Hypotesetesting

Hypotesen $$ H_0$$ skal seie noko om korleis det har vore tidlegare. Då kan vi skrive følgande:

Fråværet $$ f$$ på skulen ligg på 8 %, det vil seie $$ f=0,08$$.

Det gir

$$ H_0:f=0,08$$

Den alternative hypotesen $$ H_1$$ kan gjelde dersom $$ H_0$$ ikkje gjeld, og må seie noko om i kva retning vi mistenker at fråværsprosenten går. Her er den alternative hypotesen at fråværet er større enn 8 %.

$$ H_1$$: $$ f>0,08$$.

Testdata her er fråværet på 10 % i den eine veka.

Testen sin $$ P$$-verdi betyr her sannsynet for at fråværet er 10 % eller større.

Det er tre krav til ein binomisk sannsynsmodell:

To moglege utfall: Her er ein elev anten til stades eller borte.

Likt sannsyn heile tida: Sidan sannsynet er rekna ut frå delen av elevar som er borte, kan vi gå ut frå at dette sannsynet gjeld for heile skulen.

Uavhengige forsøk: Her går vi ut frå at fråværet til elevane er uavhengig av kvarandre, noko som kanskje kan vere litt usannsynleg med tanke på smitte og liknande. Men sidan det er såpass mange elevar på skulen, kan vi velje å likevel gå ut frå at fråværet til kvar elev er uavhengig av fråværet til dei andre elevane.

Her lar rektor $$ X$$ stå for talet på elevar som er borte.

Frå oppgåve d) har vi at vi må rekne ut sannsynet for at fråværet er på minst 10 %, eller minst 50 elevar. Matematisk skriv vi at vi ønsker å finne $$ P\left(X\ge 50\right)$$. Vi bruker sannsynskalkulatoren i GeoGebra med binomisk fordeling. Sidan det totalt er 500 elevar, har vi at $$ n=500$$. Frå nullhypotesen $$ H_0$$ har vi at $$ p=0,08$$.

Testen sin $$ P$$-verdi er 0,062 2.

Det betyr at dersom testen sin $$ P$$-verdi er mindre enn 0,05, så forkastar rektor nullhypotesen $$ H_0$$. Det er han ikkje, derfor kan ikkje rektor seie ut ifrå denne testen at fråværet på skulen har auka.

Sagt med andre ord: Det er 6,22 % sjanse for at fråværet på skulen er 10 % eller større. Det er for stort sannsyn for at dette skal skje når fråværet normalt er på 8 % ut ifrå at signifikansnivået skal vere på 5 %, til at vi kan forkaste nullhypotesen. Rektor konkluderer med at det originale sannsynet er gjeldande.

Sidan $$ P$$-verdien er større enn signifikansnivået, kan vi ikkje forkaste nullhypotesen.

Sidan $$ P$$-verdien er mindre enn signifikansnivået, forkastar vi nullhypotesen.

Nullhypotesen er at terningen er i orden. Dette gir følgande:

$$ H_0$$: Sannsynet for å få ein seksar ved å kaste terningen er $$ \frac{1}{6}$$, det vil seie at $$ p=\frac{1}{6}$$.

$$ H_1$$: Sannsynet for å få ein seksar ved å kaste terningen er større enn $$ \frac{1}{6}$$, det vil seie at $$ p>\frac{1}{6}$$.

Dette er fem binomiske situasjonar der alle har $$ p=\frac{1}{6}$$ og $$ n=1 200$$.

Vi bruker sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Terning 1:

Testen sin $$ P$$-verdi er 0,279. Dette resultatet betyr at ved å kaste ein terning som det ikkje er noko gale med, 1 200 gonger, vil det i 27,9 % av tilfella bli 208 eller fleire seksarar. Med eit signifikansnivå på 5 % gir dette ikkje noko grunnlag for å forkaste $$ H_0$$ for denne terningen – det er altfor sannsynleg at det skal bli 208 eller fleire seksarar i dette forsøket.

Ved å gjere likeins med dei andre terningane får vi følgande resultat:

Det er berre for terning nummer 3 vi får ein $$ P$$-verdi som er mindre enn signifikansnivået. Sannsynet for å få 225 eller fleire seksarar er berre 0,030, så resultatet med terning 3 er lite sannsynleg. Ut frå signifikansnivået kan vi dermed forkaste nullhypotesen her og konkludere med at Maren har ein "jukseterning", terning nummer 3.

Vi skriv inn 0,05 på høgre side i kalkulatoren.

Dersom resultatet med ein terning er 221 seksarar, er vi akkurat på grensa til at vi kan forkaste nullhypotesen for denne terningen.

Vi sjekkar om normaltilnærming kan brukast, det vil seie at både forventningsverdien, $$ np$$, og $$ n\left(1-p\right)$$ er større enn 10.

$$ \mu =np=1 200·\frac{1}{6}=200$$

$$ n\left(1-p\right)=1 200·\frac{5}{6}=1 000$$

Det betyr at krava er innfridde. For å bruke sannsynskalkulatoren i GeoGebra med normalfordeling må vi rekne ut standardavviket $$ \sigma $$.

Standardavvik: $$ \sigma =\sqrt{np\left(1-p\right)}=\sqrt{200·\frac{5}{6}}=166,7$$

Vi set inn resultatet for terning nummer 1.

Sannsynet for å få 208 eller fleire seksarar er 0,268, testen sin $$ P$$-verdi. Dette er nokså nært det vi fekk ved å bruke ein binomisk modell. Som i den binomiske modellen får vi at $$ P$$-verdien er mykje høgare enn signifikansnivået, så vi kan ikkje forkaste nullhypotesen.

Ved å gjere det same for dei andre terningane får vi dette resultatet:

Alle $$ P$$-verdiane er omtrent som ved bruk av binomisk modell, men ligg litt under. Vi kjem til den same konklusjonen: På grunn av resultatet for terning nummer 3 må vi forkaste nullhypotesen og seie at terning nummer 3 er ein "jukseterning".

Vi skriv inn 0,05 på høgre side i kalkulatoren.

Dette betyr at dersom resultatet med ein terning er 222 seksarar, må vi forkaste nullhypotesen for denne terningen. Dette er eitt kast meir enn resultatet vi fekk ved å bruke binomisk fordeling, så det er ikkje avgjerande kva for ei av dei to fordelingane vi bruker.

Ein slik hypotesetest vil uansett innehalde ei viss usikkerheit, og $$ P$$-verdiar heilt i nærleiken av signifikansnivået bør i det verkelege liv innebere at ein utvidar forsøket slik at ein kan vere tryggare på å ta rett avgjerd.

Vi bruker funksjonen "pmf()" frå modulen "binom" i biblioteket "scipy.stats". Funksjonen gir sannsynsfordelinga innanfor det området vi spesifiserer.

1from scipy.stats import binom
2
3p = 1/6
4n = 1200
5X = list(range(n+1))
6signifikans = 0.05
7
8resultat = [208,195, 225, 185, 220]
9
10fordeling = binom.pmf(X,n,p)
11
12for i in range(len(resultat)):
13    P = fordeling[resultat[i]:] #Dette hentar ut fordelinga frå og med talet i resultat[i].
14    Pverdi = sum(P)
15    print(f'Sannsynet er {Pverdi:.3f} for å få {resultat[i]} seksarar med ein rettferdig terning.')
16    if Pverdi <signifikans:
17        print(f'Vi kan forkaste nullhypotesen for terning nummer {i+1}.')
18    
19while 1-sum(fordeling[:n]) < signifikans:
20    n = n-1
21print(f'Grensa for å forkaste nullhypotesen er når resultatet er {n} seksarar.')

Programmet skriv ut:

"Sannsynet er 0.279 for å få 208 seksarar med ein rettferdig terning.

Sannsynet er 0.662 for å få 195 seksarar med ein rettferdig terning.

Sannsynet er 0.030 for å få 225 seksarar med ein rettferdig terning.

Vi kan forkaste nullhypotesen for terning nummer 3.

Sannsynet er 0.886 for å få 185 seksarar med ein rettferdig terning.

Sannsynet er 0.067 for å få 220 seksarar med ein rettferdig terning.

Grensa for å forkaste nullhypotesen er når resultatet er 221 seksarar."

Alternativ løysing: Vi kan bruke funksjonen "cdf()", som gir det kumulative binomiske sannsynet. Då må vi hugse at vi er interesserte i det motsette sannsynet av den kumulative.

1from scipy.stats import binom
2
3p = 1/6
4n = 1200
5signifikans = 0.05
6
7resultat = [208,195, 225, 185, 220]
8
9for i in range(len(resultat)):
10    Pverdi = 1-binom.cdf(resultat[i]-1,n,p)
11    print(f'Sannsynet er {Pverdi:.3f} for å få {resultat[i]} seksarar med ein rettferdig terning.')
12    if Pverdi <signifikans:
13        print(f'Terning nummer {i+1} må forkastast.')
14X = n  
15while 1-binom.cdf(X,n,p) < signifikans:
16    X = X-1
17print(f'Grensa for å forkaste nullhypotesen er når resultatet er {X+1} seksarar.')

Programmet gir den same utskrifta som det første.

Vi bruker sannsynskalkulatoren i GeoGebra og vel normalfordeling. Vi set forventningsverdien $$ \mu =500$$ og standardavviket $$ \sigma =90$$. Så vel vi høgresidig sannsyn med 650 poeng som nedre grense.

Sannsynet for at eleven skåra minst 650 poeng, er 4,78 %.

Vi kan òg løyse med Python:

1from scipy.stats import norm
2
3P = 1-norm.cdf(650,500,90)
4print(f'Sannsynet for at eleven skåra minst 650 poeng, er {P:.4f}.')

Utskrifta blir:

"Sannsynet for at eleven skåra minst 650 poeng, er 0.0478."

Vi vel no intervall i sannsynskalkulatoren og set inn nedre og øvre grense i poengintervallet.

Sannsynet for at eleven skåra mellom 475 og 535 poeng, er 26,1 %.

Alternativ med Python:

1from scipy.stats import norm
2
3P = norm.cdf(535,500,90)-norm.cdf(475,500,90)
4print(f'Sannsynet for at eleven skåra mellom 475 og 535 poeng, er {P:.4f}.')

Vi må setje opp hypotesar.

Nullhypotese: Norske elevar var like gode som elevar frå land som skåra 495 poeng.

Alternativ hypotese: Norske elevar var betre enn elevar frå land som skåra 495 poeng.

Matematisk skriv vi slik:

$$ H_0:\mu =495$$

$$ H_1:\mu >495$$

Vi vel eit signifikansnivå på 0,1 %. Vi bør vere rimeleg sikre før vi konkluderer med at vi er betre. Vi går altså ut frå at poengsummen til elevane er normalfordelt med forventningsverdi lik 495 poeng og med standardavvik på 90 poeng. Ifølge sentralgrensesetninga er gjennomsnittet for eit utval av 4 700 elevar normalfordelt med $$ \mu =495$$ og $$ \sigma =\frac{90}{\sqrt{4 700}}$$.

Vi finn så sannsynet for å få eit gjennomsnitt på 500 i eit slikt utval:

1from scipy.stats import norm  #importerer normalfordelingsfunksjonen
2import numpy as np
3                               
4my = 495
5sigma = 90/(np.sqrt(4700))
6snitt = 500
7
8print(f"P(X > {snitt}) = {1-norm.cdf(snitt, my, sigma):.4f}")

Utskrifta gir: P(X > 500) = 0.0001

$$ P$$-verdien på 0,01 % er mindre enn signifikansnivået på 0,1 % og gir dermed grunnlag for å forkaste nullhypotesen. Det er derfor grunn til å seie at norske elevar er betre enn elevar frå land som skåra 495 poeng.

Vi lar $$ X$$ vere talet på kassar med øydelagde bær og går ut frå at $$ X$$ er binomisk fordelt med $$ p=0,1$$. Vi har at $$ n=50$$.

Sannsynet for at akkurat 5 av 50 kassar har øydelagde bær, blir som følger:

Det er 18,5 % sannsyn for at akkurat 5 av de 50 kassane med jordbær inneheld øydelagde bær.

Sannsynet for at minst 5 kassar inneheld øydelagde bær, er 0,57.

Kontrollen grossisten gjer, viser at $$ \frac{15}{90}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,7\; \%}$$ av kassane inneheld øydelagde bær. Vi skal undersøke om denne kontrollen gir grunnlag for å seie at det generelt er meir enn 10 % av jordbærkassane som inneheld øydelagde bær. Det kan jo vere tilfeldig at det akkurat var så mange som 15 av de 90 kontrollerte kassane som inneheldt øydelagde bær.

Vi set opp ein nullhypotese $$ H_0$$ der vi går ut frå at prosentandelen på 10 % gjeld, og ein alternativ hypotese $$ H_1$$ der vi går ut frå at prosentandelen har auka.

$$ H_0$$: Andelen jordbærkassar med øydelagde bær er 10 %, det vil seie $$ p=0,1$$.

$$ H_1$$: Andelen jordbærkassar med øydelagde bær er meir enn 10 %, det vil seie $$ p>0,1$$.

Eit signifikansnivå på 5 % seier at dersom vi forkastar nullhypotesen, er det 5 % sjanse for at vi gjer det på feil grunnlag.

Vi bruker binomisk fordeling i GeoGebra og finn sannsynet for at minst 15 av dei 90 kassane inneheld øydelagde bær når $$ p=0,1$$. Sidan vi har totalt 90 kassar, er $$ n=90$$.

Testen sin $$ P$$-verdi er 0,0333. Det betyr at det er 3,3 % sannsyn for at 15 kassar eller fleire i ein stikkprøve på 90 kassar heilt tilfeldig vil innehalde øydelagde bær når $$ p=0,1$$. Vi sette eit signifikansnivå på 5 %. Det betyr at vi forkastar nullhypotesen $$ H_0$$ og godtek den alternative hypotesen $$ H_1$$. Kvaliteten på jordbæra har blitt dårlegare.

Vi må finne ut kva for verdi den stokastiske variabelen $$ X$$ har når $$ P$$-verdien er lik signifikansnivået på 0,05. Vi skriv inn 0,05 til høgre for likskapsteiknet i sannsynskalkulatoren.

Resultatet er at når signifikansnivået er 0,05, må minst 14 kassar innehalde øydelagde bær for at vi skal forkaste nullhypotesen, det vil seie for at vi skal kunne seie at jordbæra har blitt dårlegare.

Vi vil sjekke om det gode eksamensresultatet var tilfeldig, eller om det vart slik på grunn av ei omlegging av undervisningsmetodane. Vi set opp ein nullhypotese $$ H_0$$ som seier at vi ikkje kan gå ut frå at dei nye undervisningsmetodane har hatt innverknad på talet på seksarar, og ein alternativ hypotese $$ H_1$$ som seier at dei nye undervisningsmetodane har hatt innverknad på talet på seksarar.

$$ H_0$$: Andelen seksarar til eksamen er $$ p=0,043$$.

$$ H_1$$: Andelen seksarar til eksamen er $$ p>0,043$$.

Vi lar $$ X$$ vere talet på eksamensresultat av dei 500 resultata i stikkprøven som er seksarar. Vi går ut frå at $$ X$$ er binomisk fordelt med $$ p=0,043$$ og $$ n=500$$.

I stikkprøven ovanfor var 29 av 500 eksamenskarakterane seksarar, det vil seie 5,8 %. Vi skal finne ut om dette resultatet gir grunnlag til å forkaste nullhypotesen. 5,8 % er høgare enn 4,3 %, som tidlegare har vore prosentandelen med seksarar. Er dette tilfeldig, eller kan vi med rimeleg sikkerheit seie at dei nye undervisningsmetodane har gitt utteljing? Vi vel eit signifikansnivå på 5 % og bruker binomisk fordeling i GeoGebra.

Vi finn at det er 6,6 % sannsyn for at 29 eksamenskarakterar eller fleire i ein stikkprøve på 500 eksamenskarakterar vil vere seksarar, sjølv om den verkelege prosentandelen seksarar ikkje hadde auka.

Vi sette eit signifikansnivå på 5 %. Det betyr at vi ikkje forkastar nullhypotesen.

Bruk programmering til å løyse oppgåva. La programmet rekne ut $$ P$$-verdien for aukande verdiar for $$ p$$ (den vanlege andelen seksarar). Kontroller svaret med sannsynskalkulatoren i GeoGebra.

Vi set $$ p$$, den vanlege andelen seksarar, til ein veldig låg verdi i første omgang (0,000 1) og lar programmet rekne ut $$ P(X\ge 31)$$, det vil seie testen sin $$ P$$-verdi, med stadig større og større verdiar for $$ p$$ inntil $$ P$$-verdien blir like stor som signifikansnivået. Den verdien $$ p$$ har då, vil tilsvare den andelen seksarar det vanlegvis er på eksamen, og vi kan rekne ut kor mange elevar dette tilsvarer ved å rekne ut $$ n·p$$.

Forslag til kode:

1from scipy.stats import binom
2n = 500
3X = 31
4signifikans = 0.05
5p = 0.0001
6trinn = 0.00001
7P_verdi = 0
8while P_verdi < signifikans:
9    P_verdi = 1 - binom.cdf(X - 1, n, p)
10    p = p + trinn
11antal_seksarar = (p + trinn)*n
12print(f"Talet på elevar som vanlegvis får seksar på eksamen, er {antal_seksarar:.0f}.")

Programmet gir denne utskrifta:

"Talet på elevar som vanlegvis får seksar på eksamen, er 23."

Dersom vi set $$ p=\frac{23}{500}$$ i sannsynskalkulatoren til GeoGebra, får vi at $$ P(X\ge 31)=0,059 5$$, noko som er litt høgare enn 0,05. Dersom vi prøver med $$ p=\frac{22}{500}$$, får vi at $$ P(X\ge 31)=0,037$$. Sidan vi kjem nærast signifikansnivået på 0,05 når $$ p=\frac{23}{500}$$, stemmer det med det vi fekk frå programmet.