t} = 4 000 W$ og ein tilsynelatande effekt $S = 4 500 VA$ .

b) Kva er effektfaktoren til maskina?

Løysing

Vi har at effektfaktoren $\cos 𝜑$ er forholdet mellom tilført effekt og tilsynelatande effekt. Dette gir at effektfaktoren er

$\cos 𝜑 = \frac{P_{t}}{S} = \frac{4 000 W}{4 500 VA} = 0, 89$

c) Kva er faseforskyvinga $φ$ til maskina?

Løysing

I OneNote finn vi fasevinkelen $φ$ ved å skrive acos(0,89)=.

Med CAS i GeoGebra finn vi fasevinkelen ved å skrive acosd(0.89) og trykke på knappen for numerisk utrekning.

Vi får i begge tilfelle at $𝜑 = 27 °$ .

d) Kva er den reaktive effekten Q til maskina?

Løysing

Vi kan finne den reaktive effekten Q på to måtar.

Metode 1:

Frå effekttrekanten har vi at $\sin 𝜑 = \frac{motståande katet}{hypotenus} = \frac{Q}{S}$ . Dette gir at

$Q = S \cdot \sin 𝜑 = 4 500 VA \cdot \sin 27 ° = 2 043 var$

I OneNote skriv vi 4500*sin(27)=. I CAS i GeoGebra skriv vi 4500*sin(27°) og trykker på knappen for numerisk utrekning. Legg merke til at vi skiftar måleining frå VA til var sidan S er målt i VA og Q er målt i var (sjølv om begge er effektar).

Metode 2:

Med pytagorassetninga på effekttrekanten får vi at

$\begin{array}{rcl} Q^{2} + {P_{t}}^{2} & = & S^{2} \\ Q^{2} & = & S^{2} - {P_{t}}^{2} \\ Q & = & \sqrt{S^{2} - {P_{t}}^{2}} = \sqrt{{(4 500 VA)}^{2} - {(4 000 W)}^{2}} = 2 061 var \end{array}$

I OneNote skriv vi sqrt(4500^2-4000^2)=. I GeoGebra skriv vi det same, men utan likskapsteiknet. GeoGebra vil formatere uttrykket mens vi skriv.

Vi får ikkje heilt same svar med dei to metodane. Årsaka er at i den første metoden har vi brukt ein avrunda verdi for fasevinkelen $φ$ .

Oppgåve 4

For ei stor boremaskin får du gitt at den tilførte effekten $P_{t} = 1 900 W$ og den reaktive effekten $Q = 650 var$ .

a) Kva er den tilsynelatande effekten S til boremaskina?

Løysing

Med pytagorassetninga på effekttrekanten får vi at

$\begin{array}{rcl} S^{2} & = & Q^{2} + {P_{t}}^{2} \\ S & = & \sqrt{Q^{2} + {P_{t}}^{2}} = \sqrt{{(650 var)}^{2} + {(1 900 W)}^{2}} = 2 008 VA \end{array}$

I OneNote skriv vi sqrt(650^2+1900^2)=. I GeoGebra skriv vi det same, men utan likskapsteiknet. GeoGebra vil formatere uttrykket mens vi skriv.

b) Berekn effektfaktoren til boremaskina.

Løysing

Ut frå effekttrekanten har vi at effektfaktoren $\cos 𝜑$ er

$\cos 𝜑 = \frac{hosliggande katet}{hypotenus} = \frac{P_{t}}{S} = \frac{1 900 W}{2 008 VA} = 0, 95$

Oppgåve 5

For ei bandsag får du gitt at den tilsynelatande effekten $S = 2 900 VA$ og den reaktive effekten $Q = 1 100 var$ .

a) Kva er den aktive effekten til bandsaga?

Løysing

Med pytagorassetninga på effekttrekanten får vi at

$\begin{array}{rcl} Q^{2} + {P_{t}}^{2} & = & S^{2} \\ {P_{t}}^{2} & = & S^{2} - Q^{2} \\ P_{t} & = & \sqrt{S^{2} - Q^{2}} = \sqrt{{(2 900 VA)}^{2} - {(1 100 var)}^{2}} = 2 683 W \end{array}$

b) Berekn effektfaktoren til bandsaga.

Løysing

Ut frå effekttrekanten har vi at effektfaktoren $\cos 𝜑$ er

$\cos 𝜑 = \frac{hosliggande katet}{hypotenus} = \frac{P_{t}}{S} = \frac{2 683 W}{2 900 VA} = 0, 93$

Oppgåve 6

Rekn ut den tilførte effekten $P_{t}$ i tilfella nedanfor.

a) Ein einfasa motor har desse dataa:

spenning $U = 230 V$
straum $I = 10 A$
effektfaktor $\cos 𝜑 = 0, 866$

Løysing

$P_{t} = U \cdot I \cdot \cos 𝜑 = 230 V \cdot 10 A \cdot 0, 866 = 1 992 W$

b) Ein trefasa motor har desse dataa:

spenning: 400 V
straum: 10 A
fasevinkel: 22°

Løysing

$P_{t} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos 𝜑 = \sqrt{3} \cdot 400 V \cdot 10 A \cdot \cos 22 ° = 6 424 W$

I OneNote skriv vi sqrt(3)*400*10*cos(22)=. I CAS i GeoGebra skriv vi sqrt(3)*400*10*cos(22°) og trykker på knappen for numerisk berekning.

Oppgåve 7

Merkeskilt på elektrisk sag. Informasjon som kan lesast, er at cos fi er 0,93, 230 volt, 50 hertz, P2 er 2,2 kilowatt. Foto. — Døme på merkeskilt på ei sag

Biletet viser eit merkeskilt på ei sag. Der kan vi mellom anna lese dette:

1 ~Mot.
P1 3,0 kW
P2 2,2 kW
230 V
14 A
cos𝜑 0,93

a) Er motoren på saga ein einfasemotor eller ein trefasemotor?

Løysing

Nemninga "1 ~Mot." må bety at saga har ein einfasemotor.

b) Kor stor er fasevinkelen $φ$ målt i gradar?

Løysing

Vi har at effektfaktoren $\cos 𝜑 = 0, 93$ . Dette er ei likning som vi kan løyse med ein kalkulator eller med CAS i GeoGebra.

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er det skrive cos parentes x gradsymbol parentes slutt er lik 0,93. Svaret med NLøys er x er lik 21,57. Skjermutklipp.

Med kalkulatoren i OneNote skriv vi acos(0,93)=. Med CAS i GeoGebra skriv vi acosd(0.93).

Fasevinkelen er 21,6°.

c) Er P1 den tilsynelatande effekten S, den tilførte effekten $P_{t}$ eller ingen av dei to? Rekn ut begge effektane og samanlikn resultata opp mot den gitte P1 verdien.

Løysingsforslag

Vi startar med å rekne ut den tilsynelatande effekten S.

$S = U \cdot I = 230 V \cdot 14 A = 3 220 VA = 3, 22 kVA$

Dette talet er litt for stort. Vi reknar så ut den tilførte effekten $P_{t}$ , som vi her kan rekne ut ved å multiplisere den tilsynelatande effekten S med effektfaktoren, sidan vi alt har rekna ut $S$ .

$P_{t} = U \cdot I \cdot \cos 𝜑 = S \cdot \cos 𝜑 = 3, 22 kVA \cdot 0, 93 = 2, 99 kW \approx 3, 0 kW$

Då kan vi konkludere med at den gitte effekten P1 på merkeskiltet er det same som tilført effekt $P_{t}$ .

Legg merke til at vi skiftar måleining frå kVA til kW sidan den tilsynelatande effekten S skal ha måleining VA (voltampere), mens den tilførte effekten $P_{t}$ blir målt i W (watt).

d) Rekn ut den reaktive effekten Q.

Løysingsforslag

Alternativ 1:

Vi bruker pytagorassetninga på effekttrekanten.

$\begin{array}{rcl} Q & = & \sqrt{S^{2} - {P_{t}}^{2}} \\ = & \sqrt{3, 22^{2} - 2, 99^{2}} kvar \\ = & 1, 2 kvar \end{array}$

Alternativ 2:

Vi bruker at $\sin 𝜑 = \frac{motståande katet}{hypotenus} = \frac{Q}{S}$ . Dette gir

$Q = S \cdot \sin 𝜑 = 3, 22 kVA \cdot \sin 21, 57 ° = 1, 2 kvar$

Legg merke til at vi skiftar måleining frå kVA til kvar (kilovoltampere-reaktiv) sidan den tilsynelatande effekten S skal ha måleining VA (voltampere), mens den reaktive effekten Q blir målt i var (voltampere-reaktiv).

e) Den gitte effekten P2 på 2,2 kW passar ikkje med nokon av dei effekttypane vi har rekna ut. Sidan P2 er mindre enn den tilførte effekten $P_{t}$ , vil han bety kva for effekt vi får ut av motoren, såkalla avgitt eller utgåande effekt $P_{a}$ .

Kvifor får vi ikkje like stor effekt ut av motoren som det vi tilfører?

Løysing

Vi taper energi på grunn av friksjon, luftmotstand og elektrisk resistans i motoren.

f) Vi kan rekne ut den såkalla verknadsgraden $η$ (den greske bokstaven eta) til motoren ved å dele den utgåande effekten $P_{a}$ på den tilførte effekten $P_{t}$ .

Rekn ut verknadsgraden til motoren. Skriv svaret som prosent òg.

Løysing

$η = \frac{P_{a}}{P_{t}} = \frac{2, 2 kW}{3, 0 kW} = 0, 73 = 73 %$

Oppgåve 8

På eit merkeskilt for ein trefasemotor står det mellom anna følgande:

V 230
A 1,2
cos𝜑 0,7
kW 0,28

a) Kva betyr desse opplysningane?

Løysing

Opplysningane betyr at når motoren får tilført ei spenning på 230 V, kan han yte ein avgitt effekt $P_{a} = 0, 28 kW$ og vil då trekke ein straum på 1,2 A. Effektfaktoren er 0,7.

Vi har føresett at det ikkje er gitt andre effektar på merkeskiltet til motoren. Då er det den avgitte effekten som er gitt.

b) Rekn ut den tilsynelatande effekten S.

Løysing

Her må vi hugse på å ta med faktoren $\sqrt{3}$ sidan det er ein trefasemotor.

$S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I = \sqrt{3} \cdot 230 V \cdot 1, 2 A = 478 VA = 0, 478 kVA$

c) Rekn ut den tilførte effekten $P_{t}$ til motoren.

Løysing

$P_{t} = S \cdot \cos 𝜑 = 0, 478 kVA \cdot 0, 7 = 0, 335 kW$

d) Kva er verknadsgraden $η$ til denne motoren?

Løysing

$η = \frac{P_{a}}{P_{t}} = \frac{0, 28 kW}{0, 335 kW} = 0, 836 = 83, 6 %$

Oppgåve 9

På merkeskiltet til ein elmotor står det mellom anna 3 tilde Mot punktum, P 2 kolon 3,6 kW, 14,7 skråstrek 8,5 A, 230 skråstrek 400 V, cos fi 0,73. Foto.

Biletet viser merkeskiltet til ein elmotor. Nokre har klussa på skiltet slik at det ikkje går an å sjå kva den tilførte effekten $P_{t}$ (kalla "P1" på skiltet) er.

a) Er dette ein einfase- eller ein trefasemotor?

Løysing

Sidan det står "3~Mot." øvst på skiltet, er det ein trefasemotor.

b) Kva slags type effekt er P2, som er gitt til 3,6 kW?

Løysing

Som i oppgåve 1 må vi gå ut ifrå at dette er den avgitte effekten, som vi vanlegvis kallar $P_{a}$ .

c) Kva er straumen gjennom motoren når han er kopla til 230 V og går på maksimum belastning?

Løysing

Sidan det står "14,7/8,5 A" og 230 V står før 400 V, er straumen i dette tilfellet 14,7 A.

d) Rekn ut den tilførte effekten $P_{t}$ til motoren.

Løysing

$\begin{array}{rcl} P_{t} & = & \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos 𝜑 \\ = & \sqrt{3} \cdot 230 V \cdot 14, 7 A \cdot 0, 73 \\ = & 4 275 W \\ = & 4, 28 kW \end{array}$

e) Rekn ut verknadsgraden til motoren. Skriv svaret både som desimaltal og prosent.

Løysing

$η = \frac{P_{a}}{P_{t}} = \frac{3, 6 kW}{4, 28 kW} = 0, 841 = 84, 1 %$

Oppgåve 10

På eit merkeskilt til ein elmotor står det mellom anna I E 2 82,8 prosent, three - phase induction motor, kW 1,5, V 230 skråstrek 400, A 6,32 skråstrek 3,65. Foto.

Biletet viser merkeskiltet til ein elmotor.

a) Er dette ein einfasemotor eller ein trefasemotor?

Løysing

Her står det "Three - phase induction motor", så det er ein trefasemotor.

b) Kva er straumen gjennom motoren når han er kopla til 230 V og går på maksimum belastning, ifølge merkeskiltet?

Løysing

Sidan det står "V 230/400" og "A 6,32/3,65", er straumen i dette tilfellet 6,32 A.

c) Øvst til høgre står det "IE2 82,8 %". Kva kan det bety?

Løysing

Dette er verknadsgraden til motoren. Sjå òg avsnittet "Elektriske motorer i et ressursperspektiv" i Wikipedias artikkel "Elektrisk motor".

d) Rekn ut den tilførte effekten $P_{t}$ til motoren.

Tips til oppgåva

Vi kan ikkje bruke den vanlege formelen for tilført effekt sidan vi ikkje kjenner effektfaktoren $\cos 𝜑$ . Men vi kan rekne ut den tilførte effekten ut ifrå verknadsgraden $η$ .

Løysing

Vi har for verknadsgraden $η$ :

$η = \frac{P_{a}}{P_{t}} \Leftrightarrow η \cdot P_{t} = P_{a} \Leftrightarrow P_{t} = \frac{P_{a}}{η}$

Vi får derfor at

$P_{t} = \frac{1, 5 kW}{0, 828} = 1, 81 kW$

e) Finn ein formel for effektfaktoren $\cos 𝜑$ ut ifrå kjende storleikar, og rekn ut kva den blir her.

Tips til oppgåva

Bruk formelen $P_{t} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos 𝜑$ og snu på han.

Løysing

Vi har at

$P_{t} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos 𝜑 \Leftrightarrow \cos 𝜑 = \frac{P_{t}}{\sqrt{3} \cdot U \cdot I}$

Dette gir

$\cos 𝜑 = \frac{1 810 W}{\sqrt{3} \cdot 230 V \cdot 6, 32 A} = 0, 72$

Oppgåve 11

Gå på ein verkstad som har maskiner med elmotorar. Ta bilete av merkeskilta til motorane. Er det nokon storleikar som ikkje er gitt på skilta? Rekn ut desse.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Motorberekning