Fagstoff

Volum og overflate

Kva har kuler, kjegler, terningar og pyramidar til felles? Dei er alle tredimensjonale figurar, og vi kan berekne volumet og overflata deira.

I 1P lærte du om måleiningar for volum. Du finn ei lenkje nedst på sida som du kan bruke dersom du ønskjer å repetere desse måleiningane.

Det finst mange ulike romlekamar, eller tredimensjonale figurar, som vi kan berekne volumet og overflata til. Vi vil her sjå på prismet, sylinderen, kjegla, pyramiden og kula.

Prisme

Eit prisme er ein romfigur som er sett saman av to identiske (kongruente) og parallelle mangekantar som dannar grunnflate og toppflate, og tre eller fleire sideflater som alle er parallellogram. Ein smørpakke, ei bok og ein kommode har alle form som eit prisme.

Høgda, $h$ , er avstanden mellom grunnflata, $G$ , og toppflata. Hugs at høgda alltid står vinkelrett både på grunnflata og toppflata.

Bilete av eit rett firkanta prisme og eit rett trekanta prisme. Illustrasjon.

Dersom alle sideflater er rektangel, er prismet rett. Det inneber at alle vinklane mellom grunnflata og sideflatene er rette.

Dersom grunnflata er ein firkant, har vi eit firkanta prisme. Dersom grunnflata er ein trekant, har vi eit trekanta prisme.

Bilete av eit rett, firkanta prisme delt inn i terningar på 1 kubikkcentimeter. Illustrasjon.

På figuren har vi eit rett, firkanta prisme. Sidekantane i grunnflata til prismet er 4 cm og 3 cm, og høgda til prismet er 2 cm. I dette prismet kan vi få plass til 24 terningar som kvar har eit volum på 1 cm³. Det betyr at volumet er på 24 cm³.

Grunnflata har eit areal på

$G = 4 cm \cdot 3 cm = 12 {cm}^{2}$

Det betyr at vi kan finne volumet til eit rett, firkanta prisme ved å multiplisere arealet til grunnflata med høgda.

$V = G \cdot h = 12 {cm}^{2} \cdot 2 cm = 24 {cm}^{3}$

Vi får ein formel for volumet til eit rett, firkanta prisme:

$V = G \cdot h$

Vi kan, etter det same mønsteret som ved arealformlar, studere ulike typar prisme og kome fram til at denne formelen må gjelde for alle prisme.

Overflateareal av prisme

Når du skal rekne ut overflatearealet av eit prisme, må du rekne ut arealet av alle flatene og leggje desse saman. Når du kjem til oppgåvene, vil du sjå at du av og til må avgjere om alle flatene skal vere med i alle praktiske situasjonar. Korleis reknar du til dømes ut overflatearealet til ein boks utan lokk? Skal du ha med innsida, eller berre utsida? Her er det viktig å lese oppgåveteksten og å forklare kva val du gjer.

Sylinder

Ein sylinder er ein romlekam som har topp- og botnflate forma som ein sirkel. Dersom toppflata står rett over botnflata, kallar vi sylinderen for ein rett sylinder, akkurat som vi gjorde med prisma. Høgda, $h$ , er då samanfallande med lengda på sideflata. Ein hermetikkboks eller ein termoskopp er døme på sylinderforma ting du kanskje ser ofte.

Vi finn volumet av ein sylinder på den same måten som vi finn volumet av eit prisme, altså ved å multiplisere arealet av grunnflata med høgda. Vi får

$\begin{array}{rcl} V_{s y l i n d e r} & = & G \cdot h \\ = & π r^{2} h \end{array}$

Sylinder som er bretta ut. To sirklar med eit rektangel imellom. Arealet av dei to sirklane er skrive inn som pi r i andre, mens arealet av rektangelet er 2 pi r h. Høgda på rektangelet er h, og lengda er 2 pi r. Illustrasjon.

For å finne ein formel for overflatearealet til ein sylinder, ser vi for oss at vi klipper opp og brettar ut sylinderen slik som på biletet.

Vi får då eit areal som består av to like sirklar, topp og botn, og eit rektangel som har ei grunnlinje som er lik omkrinsen til sirklane. Overflatearealet til sylinderen finn vi slik:

$\begin{array}{rcl} O_{s y l i n d e r} & = & 2 \cdot A_{s i r k e l} + A_{r e k t a n g e l} \\ = & 2 \cdot π r^{2} + 2 π r h \end{array}$

Døme

I ein sylinderforma kakeboks med lokk er diameteren i grunnflata $d = 25, 4 cm$ og høgda $h = 11, 2 cm$ .

Volumet blir

$\begin{array}{rcl} V & = & G \cdot h = π r^{2} h \\ = & π \cdot {(\frac{25, 4 cm}{2})}^{2} \cdot 11, 2 cm \\ = & 5 680 {cm}^{3} \\ = & 5, 68 {dm}^{3} \\ = & 5, 68 L \end{array}$

Arealet til overflata blir

$\begin{array}{rcl} O & = & 2 \cdot π r^{2} + 2 π r \cdot h \\ = & 2 \cdot π \cdot {(\frac{25, 4 cm}{2})}^{2} \\ + 2 \cdot π \cdot \frac{25, 4 cm}{2} \cdot 11, 2 cm \\ = & 1 910 {cm}^{2} \approx 19, 1 {dm}^{2} \end{array}$

Kjegler og pyramidar

Vi såg lenger opp at formlane for volumet av ein sylinder og eit prisme var like, så lenge vi rekna ut arealet av grunnflata for seg sjølv. Det same gjeld formelen for volumet av kjegler og pyramidar.

Ei kjegle. Høgda h, sidekanten s og radiusen r i grunnflata er skrivne inn. Illustrasjon.

Vi har formelen

$V = \frac{G \cdot h}{3}$

Dette inneber at ei kjegle vil romme ein tredjedel av ein sylinder med den same grunnflata, mens ein pyramide vil romme ein tredjedel av eit prisme med den same grunnflata.

Overflate

I oppgåvene skal du få utforske korleis du finn overflatearealet til ein pyramide. Vi vil her gå gjennom korleis du finn overflatearealet til ei kjegle. Først studerer vi biletet av kjegla sett frå sida. Vi ser at vi har teikna inn høgda, radiusen i grunnflata og sidekanten til kjegla.

Det er teikna to sirklar, ein liten med radius r, areal lik pi r i andre og omkrins lik 2 pi r og ein stor med radius s, areal lik pi s i andre og omkrins 2 pi s. I den store sirkelen er det teikna inn ein sirkelsektor der sirkelbogen har lengde 2 pi r og sektoren har areal pi r s. Illustrasjon.

Dersom vi tenkjer oss at vi klipper opp kjegla langs denne sidekanten og brettar ho ut, vil vi sjå at overflata til kjegla består av to delar. Den eine delen er sjølve grunnflata, som har form som ein sirkel, mens den andre er ein sirkelsektor i ein sirkel der sidekanten er radius. Vi kan sjå på biletet at arealet av sirkelsektoren er $πrs$ . Då får vi at overflatearealet av kjegla er slik:

$\begin{array}{rcl} O_{k j e g l e} & = & A_{s i r k e l} + A_{s i r k e l s e k t o r} \\ = & π r^{2} + π r s \end{array}$

Lurer du på kvifor formelen for arealet av sirkelsektoren er som han er? Då kan du klikke på boksen under.

Bevis for areal av sirkelsektor

Vi ser at lengda på sirkelbogen til sirkelsektoren som utgjer den "ståande" delen av kjegla, må vere like lang som omkrinsen til grunnflata, det vil seie $2 π r$ .

Omkrinsen av den store sirkelen er $2 π s$ , mens arealet av den store sirkelen er $π s^{2}$ .

Vi har at forholdet mellom arealet av sirkelsektoren og arealet av den store sirkelen må vere likt forholdet mellom sirkelbogen og omkrinsen av den store sirkelen, altså har vi:

$\frac{A_{s i r k e l s e k t o r}}{A_{s t o r s i r k e l}} = \frac{L e n g d e_{s i r k e l s e k t o r}}{O m k r i n s_{s t o r s i r k e l}}$

Dette kan vi bruke for å finne arealet av sirkelsektoren:

$\begin{array}{rcl} \frac{A_{s i r k e l s e k t o r}}{π s^{2}} & = & \frac{2 π r}{2 π s} \\ A_{s i r k e l s e k t o r} & = & \frac{2 π r \cdot π s^{2}}{2 π s} \\ = & π r s \end{array}$

Volum og overflate av kule

Vi har formlar for volum og overflate av kuler:

$\begin{array}{rcl} V_{k u l e} & = & \frac{4 π r^{3}}{3} \\ O_{k u l e} & = & 4 π r^{2} \end{array}$

Vi skal ikkje gå nærare inn på kvifor desse formlane er som dei er, for det er utanfor rammene for faget. Vi nøyer oss med å vise eit døme på formlane i bruk:

Vi skal finne volum og overflate av ei kule med radius $r = 5, 0 cm$ :

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{4 \cdot π \cdot r^{3}}{3} \\ = & \frac{4 \cdot π \cdot {(5, 0 cm)}^{3}}{3} \\ = & 523 {cm}^{3} \approx 0, 52 {dm}^{3} \\ O & = & 4 \cdot π \cdot r^{2} \\ = & 4 \cdot π \cdot {(5, 0 cm)}^{2} \\ = & 314 {cm}^{2} \approx 3, 1 {dm}^{2} \end{array}$

Oversikt over viktige formlar for volum og overflate

Her får du ei oversikt over dei viktigaste formlane for volum og overflate. Det er ikkje alle figurar vi kan lage ein generalisert formel for overflate til, til dømes pyramidar som kan ha ulikt tal på sideflater. Derfor har vi berre lista opp dei formlane som er like kvar gong. Hugs at du alltid kan finne overflata av romlekamar med plane sideflater ved å leggje saman areala til alle flatene!

Figur	Formel for areal	Formel for overflate
Prisme	$G \cdot h$	-
Sylinder	$G \cdot h = π r^{2} h$	$2 π r^{2} + 2 π r h$
Kjegle	$\frac{G \cdot h}{3} = \frac{π r^{2} h}{3}$	$π r^{2} + π r s$
Pyramide	$\frac{G \cdot h}{3}$	-
Kule	$\frac{4 \cdot π \cdot r^{3}}{3}$	$4 π r^{2}$

Relatert innhald

Måleiningar for volum

Her ser vi på kva slags einingar vi bruker på volum.

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Tove Annette Holter.

Sist fagleg oppdatert 27.09.2021