Normalfordelinga

Vi sjekkar først for $$ \mu $$:

Vi finn at graf 1 og graf 2 har toppunkt der $$ x=35$$, mens graf 3 har toppunkt i $$ x=5$$ og graf 4 i $$ x=45$$. Dermed må det vere anten graf 1 eller graf 2.

Så sjekkar vi for $$ \sigma $$:

Dersom vi fargelegg området mellom $$ x=30$$ og $$ x=40$$ i graf 1 og graf 2, ser vi at dette området dekker cirka 15 % i graf 1, mens det i graf 2 ser ut som det kan vere omtrent 68 % prosent, slik det skal vere i ei normalfordeling.

Det vil seie at graf 1 svarer til sannsynsfunksjonen for ein normalfordelt variabel med $$ \mu =25$$ og $$ \sigma =5$$.

To og to av grafane har lik form, men dei er forskyvde i forhold til kvarandre. Det gjeld dei grafane som har likt standardavvik. Vi legg òg merke til at to og to grafar har toppunkt i den same $$ x$$-verdien, dette gjeld dei grafane som har den same forventningsverdien.

Vi kan generelt seie at dersom standardavviket er lite, vil grafane bli høge og smale, og dersom standardavviket er stort, vil grafane bli breiare og lågare.

Bruk dømet med handballspelarane på teorisida "Normalfordelinga" og undersøk ved hjelp av GeoGebra!

1)
Vi legg inn $$ P\left(186-16\le X\le 186+16\right)$$ i sannsynskalkulatoren:

Cirka 95,5 % ligg innanfor ein avstand på to standardavvik frå forventningsverdien.

2)
Vi legg inn n $$ P\left(186-24\le X\le 186+24\right)$$ i sannsynskalkulatoren:

Cirka 99,7 % ligg innanfor ein avstand på tre standardavvik frå forventningsverdien.

Vi har at den generelle funksjonen for grafen til ein normalfordelt variabel er $$ $ f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}$$$.

Vi set inn $$ \mu =186$$ og $$ \sigma =8$$ og finn integralet i intervallet $$ \langle -\infty ,\infty \rangle $$:

Svaret blir 1.

Vi bruker klassemidtpunktet som felles høgde for alle i kvar klasse og løyser i GeoGebra. Vi skriv inn følgande tabell i reknearket i GeoGebra og lagar lister av dei to kolonnane. Vi kallar listene for "Klassemidtpunkt" og "Frekvens".

Vi får dette resultatet i GeoGebra:

Vi får $$ \mu =186$$ og $$ \sigma =8$$, slik vi skulle vise.

Vi bruker at

$$ \mu =E\left(X\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }x·f\left(x\right)dx$$:

Vi får, som venta, at forventningsverdien er 186.

I formelen for forventningsverdi i ein diskret variabel har vi summen av produkta $$ x_i·P\left(X=x_i\right)$$ der $$ P\left(X=x_i\right)$$ finst i sannsynsfordelinga i form av ein tabell. Når vi har ein kontinuerleg stokastisk variabel, har vi berre ein tettleiksfunksjon å ta utgangspunkt i. Vi kan berre spørje etter sannsynet for at $$ X$$ ligg i eit bestemt intervall, vi kan ikkje spørje etter når $$ X$$ har ein bestemd verdi. Sannsynet for at $$ X$$ ligg i eit bestemt intervall er arealet under grafen til tettleiksfunksjonen i det aktuelle intervallet.

Vi kan sjå for oss at vi deler opp arealet under grafen til tettleiksfunksjonen i mange små loddrette rektangel med bredde $$ ∆x$$. Vi tilnærmar vidare og seier at den stokastiske variabelen $$ X$$ berre kan ha verdien $$ x_i$$ i rektangel nummer $$ i$$ der $$ x_i$$ er ein $$ x$$-verdi i intervallet som utgjer breidda av rektangelet. Då lagar vi ei diskret sannsynsfordeling for $$ X$$, og sannsynet for at $$ X=x_i$$ vil vere tilnærma lik arealet av rektangel nummer $$ i$$:

$$ P\left(X=x_i\right)\approx f\left(x_i\right)·∆x$$

Bidraget til forventningsverdien frå dette rektangelet vil vere

$$ x_i·f\left(x_i\right)·∆x$$

Eit tilnærma uttrykk for forventningsverdien til $$ X$$ vil vere summen av dette uttrykket for alle rektangla, og vi får

$$ E\left(X\right)\approx \sum _i{x}_i·f\left(x_i\right)·∆x$$

Så tenker vi oss at vi lar $$ ∆x\to 0$$, det vil seie at vi får uendeleg mange tynne rektangel. Då vil kvart rektangel gi ei betre tilnærming til sitt bidrag til forventningsverdien. Ut ifrå definisjonen til eit bestemt integral får vi derfor

$$ E\left(X\right)=\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _i{x}_i·f\left(x_i\right)·∆x={\int }_{-\infty }^{\infty }x·f\left(x\right)dx$$

Kort sagt kjem vi fram til formelen for ein kontinuerleg stokastisk variabel ved å ta utgangspunkt i ei diskret fordeling.

Vi reknar i CAS:

Vi får 1 sidan eit standardavvik alltid vil vere positivt.

Vi bruker den same strategien som i d) og reknar i CAS:

Vi får at integralet blir lik $$ \mu $$, som var det vi skulle vise.

Det betyr at fordelinga til vekta til dei nyfødde fell saman med grafen til ei normalfordeling med $$ \mu =3 478$$ og $$ \sigma =627$$.

Vi løyser først med sannsynskalkulatoren i GeoGebra:

Det er 20,26 % sjanse for at ein tilfeldig vald nyfødd unge veg over 4 000 gram.

Forslag til løysing i Python:

1from scipy.stats import norm
2
3                               
4my = 3478
5sigma = 627
6
7s = norm.cdf(4000, my, sigma)
8
9print(f"Sannsynet for at ein nyfødd unge veg meir enn 4 000 g, er {1-s:.3f}.")

Når vi køyrer programmet, får vi svarsetninga Sannsynet for at ein nyfødd unge veg meir enn 4 000 g, er 0.203.

Vi løyser i både GeoGebra og Python:

I GeoGebra finn vi $$ P\left(3 000\le X\le 3 500\right)$$:

Vi får at sannsynet for at ein nyfødd unge veg mellom 3 000 og 3 500 gram, er 0,291 1.

For å finne det rette sannsynet må vi i Python finne $$ P\left(X\le 3 500\right)-P\left(X\le 3 000\right)$$.

1from scipy.stats import norm
2
3                              
4my = 3478
5sigma = 627
6
7s1 = norm.cdf(3000,my,sigma)
8s2 = norm.cdf(3500,my,sigma)
9
10print(f"Sannsynet for at ein nyfødd unge veg mellom 3 000 g og 3 500 g, er {s2-s1:.3f}.")

Når vi køyrer programmet, får vi svarsetninga Sannsynet for at ein nyfødd unge veg mellom 3 000 g og 3 500 g, er 0.291.. Det betyr at andelen nyfødde ungar som veg mellom 3 000 g og 3 500 g, er 0,291.

Vi vel løysing i Python.

Vi reknar om tidene til sekund og får at $$ \mu =800$$ og $$ \sigma =100$$. 15 minutt er 900 sekund, så vi leiter etter $$ P\left(X\le 900\right)$$.

Forslag til kode:

1from scipy.stats import norm
2
3                               
4my = 800
5sigma = 100
6
7s = norm.cdf(900,my,sigma)
8
9print(f"Andelen som spring under 15 minutt, er {s:.3f}.")

Vi får svarsetninga Andelen som spring under 15 minutt, er 0.841..

15 minutt er nøyaktig eitt standardavvik unna forventningsverdien. Vi veit at 50 % av observasjonane er lågare enn forventningsverdien, og at cirka 34,1 % av observasjonane er innanfor intervallet $$ \mu +\sigma $$. Dermed veit vi at 84,1 % av gutane vil springe fortare enn 15 minutt.

Vi modifiserer programmet frå a):

1from scipy.stats import norm
2
3                               
4my = 800
5sigma = 100
6
7s = norm.cdf(600,my,sigma)
8
9print(f"Andelen som spring under 10 minutt, er {s:.3f}.")

Å køyre koden gir oss Andelen som spring under 10 minutt, er 0.023..

Vi modifiserer koden frå a). Vi bruker ei while-lykkje. Til slutt skriv vi om tida i sekund til minutt og sekund:

1from scipy.stats import norm
2
3                               
4my = 800
5sigma = 100
6
7x = 900
8
9while norm.cdf(x,my,sigma) > 0.200:
10    x=x-1
11    
12tid = x
13minutt = int(tid/60)
14sekund = (tid-minutt*60)
15
16print(f"For å vere blant dei 20 % beste må du springe under {minutt} minutt og {sekund} sekund.")

Når vi køyrer programmet, får vi ut For å vere blant dei 20 % beste må du springe under 11 minutt og 55 sekund..

Det finst òg ein metode i Python som finn svaret direkte ved å setje inn sannsynet. Denne motsette funksjonen til "norm.cdf" heiter "norm.ppf". Denne gir oss $$ x$$ der $$ P\left(X\le x\right)=p$$ med gitt sannsyn $$ p$$. Då kan programmet sjå slik ut:

1from scipy.stats import norm
2
3                               
4my = 800
5sigma = 100
6p = 0.200
7   
8tid = norm.ppf(p,my,sigma)
9minutt = int(tid/60)
10sekund = int(tid-minutt*60)
11
12print(f"For å vere blant dei 20 % beste må du springe under {minutt} minutt og {sekund} sekund.")

Vi har at det samla integralet til tettleiksfunksjonen må vere lik 1. Vi veit at $$ f\left(t\right)=0$$ for $$ t\le 0$$, så vi får:

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_0^{\infty }k·e^{-0,005t}dt& = & 1\\ \frac{k}{-0,005} {\left[e^{-0,005t}\right]}_0^{\infty }& =& 1\\ \frac{k}{-0,005}·(0-1)& =& 1\\ \frac{k}{0,005}& =& 1\\ k& =& 0,005\end{array}$$

Vi bruker at $$ P\left(T>400\right)=1-P\left(T\le 400\right)$$:

Det er 13,5 % sjanse for at levetida til lyspæra er meir enn 400 timar.

Vi finn forventningsverdien ved å rekne ut $$ {\int }_{-\infty }^{\infty }t·f\left(t\right) dt$$:

Den forventa levetida til lyspæra er 200 timar.

I ei normalfordeling har vi at cirka 68,2 % av observasjonane ligg innanfor ein avstand på eitt standardavvik i kvar retning. Sidan 2,5 ligg midt mellom 1,8 og 3,2, har vi at $$ \sigma =3,2-2,5=2,5-1,8=0,7$$.

Her skal vi ikkje rekne ut sannsynet for at ein elev har meir enn 3 km skuleveg direkte gjennom å bruke normalfordelinga, men vi skal simulere ved hjelp av å trekke tilfeldig ein elev mange gonger for så å rekne ut sannsynet.

Vi kan lage følgande program:

1import numpy as np
2
3#lagar ein generator
4rng = np.random.default_rng()
5N = 10000
6
7#generer ein array for lengdene på skulevegen
8skuleveg = rng.normal(2500,700,N)
9
10#tel opp talet på skulevegar som er lengre enn 3 km
11gunstige = sum(skuleveg > 3000)
12
13print(f'Sannsynet for at ein elev har meir enn 3 km skuleveg, er {gunstige/N}.')

1import numpy as np
2
3#lagar arrays for grensene og antal i kvar kategori 
4grenser = ["0 - 400","400 - 1 000","1 000 - 1 600","1 600 - 2 200","2 200 - 2 800","2 800 - 3 400","3 400 - 4 000"]
5N = 750
6
7#lagar ein rng for å generere heile datasettet
8rng = np.random.default_rng()
9M = rng.normal(2500,700,N)
10
11histogramgrenser = [M.min(),400,1000,1600,2200,2800,3400,M.max()]
12
13antal,nedregrenser = np.histogram(M,histogramgrenser)
14
15#skriv ut tabellen
16print("Lengde på skuleveg ","Antal elevar")
17for i in range (len(grenser)):
18     print(f"{grenser[i]:<20}{int(antal[i])}")

Merknad: Nokre gonger vil dette programmet feile fordi den minste verdien vi genererer, er høgare enn 400 (som er den neste nedre grensa). Dette vil skje veldig sjeldan i større datasett, men i eit såpass lite datasett som dette vil det skje at det ikkje hamnar nokon i den lågaste kategorien. Vi vel likevel å bruke M.min() så vi ikkje risikerer å miste nokon genererte verdiar. Sjølv om vi i praksis ikkje kan ha negative skuleveg-lengder, treng vi likevel å telje opp desse når vi simulerer.

Vi bruker numpy-kommandoane "mean()" og "std()" for å finne gjennomsnitt og standardavvik:

1import numpy as np
2
3
4#lagar ein rng for å generere heile datasettet
5rng = np.random.default_rng()
6
7N = 750
8
9for i in range(20):
10  M = rng.normal(2500,700,N)
11  print(f'gjennomsnitt = {np.mean(M): < 25} standardavvik = {np.std(M)}')

Når vi køyrer koden, vil vi sjå at gjennomsnittet varierer mykje. Ved ei køyring fann vi at gjennomsnittet varierte frå 2 449 til 2 533, mens standardavviket varierte frå 664 til 728. Denne variasjonen kan forklarast med at utvalet er lite.

Variasjonen blir mindre, for vi har eit større utval.