Funksjonsanalyse og modellering – blanda oppgåver

Her kan det vere lurt å velje $$ x$$ lik alderen på bilen.

Opne CSV-fila i eit regneark og kopier cellene over i reknearkdelen til GeoGebra.

Før du gjer det, må du på førehand passe på at Excel les punktum som desimalskiljeteikn. Vel "Fil" på menylinja i Excel, deretter "Alternativ" og så "Avansert". Ta bort markeringa ved "Bruk systemskiljeteikn", ta bort det som står i feltet "Desimalskiljeteikn", og skriv eit punktum der. Trykk på "OK".

$$ \begin{array}{rcl}\cos 2x & =& {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\\ & =& {\cos }^{2}x-\left(1-{\cos }^{2}x\right)\\ & =& 2{\cos }^{2}x-1\end{array}$$

Dette gir

$$ {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x$$

Funksjonen blir

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 3{\cos }^{2}x-\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin 2x\\ & =& 3\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x\right)-\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin 2x\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin 2x+\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{3}{2}\end{array}$$

Eit ledd med ein sinusfunksjon og ein cosinusfunksjon med same argument (slik som her) kan slåast saman til ein enkel sinusfunksjon. Du finn framgangsmåten på teorisida "Samanslåing av trigonometriske funksjonar".

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin 2x+\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{3}{2}\\ & =& A\sin \left(2x+𝜑\right)\end{array}$$

der

$$ \left(a,b\right)=\left(-\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{3}{2}\right)$$

og

$$ \begin{array}{rcl}A & =& \sqrt{a^2+b^2}\\ & =& \sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}\\ & =& \sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}\\ & =& \sqrt{\frac{12}{4}}\\ & =& \sqrt{3}\end{array}$$

og

$$ \tan 𝜑=\frac{b}{a}=\frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}}=-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}$$

Sidan $$ \left(a,b\right)$$ ligg i 2. kvadrant, må $$ 𝜑$$ gjere det òg. Vi får

$$ 𝜑=\frac{2\pi }{3}$$

og funksjonen $$ f$$ kan skrivast som

$$ f\left(x\right)=\sqrt{3}\sin \left(2x+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{3}{2}$$

Grafen vil ha toppunkt der

$$ \begin{array}{rcl}\sin \left(2x+\frac{2\pi }{3}\right) & =& 1\\ 2x+\frac{2\pi }{3} & =& \frac{\pi }{2}+k·2\pi \\ 2x & =& \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{3}+k·2\pi \\ & =& -\frac{\pi }{6}+k·2\pi \\ & =& \frac{11\pi }{6}+k·2\pi \\ x & =& \frac{11\pi }{12}+k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$$

$$ y$$-verdien til toppunkta blir

$$ \sqrt{3}·1+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\sqrt{3}$$

Grafen vil ha botnpunkt midt imellom toppunkta, det vil seie når

$$ \begin{array}{rcl}x & =& \frac{11\pi }{12}+k·\pi -\frac{\pi }{2}\\ & =& \frac{11\pi }{6}+k·\pi -\frac{6\pi }{12}\\ & =& \frac{5\pi }{12}+k·\pi \end{array}$$

$$ y$$-verdien til botnpunkta blir

$$ \sqrt{3}·\left(-1\right)+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

Vi får at

• toppunkta til $$ f$$ er $$ \left(\frac{11\pi }{12}+k·\pi ,\frac{3}{2}+\sqrt{3}\right)$$

• botnpunkta til $$ f$$ er $$ \left(\frac{5\pi }{12}+k·\pi ,\frac{3}{2}-\sqrt{3}\right)$$

På linje 6 og linje 7 sjekkar vi at vi får same svar for topp- og botnpunkta som i oppgåve d).

Vi lagar eit program som går systematisk gjennom dei aktuelle funksjonsverdiane og plukkar ut største og minste funksjonsverdi.

1def T(x):
2  return 0.6*x**3 - 8*x**2 + 28*x + 42
3  
4topp, botn = 0, 1000
5x_min, x_maks = 1, 8
6x_topp, x_botn = x_min, x_min
7
8for i in range(x_min, x_maks + 1):
9  if T(i) > topp:
10    x_topp = i
11    topp = T(i)
12  if T(i) < botn:
13    x_botn = i
14    botn = T(i)
15    
16print(f"Aleksander trente mest den {x_topp}. februar, og då trente han i {topp:.1f} minutt.")
17print(f"Han trente minst den {x_botn}. februar, og då trente han i {botn:.1f} minutt.")

Vi får denne utskrifta:

"Aleksander trente mest den 2. februar, og då trente han i 70.8 minutt.
Han trente minst den 6. februar, og då trente han i 70.8 minutt."

Vi lagar eit program som summerer funksjonsverdiane for alle $$ x$$-verdiane.

1def T(x):
2  return 0.6*x**3 - 8*x**2 + 28*x + 42
3  
4x_min, x_maks = 1, 8
5sum = 0
6
7for i in range(x_min, x_maks + 1):
8  sum = sum + T(i)
9    
10print(f"Aleksander trente til saman i {sum/60:.1f} timar.")

Vi får denne utskrifta: "Aleksander trente til saman i 8.2 timar."

Vi skriv tala inn i reknearket i GeoGebra, markerer tala og vel "Regresjonsanalyse".

Sidan verdien på bilen fell mindre og mindre, kan ein eksponentiell modell passe godt. Vi vel regresjonsmodellen "Eksponentiell" og ser at grafen stemmer ganske bra med tala i tabellen. Ein matematisk modell som passar godt med tala, er

$$ V\left(x\right)=604 581·0,{85}^x$$

der $$ x$$ er talet på år etter 2012.

Sidan modellen er ein eksponentialfunksjon, blir bilen redusert i verdi med ein fast prosent kvart år. Sidan vekstfaktoren er 0,85, søkk bilen i verdi med 15 prosent kvart år.

Vi vel å løyse oppgåva med CAS.

Verdien til bilen vart halvert etter litt over 4 år, det vil seie utpå våren i 2016.

Vi veit at ein slik eksponentialfunksjon søkk raskare jo mindre $$ x$$ er. Oppgåva spør derfor etter momentan vekstfart når $$ x=0$$.

Vi vel å løyse oppgåva med CAS.

Bilen søkk mest i verdi når han er heilt ny, og då søkk han i verdi per år med 98 200 kroner, eller nesten 100 000 kroner.

Oppgåva spør etter den gjennomsnittlege vekstfarten til funksjonen i intervallet $$ \left[0,10\right]$$.

I gjennomsnitt sokk bilen i verdi kvart år dei 10 første åra med 48 500 kroner, eller nesten 50 000 kroner.

Oppgåva spør etter når den momentane vekstfarten til funksjonen er lik den gjennomsnittlege vekstfarten, altså når han er lik svaret i den førre oppgåva.

I året 2016 var verditapet per år omtrent lik det gjennomsnittlege verditapet dei 10 første åra.

Vi les inn datafila med metoden "read_csv" frå biblioteket "pandas". Vi skriv ut resultatet av importen for å sjekke at importen gjekk greitt (linje 13). Så bruker vi metoden "curve_fit" frå biblioteket "scipy" og vel å gjere ein sinusregresjon på tala. (Vi kunne òg ha valt ein tredjegradsfunksjon som modell.) Regresjonen feilar viss vi ikkje spesifiserer startverdiar for regresjonskonstantane med kodeordet p0 (linje 19). Det held å setje nye startverdiar for A og for k. Nedanfor finn du fullstendig kode.

1from pandas import read_csv
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def modell(x,A,k,fi,d):
8    return A*np.sin(k*x + fi) + d
9
10        # les inn datafila
11data = read_csv("nedboer.csv", sep=";", header = None)
12
13        # lagar nye kolonneoverskrifter til datatabellen
14data.columns = ["Timar_etter_midnatt", "Nedbør_i_mm"]
15
16        # lagar lister av måledataa
17timar = list(data.Timar_etter_midnatt)
18nedboer = list(data.Nedbør_i_mm)
19
20        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
21konstantar,kovarians = curve_fit(modell, timar, nedboer,p0 = [0.5,0.3,1,1])
22
23        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
24A, k, fi, d = konstantar
25
26        # lagar utskrift av funksjonsuttrykket til modellen
27print(f"Funksjonen blir f(x) = {A:.3f}sin({k:.3f}x{fi:+.2f}){d:+.2f}.")
28
29        # lagar x- og y-verdiar for modellen til plottinga av han
30x = np.arange(0,24+0.1, 0.1)
31modellverdiar = modell(x,A,k,fi,d)
32
33        # plottar måledataa    
34plt.plot(timar,nedboer,'.', label = "Målingar")
35
36        # plottar modellen
37plt.plot(x, modellverdiar, "brown", label = "Modell")
38plt.grid(True)
39plt.title("Nedbør gjennom eit døgn")
40plt.xlabel("Timar etter midnatt")
41plt.ylabel("Nedbør (mm/t)")
42
43        # lagar forklaringsboks og flyttar han øvst til høgre
44plt.legend(bbox_to_anchor=(1,1))
45
46        # endrar på skalaen på x-aksen til å passe betre med klokka
47plt.xticks(np.arange(min(timar)-1, max(timar)+1, 2.0))
48plt.show()

Programmet gir denne utskrifta:

"Funksjonen blir $$ f\left(x\right)=-0,507\sin \left(0,325x+1,70\right)+1,48$$."

Vi tek utgangspunkt i programmet i oppgåve a), fjernar den koden som har med plotting av grafen å gjere, og legger til koden nedanfor.

1        # lagar variablar til å rekne ut eit integral som ein rektangelsum
2x_start = 0
3delta_x = 0.001
4x_verdi = x_start
5integral = 0
6
7        # lagar while-lykkje for å summere rektangla
8while x_verdi <= 24:
9  integral = integral + modell(x_verdi,A,k,fi,d)*delta_x
10  x_verdi = x_verdi + delta_x
11
12print(f"Nedbørsmengda dette døgnet var {integral:.1f} mm rekna ut som integral ved hjelp av modellen.")
13
14        # summerer målingane
15print(f"Nedbørsmengda dette døgnet var {sum(nedboer)} mm rekna ut frå måledataa.")

Koden gir utskrifta nedanfor:

"Nedbørsmengda dette døgnet var 34.2 mm rekna ut som integral.
Nedbørsmengda dette døgnet var 34.5 mm rekna ut frå måledataa."

Her kan vi ikkje bruke gjennomsnittsverdien til sinusfunksjonen, det vil seie konstantleddet, som mål på gjennomsnittleg nedbør per time sidan perioden til funksjonen ikkje går opp i 24 timar. Vi bruker tala frå den førre oppgåva og set inn koden nedanfor i programmet.

1print(f"Gjennomsnittleg nedbør per time ut ifrå modellen er {integral/24:.2f} mm.")
2print(f"Gjennomsnittleg nedbør per time ut ifrå målingane er {sum(nedboer)/24:.2f} mm.")

Koden gir utskrifta nedanfor:

"Gjennomsnittleg nedbør per time ut ifrå modellen er 1.43 mm.
Gjennomsnittleg nedbør per time ut ifrå målingane er 1.44 mm."

Vi kan finne toppunktet på sinusfunksjonen med numeriske metodar. Men det er enklare å bruke at funksjonen har eit toppunkt når argumentet til sinusfunksjonen er $$ \frac{3\pi }{2}$$ (sidan konstanten $$ A$$ er negativ). Dette gir at funksjonen har toppunkt for

$$ x=\frac{{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-𝜑}{k}$$

For å finne den største verdien for nedbør i målingane bruker vi listekommandoane "max()" og "index()".

Vi set inn koden nedanfor i programmet.

1        # finn toppunktet til modellen
2nedboer_maks_modell = (3*np.pi/2-fi)/k
3print(f"Det regna mest {nedboer_maks_modell:.2f} timar etter midnatt etter modellen,")
4print(f"og då regna det {modell(nedboer_maks_modell,A,k,fi,d):.2f} mm per time.")
5        # finn største tal for nedbør i målingane
6maks_nedboer = max(nedboer)
7        #finn plasseringa til største tal for nedbør i målingane
8maks_nedboer_indeks = nedboer.index(maks_nedboer)
9print(f"Det regna mest {timar[maks_nedboer_indeks]} timar etter midnatt etter målingane,")
10print(f"og då regna det {maks_nedboer} mm per time.")

Koden gir denne utskrifta:

"Det regna mest 9.28 timar etter midnatt etter modellen,
og då regna det 1.99 mm per time.
Det regna mest 10 timar etter midnatt etter målingane,
og då regna det 2.1 mm per time."

Vi kopierer måledataa inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer og bruker regresjonsverktøyet med valet "Sin". Modellfunksjonen blir

$$ f\left(x\right)=1,482+0,507\sin \left(0,325x-1,45\right)$$

Legg merke til at funksjonsuttrykket ikkje er det same som vi fekk med regresjon med Python, men funksjonane kan skrivast om til den andre ved å bruke at $$ A\sin \left(kx+𝜑\right)=-A\sin \left(kx+𝜑\pm \pi \right)$$.

Bruk av måledataa

Vi finn den totale nedbørsmengda ved å markere alle tala for nedbør og velje "Sum" frå verktøyknappen Σ eller ved å bruke formelen =Sum(B1:B24) (dersom tala er i desse cellene). Vi får at det regna totalt 34,5 mm dette døgnet. Den største målinga kan vi finne ved å markere tala og velje "Maksimum" frå den same verktøyknappen eller bruke formelen =Maks(B1:B24). I begge tilfelle får vi at den største måleverdien er 2,1 mm. Den gjennomsnittlege nedbøren per time kan vi finne ved å markere tala og velje "Gjennomsnitt" frå den same verktøyknappen eller bruke formelen =gsnitt(B1:B24). I begge tilfelle får vi at i gjennomsnitt regna det 1,438 mm per time.

Bruk av modellen

Vi bruker CAS.

Vi får at den totale nedbørsmengda er 34,2 mm ifølge modellen. I gjennomsnitt regna det 1,43 mm per time dette døgnet. Det regna mest 9,3 timar etter midnatt, og då regna det 1,99 mm per time. Dette er dei same tala som vi fekk ved å bruke Python.

Vi opnar GeoGebra-fila, markerer tala i reknearkdelen og vel regresjonsanalyseverktøyet. Der vel vi sinusregresjon. Ein modell $$ T_1$$for temperaturen dette døgnet er

$$ T_1\left(x\right)=27,0+5,99\sin \left(0,262x-2,36\right)$$

Vi finn perioden $$ p$$ ut ifrå konstanten $$ k$$ (frekvensen) framfor $$ x$$ i argumentet til sinusfunksjonen med formelen $$ p=\frac{2\pi }{k}$$.

Perioden er 24,0 timar eller eitt døgn.

Den nye funksjonen $$ T_2\left(x\right)$$ må ha same periode og faseforskyving som $$ T_1\left(x\right)$$ sidan topp- og botnpunktet skal vere på same stad. Det betyr at koeffisientane inne i argumentet til sinusfunksjonen skal vere uendra.

Vi må rekne ut ny likevektslinje $$ d$$ og amplitude $$ A$$.

Perioden til begge funksjonane er så godt som eitt døgn. Då er konstandleddet $$ d$$ i funksjonane eit mål på gjennomsnittstemperaturen sidan funksjonen svingar like mykje opp som ned når vi går eit heilt tal på periodar bortover.

På den første feriestaden var gjennomsnittstemperaturen 27,0 °C. På den andre feriestaden var gjennomsnittstemperaturen 26,0 °C. I gjennomsnitt var det derfor 1 grad varmare på den første feriestaden enn det andre dette døgnet.

Vi skal komme fram til ein generell sinusfunksjon

$$ h\left(t\right)=A\sin \left(kt+𝜑\right)+d$$

for høgda $$ h$$ til punktet over bakken. Perioden $$ p$$ til sinusfunksjonen må vere det same som den tida det tek for hjulet å rotere éi omdreiing. Då har bilen køyrt med farten $$ v$$ ei strekning lik omkrinsen $$ O$$ av hjulet.

$$ p=\frac{O}{v}=\frac{\pi d}{v}$$

Frekvensen $$ k$$ blir

$$ k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{\pi d}{v}}}=\frac{2v}{d}=\frac{2·10 \mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,52 \mathrm{m}}=38,46 {\mathrm{s}}^{-1}$$

Måleininga $$ {\mathrm{s}}^{-1}$$ blir òg kalla Hz (hertz). Amplituden $$ A$$ og likevektslinja $$ d$$ blir det same som radiusen i hjulet. Modellen før vi bestemmer $$ 𝜑$$, blir

$$ h\left(t\right)=0,26\sin \left(38,46t+𝜑\right)+0,26$$

For å bestemme $$ 𝜑$$ kan vi til dømes seie at punktet på hjulet er på bakken når $$ t=0$$. Det gir

$$ \begin{array}{rcl}h\left(0\right) & =& 0\\ 0,26\sin \left(38,46·0+𝜑\right)+0,26 & =& 0\\ \sin 𝜑+1 & =& 0\\ \sin 𝜑 & =& -1\\ 𝜑 & =& \frac{3\pi }{2}\end{array}$$

Modellen blir

$$ h\left(t\right)=0,26\sin \left(38,46t+\frac{3\pi }{2}\right)+0,26$$

Løysing ved bruk av modellen

Frå $$ t=0$$ til $$ t=1$$ har vinkelen, argumentet til sinusfunksjonen, auka frå 0 til 38,46. Dette svarer til $$ \frac{38,46}{2\pi }=6,1$$ omdreiingar.

Løysing ved bruk av farten og omkrinsen til hjulet

På eitt sekund køyrer bilen 10 m. Vi må finne ut kor mange hjulomkrinsar det går på 10 m.

$$ \frac{10}{\pi ·d}=\frac{10}{\pi ·0,52}=6,1$$

Den nye modellen for ventilen vil ha same frekvens som modellen for punktet ytst på dekket sidan ventilen roterer like fort som punktet. Modellen vil òg ha same likevektslinje sidan ventilen er like langt over høgda til sentrum i hjulet som under. Vi kan bruke same faseforskyving dersom vi går ut frå at ventilen ligg på linja mellom sentrum og punktet ytst på dekket. Den einaste forskjellen blir amplituden, som blir $$ \frac{d}{2}-7=\frac{0,52}{2}-0,07=0,19$$. Modellen blir

$$ h_v\left(t\right)=0,19\sin \left(38,46t+\frac{3\pi }{2}\right)+0,26$$

$$ f\left(85\right)$$ betyr når lyset skal slåast på $$ 85=2·30+25$$ dagar etter nyttår, det vil seie 25. mars. Då skal lyset slåast på kl. 18.39.

Ut ifrå funksjonsuttrykket til $$ f$$ får vi at amplituden er 4 timar og likevektslinja er $$ y=19$$. Perioden $$ p$$ er

$$ p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{\pi }{180}}}=2·180=360$$

Perioden er 360 dagar, som er naturleg sidan det er gått ut frå at månadene har 30 dagar slik at eitt år blir $$ 12·30=360$$.

Sidan vi skal finne gjennomsnittet i løpet av éin periode til funksjonen, er likevektslinja målet på gjennomsnittet. Det gjennomsnittlege tidspunktet i løpet av året for når lyset blir slått på, er kl. 19.00.

Vi løyser likninga $$ f\left(t\right)=18$$ i linje 4. Frå linje 5 får vi løysing når $$ k_1=1$$ for den første løysinga og $$ k_1=0$$ for den andre.

$$ 76=2·30+16 , 284=9·30+14$$

Lyset blir slått på kl. 18 den 16. mars og den 14. oktober.

Dagslyset varer lengst når lyset blir slått på seinast, det vil seie der funksjonen $$ f$$ har eit toppunkt. Funksjonen har eit toppunkt når cosinusfunksjonen har verdien $$ -1$$, det vil seie når argumentet er π. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{180}·t & =& \pi \\ t & =& 180\end{array}$$

Dagslyset varer lengst 180 dagar etter nyttår, det vil seie den 30. juni ifølge modellen.

Vi set at den nye modellen $$ g\left(t\right)$$ skal vere på forma

$$ g\left(t\right)=A\cos \left(kt+𝜑\right)+d$$

Vi går ut frå at amplituden og likevektslinja er dei same som i modellen $$ $$$$ f$$. Den nye funksjonen $$ g$$ må ha periode på 365 dagar. Det betyr at

$$ k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{365}$$

Funksjonen $$ g$$ skal botnpunkt for $$ t=365-(31-21)=355$$. Det betyr at

$$ \frac{2\pi }{365}·355+𝜑 = 0$$

Ein modell som passar betre til kalenderåret slik det er, er

$$ g\left(t\right)=19-4\cos \left(\frac{2\pi }{365}·t-\frac{142\pi }{73}\right)$$

Vi skriv inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon".

Vi har at den største verdien for funksjonen er når sinus er 1, og då er det første leddet i funksjonen lik amplituden til sinusfunksjonen, det vil seie 6,63. Den største verdien får vi då ved å legge til det konstante leddet 12,5. Tilsvarande har funksjonen den minste verdien når sinus er $$ -1$$. Då blir det første leddet lik $$ -6,63$$.

Frå linje 1 og 2 får vi at den lengste daglengda i Bergen er 19 timar og 8 minutt, mens den kortaste daglengda er 5 timar og 52 minutt (linje 3 og 4).

Vi skriv inn linja $$ y=14$$ i algebrafeltet og bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" på linja og funksjonen $$ D\left(t\right)$$.

Daglengda i Bergen er 14 timar 94 dagar etter nyttår og 250 dagar etter nyttår.

Vi teiknar den deriverte ved å skrive D'(t) i algebrafeltet og finn toppunktet til den deriverte med kommandoen Ekstremalpunkt(D'(t),50,150).

Daglengda aukar mest 81 dagar etter nyttår, det vil seie den 22. mars, og då aukar ho med 0,114 timar eller omtrent 7 minutt per døgn.

Likevektslinje: Sidan høgda skal målast frå likevektslinja, blir $$ d=0$$.

Amplitude: $$ A=\frac{2,4}{2}=1,2$$

Periode: Når bøya rører seg frå det høgaste til det lågaste punktet, har ho rørt seg ein halv periode. Dette gir $$ p=4·2=8$$. Dermed er frekvensen

$$ c=\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$$

Faseforskyving: Når bøya er på det høgaste punktet, har vi at sinusuttrykket er lik 1. Då må vinkelen vere $$ \frac{\pi }{2}$$. Sidan bøya er på det høgaste punktet når $$ t=0$$, får vi

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{4}·0+𝜑 & =& \frac{\pi }{2}\\ 𝜑 & =& \frac{\pi }{2}\end{array}$$

Funksjonsuttrykket til $$ f$$ blir

$$ f\left(t\right)=1,2\sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right)$$

Når funksjonen er på likevektslinja, er $$ f\left(t\right)=0$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}f\left(t\right) & =& 0\\ 1,2\sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right) & =& 0\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right) & =& 0\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2} & =& k·\pi \\ \frac{1}{4}t & =& -\frac{1}{2}+k \\ t & =& -2+4k\end{array}$$

der $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Vi får løysing i det aktuelle området for $$ k\in \left\{1,2,3\right\}$$.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& 1: t=4·1-2=2\\ k & =& 2: t=4·2-2=6\\ k & =& 3: t=4·3-2=10\end{array}$$

Bøya er på likevektslinja etter 2 s, 6 s og etter 10 s.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(t\right) & =& 0,6\\ 1,2\sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right) & =& 0,6\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right) & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2} & =& \frac{\pi }{6}+k·2\pi \vee \frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2} = \frac{5\pi }{6}+k·2\pi \\ \frac{1}{4}t & =& \frac{1}{6}-\frac{3}{6}+2k =-\frac{1}{3}+2k\\ t & =& -\frac{4}{3}+8k\\ & & \vee \\ \frac{1}{4}t & =& \frac{5}{6}-\frac{3}{6}+2k =\frac{1}{3}+2k \\ t & =& \frac{4}{3}+8k\end{array}$$

$$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Vi må sjå etter løysingar i intervallet $$ \left[0,10\right]$$. Den første løysinga gir oss løysing for $$ k=1$$. Den andre gir løysing for $$ k=0 \vee k=1$$. Dette gir

$$ t=-\frac{4}{3}+8=-\frac{4}{3}+\frac{24}{3}=\frac{20}{3}$$

$$ t=\frac{4}{3}$$

$$ t=\frac{4}{3}+8=\frac{4}{3}+\frac{24}{3}=\frac{28}{3}$$

Bøya er 0,6 m over likevektslinja etter $$ \frac{4}{3} \mathrm{s}=1,3 \mathrm{s}$$, etter $$ \frac{20}{3} \mathrm{s}=6,7 \mathrm{s}$$ og etter $$ \frac{28}{3} \mathrm{s}=9,3 \mathrm{s}$$.

Funksjonen $$ v\left(t\right)$$ for farten til bøya i loddrett retning er den deriverte av posisjonen i loddrett retning, det vil seie $$ f^{\text{'}}\left(t\right)$$.

$$ v\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right)=1,2\cos \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right)·\frac{\pi }{4}=0,3\pi \cos \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right)$$

Størst fart vil seie at vi må finne når fartsfunksjonen har den største og den minste verdien sin. Funksjonen vil ha den største og den minste verdien sin når cosinusfunksjonen har verdien 1 og $$ -1$$, det vil seie når

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2} & =& k·\pi \\ \frac{1}{4}t & =& k-\frac{1}{2}\\ t & =& 4k-2\end{array}$$

$$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Dette gir dei same løysingane som i oppgåve b). Vi får at bøya har størst fart etter 2 s, etter 6 s og etter 10 s, det vil seie når bøya kryssar likevektslinja.

Funksjonen $$ a\left(t\right)$$ for den loddrette akselerasjonen til bøya er

$$ a\left(t\right)=v^{\text{'}}\left(t\right)=-0,3\pi \sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right)·\frac{\pi }{4}=-0,75{\pi }^2\sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2}\right)$$

Størst akselerasjon vil seie at vi må finne når akselerasjonsfunksjonen har den største og den minste verdien sin. Funksjonen vil ha den største og den minste verdien sin når sinusfunksjonen har verdien 1 og $$ -1$$, det vil seie når

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{2} & =& \frac{\pi }{2}+k·\pi \\ \frac{1}{4}t & =& k\\ t & =& 4k\end{array}$$

$$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Vi må sjå etter løysingar i intervallet $$ \left[0,10\right]$$. Vi får løysingar for $$ k\in \left\{0,1,2\right\}$$.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& 0: t=4·0=0\\ k & =& 1: t=4·1=4\\ k & =& 2: t=4·2=8\end{array}$$

Vi får at bøya har størst akselerasjon etter 0 s, etter 4 s og etter 8 s. Dette er tidspunkt midt mellom tidspunkta der bøya kryssar likevektslinja, som betyr at bøya er i eit toppunkt eller eit botnpunkt.

Vi markerer tala i reknearkdelen i GeoGebra og vel regresjonsanalyseverktøyet. Sidan vi skal fram til ein trigonometrisk funksjon, bruker vi regresjonsmodellen "Sin".

Ein funksjon som passar godt med informasjonen i tabellen, er

$$ g\left(x\right)=1108,5+442,9\sin \left(0,520x+1,164\right)$$

Vi skriv inn modellen $$ f\left(t\right)$$ i CAS og finn nullpunkta til den dobbeltderiverte.

I linje 4 ser vi ved kva nullpunkt grafen er stigande. Forbruket aukar raskast i månad nummer 10, som er oktober.

Legg merke til at vi bruker sløyfeparentesar i linje 2 for å kunne legge inn avgrensingar for $$ t$$.

Vi kunne òg ha løyst oppgåva ved å bruke at sinusfunksjonen endrar seg raskast på likevektslinja, det vil seie når argumentet til sinusfunksjonen er $$ k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Funksjonen $$ f$$ står for energiforbruk per månad. Når vi integrerer han, får vi derfor den samla mengda energiforbruk, og integralet blir derfor det totale energiforbruket året 2019. Det samla energiforbruket var 15 547 kWh.

Det gjennomsnittlege energiforbruket per månad i 2019 var 1 296 kWh.

Vi finn kostnadene for ein månad ved å rekne ut $$ f\left(t\right)·p\left(t\right)$$. Når vi skal finne total kostnad for heile året, blir dette den samla mengda av produktet $$ f\left(t\right)·p\left(t\right)$$, som vi reknar ut ved å integrere frå 0 til 12.

Den årlege energikostnaden er 13 941 kroner.