Du kan laste ned GeoGebra-ark med ferdig løysing til oppgåvene nedst på sida.
ST-41
Ved ein skule vart høgda til alle elevane på vg2 målt. Resultatet er presentert i tabellen.
Høgda til elevane
Høgde i cm
Frekvens
[150, 160⟩
6
[160, 165⟩
21
[165, 170⟩
60
[170, 175⟩
73
[175, 180⟩
64
[180, 185⟩
67
[185, 190⟩
24
[190, 200⟩
8
Sum
323
Du skal mellom anna teikne eit histogram som viser resultata.
a) Finn søylehøgda (histogramhøgda) i kvart intervall.
Løysing
Hugs at histogramhøgde er frekvens delt på klassebreidde. Når vi bruker GeoGebra, treng vi òg ei liste med klassegrensene, og desse tala er fine å bruke til å rekne ut klassebreiddene.
A
B
C
D
E
1
Høgde i cm
Frekvens
Klassegrenser
Klassebreidde
Histogramhøgde
2
[150, 160⟩
6
150
10
0,6
3
[160, 165⟩
21
160
5
4,2
4
[165, 170⟩
60
165
5
12
5
[170, 175⟩
73
170
5
14,6
6
[175, 180⟩
64
175
5
12,8
7
[180, 185⟩
67
180
5
13,4
8
[185, 190⟩
24
185
5
4,8
9
[190, 200⟩
8
190
10
0,8
10
200
11
Sum
323
A
B
C
D
E
1
Høgde i cm
Frekvens
Klassegrenser
Klassebreidd
Histogramhøgde
2
[150, 160⟩
6
150
=C3-C2
=B2/D2
3
[160, 165⟩
21
160
=C4-C3
=B3/D3
4
[165, 170⟩
60
165
=C5-C4
=B4/D4
5
[170, 175⟩
73
170
=C6-C5
=B5/D5
6
[175, 180⟩
64
175
=C7-C6
=B6/D6
7
[180, 185⟩
67
180
=C8-C7
=B7/D7
8
[185, 190⟩
24
185
=C9-C8
=B8/D8
9
[190, 200⟩
8
190
=C10-C9
=B9/D9
10
200
11
Sum
=SUM(B2:B9)
b) Presenter resultatet i eit histogram.
Løysing
I GeoGebra lagar vi lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøgdene. Så bruker vi kommandoen "Histogram(Liste med klassegrenser, Liste med høgder)".
Under innstillingane til -aksen har vi late y-aksen krysse ved 140.
c) Finn median, gjennomsnitt og standardavvik i datamaterialet.
Løysing
Vi startar med medianen. Nedanfor har vi lagt til ein kolonne med kumulativ frekvens til frekvenstabellen.
Høgda til elevane
Høgde i cm
Frekvens
Kumulativ frekvens
[150, 160⟩
6
6
[160, 165⟩
21
27
[165, 170⟩
60
87
[170, 175⟩
73
160
[175, 180⟩
64
224
[180, 185⟩
67
291
[185, 190⟩
24
315
[190, 200⟩
8
323
Sum
323
Medianeleven er elev nummer
323+12=162
Elev nummer 162 hamnar så vidt i klassen med høgder frå og med 175 til 180. Elev nummer 162 blir elev nummer 162-160=2 i denne klassen. Medianhøgda blir då
175cm+264·5cm=175,2cm
Medianhøgda blir her nesten det same som klassegrensa sidan medianeleven har eit nummer som berre er litt større enn den kumulative frekvensen til klassen over.
Gjennomsnittshøgda er 175,3 cm, og standardavviket er 8,0 cm. Vi bruker det vanlege standardavviket sidan vi har tilgang på alle tala. Sjå GeoGebra-ark nedst på sida.
ST-42
Tabellen viser aldersfordelinga i Noreg i 2009. Tala er henta frå Statistisk sentralbyrå.
Alder
Talet på personar i tusen
[0, 25⟩
1 536
[25, 35⟩
622
[35, 45⟩
722
[45, 70⟩
1 422
[70, 80⟩
287
[80, 112⟩
220
a) Kor mange personar budde i Noreg i 2009?
Løysing
Talet på personar i tusen:
1536+622+722+1422+287+220=4809
Det budde cirka 4,8 millionar i Noreg i 2009.
b) Presenter aldersfordelinga i Noreg i eit histogram.
Løysing
Vi legg tala inn i reknearkdelen i GeoGebra. Vi minner om at histogramhøgde er frekvens delt på klassebreidde.
I GeoGebra lagar vi deretter lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøgdene. Så bruker vi kommandoen "Histogram(Liste med klassegrenser, Liste med høgder)".
c) Finn median, gjennomsnitt og standardavvik i datamaterialet.
Løysing
Vi lagar ein kolonne med kumulativ frekvens i reknearkdelen i GeoGebra.
Aldersfordelinga i Noreg i 2009
Alder
Frekvens
Kumulativ frekvens
[0, 25⟩
1 536
1 536
[25, 35⟩
622
2 158
[35, 45⟩
722
2 880
[45, 70⟩
1 422
4 302
[70, 80⟩
287
4 589
[80, 112⟩
220
4 809
Sum
4809
Medianalderen er person nummer (i tusen)
4809+12=2405
Av kolonnen med kumulative frekvensar får vi at tal nummer 2 405 hamnar i klassen med alder frå og med 35 til 45. Det er fordi kumulativ frekvens for denne klassen er større enn 2 405 og kumulativ frekvens for klassen [25, 35⟩ er mindre (2 158). Tal nummer 2 405 blir tal nummer
2405-2158=247
i denne klassen. Medianalderen blir då
35år+247722·10år=38,4år
Medianalderen er altså 38 år.
Gjennomsnittsalderen er 40 år, og standardavviket er 24 år. Sjå GeoGebra-ark nedst på sida der vi òg har rekna ut medianalderen i reknearkdelen.
ST-43
Statens vegvesen var interessert i å finne ut kva fart bilistane heldt på ei ny vegstrekning. Den høgaste tillatne farten på strekninga var 100 km/t. Hastigheita vart målt på 20 bilar. Resultatet av målinga er i tabellen. Farten er gitt i km/h.
Målt hastigheit på 20 bilar
95.5
103.8
101.2
92.0
89.8
101.5
110.0
120.2
104.1
99.2
119.9
103.8
105.0
131.7
95.2
108.4
113.4
114.9
106.3
102.7
a) Lag ein frekvenstabell der du grupperer resultata i dei følgjande gruppene:
[80,100〉,[100,105⟩,[105,110⟩,[110,120⟩,[120,135⟩
Løysing
Vi legg tala i reknearkdelen i GeoGebra.
A
B
C
D
E
F
1
Fart i km/h
Telje- kolonne
Frekvens
Klasse- grenser
Klasse- breidde
Histogram- høgde
2
[80, 100⟩
||||
5
80
20
0,25
3
[100, 105⟩
||||||
7
100
5
1,4
4
[105, 110⟩
|||
3
105
5
0,6
5
[110, 120⟩
|||
3
110
10
0,3
6
[120, 135⟩
||
2
120
15
0,13
7
135
8
Sum
20
A
B
C
D
E
F
1
Fart i km/h
Telje- kolonne
Frekvens
Klasse- grenser
Klasse- breidde
Histogram- høgde
2
[80, 100⟩
||||
5
80
=D3-D2
=C2/E2
3
[100, 105⟩
||||||
7
100
=D4-D3
=C3/E3
4
[105, 110⟩
|||
3
105
=D5-D4
=C4/E4
5
[110, 120⟩
|||
3
110
=D6-D5
=C5/E5
6
[120, 135⟩
||
2
120
=D7-D6
=C6/E6
7
135
8
Sum
=SUM(C2:C6)
b) Presenter resultata i tabellen i eit eigna diagram.
Løysing
Vi vel å presentere resultata i eit histogram. Vi lagar lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøgder frå oppgåva over.
c) Finn medianen ved å bruke enkeltmålingane av farten.
Løysing
Vi set opp resultata i stigande rekkjefølgje.
Målt hastigheit på 20 bilar, sortert
89,8
92,0
95,2
95,5
99,2
101,2
101,5
102,7
103,8
103,8
104,1
105,0
106,3
108,4
110,0
113,4
114,9
119,9
120,2
131,7
Medianen blir gjennomsnittet av tiande og ellevte måling, som er utheva i tabellen over.
Medianen er
103,8km/t+104,1km/h2=103,95km/h≈104,0km/h
d) Finn medianen ved å bruke det klassedelte materialet.
Løysing
A
B
C
1
Fart i km/h
Frekvens
Kumulativ frekvens
2
[80, 100⟩
5
5
3
[100, 105⟩
7
12
4
[105, 110⟩
3
15
5
[110, 120⟩
3
18
6
[120, 135⟩
2
20
7
8
Sum
20
A
B
C
1
Fart i km/h
Frekvens
Kumulativ frekvens
2
[80, 100⟩
5
=B2
3
[100, 105⟩
7
=C2+B3
4
[105, 110⟩
3
=C3+B4
5
[110, 120⟩
3
=C4+B5
6
[120, 135⟩
2
=C5+B6
7
8
Sum
=SUM(B2:B6)
Medianen er den midtarste observasjonsverdien når alle observasjonsverdiane er sorterte i stigande rekkjefølgje. I denne oppgåva har vi 20 fartsmålingar. Sidan vi no har eit gruppert materiale, bruker vi ikkje gjennomsnittet av tal nummer 10 og 11, men det første talet, tal nummer 10. Vi legg til ein kolonne med kumulativ frekvens i tabellen. Då ser vi at tal nummer 10 må liggje i intervallet [100,105〉. Tal nummer 10 ligg 10-5=5 plassar frå venstre klassegrense.
Medianhastigheita blir
100+57·5km/h≈103,6km/h
e) Forklar kvifor medianverdiane i dei to førre oppgåvene er ulike.
Løysing
I den første oppgåva bruker vi enkeltmålingane til å finne medianen. I den andre oppgåva finn vi først i kva gruppe medianen ligg. Vi bereknar så kvar i gruppa medianen omtrent må liggje. Ved denne utrekninga går vi ut frå at målingane i gruppa fordeler seg jamt. Dette blir ikkje heilt nøyaktig, og svara vil i dei fleste tilfelle vere ulike.
f) Finn den gjennomsnittlege farten både ved å bruke enkeltmålingane og ved å bruke talmaterialet når det er gruppert. Forklar kvifor det blir forskjell på tala.
Løysing
Gjennomsnittsfart med enkeltmålingane: 105,9 km/h
Gjennomsnittsfart med grupperte tal: 104,5 km/h
Sjå det nedlastbare GeoGebra-arket til oppgåva.
I den første utrekninga finn vi den nøyaktige gjennomsnittsfarten av dei 20 målingane. I den andre bruker vi klassemidtpunktet og bereknar gjennomsnittsfarten ut frå dette. Vi går dermed ut frå at målingane i kvar klasse fordeler seg jamt, noko som gir eit litt unøyaktig resultat.
g) Statens vegvesen ønskjer å finne spreiinga i kor fort bilane køyrer på denne strekninga. Kva for ein av dei to typane standardavvik bør dei bruke: vanleg standardavvik eller utvalsstandardavvik?
Løysing
Valet av type standardavvik kjem an på korleis tala skal brukast. Statens vegvesen ønskjer å seie noko om kor fort (alle) bilane køyrer på denne vegstrekninga. Dei har ikkje kapasitet til å måle alle bilane som køyrer, så dei har målt eit utval av dei. Derfor blir det mest rett å bruke utvalsstandardavvik i denne situasjonen.
Dersom målet hadde vore å seie noko om spreiinga berre på dei 20 bilane som vart målte, ville det ha vore mest rett å bruke det vanlege standardavviket (populasjonsstandardavviket).
h) Finn standardavviket på to måtar: ved å bruke enkeltverdiane og ved å bruke den grupperte inndelinga. Samanlikn verdiane.
Løysing
Standardavvik med enkeltmålingane: 10,3 km/h
Standardavvik med grupperte tal: 11,5 km/h
Sjå det nedlastbare GeoGebra-arket til oppgåva.
Her blir det òg litt ulikt svar sidan det første talet er basert på enkeltmålingane og det andre på tala når dei er grupperte.