Oppgåver og aktivitetar

Funksjonar, likningar og ulikskapar av andre grad

Det er nær samanheng mellom funksjonar, likningar og ulikskapar av andre grad. Kvadratsetningane er noko av det som bind dei saman. Du kan utforske dette i oppgåvene nedanfor.

3.3.10

Løys oppgåva utan hjelpemiddel.

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = x^{2} - 3 x - k, x \in ⟨ - 2, 5 ⟩$

a) Set $k = 4$ . Finn nullpunkta til funksjonen ved å løyse likninga $f (x) = 0$ .

Vis løysing

Med $k = 4$ får vi $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ . Vi løyser med andregradsformelen:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 3 x - 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \\ = & \frac{3 \pm 5}{2} \\ x & = & \frac{3 + 5}{2} eller x = \frac{3 - 5}{2} \\ x & = & 4 eller x = - 1 \end{array}$

b) Kva må $k$ vere for at $x = 1$ skal vere eit nullpunkt?

Vis løysing

Dersom $x = 1$ skal vere eit nullpunkt, betyr det at $f (1) = 0$ . Vi set inn 1 for $x$ i funksjonen og set han lik 0.

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & 0 \\ 1^{2} - 3 \cdot 1 - k & = & 0 \\ 1 - 3 - k & = & 0 \\ - 2 & = & k \end{array}$

c) Kva må $k$ vere for at funksjonsverdiane til $f$ skal vere negative mellom 0 og 3?

Tips

Ein andregradsfunksjon endrar forteikn berre i nullpunkta. (Tenk over kvifor det er sånn!) Derfor må vi finne ut kva $k$ må vere for at nullpunkta skal vere 0 og 3.

Vis løysing

Vi veit at eit andregradsuttrykk kan faktoriserast ved hjelp av nullpunkta ved å skrive $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ der $x_{1}$ og $x_{2}$ er nullpunkta til den tilsvarande andregradsfunksjonen. Vi prøver dette her.

$\begin{array}{rcl} (x - 0) (x - 3) & = & x^{2} - 3 x - k \\ x (x - 3) & = & x^{2} - 3 x - k \\ x^{2} - 3 x & = & x^{2} - 3 x - k \\ 0 & = & - k \\ k & = & 0 \end{array}$

Når vi òg veit at $f$ har eit botnpunkt, viser dette at funksjonsverdiane til $f$ er negative mellom 0 og 3 når $k = 0$ .

d) Kva må $k$ vere for at $x^{2} - 3 x - k$ skal vere eit fullstendig kvadrat?

Vis løysing

Alternativ 1 – direkte faktorisering

Vi lagar eit fullstendig kvadrat og følgjer måten som er brukt på sida Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrat der vi bestemmer kva leddet $b$ i kvadratsetninga skal vere.

$x^{2} - 3 x + b^{2} - b^{2} - k$

Vi får, dersom vi samanliknar med andre kvadratsetning ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ , at

$\begin{array}{rcl} - 2 b & = & - 3 \\ b & = & \frac{3}{2} \end{array}$

Dei tre første ledda i $x^{2} - 3 x + b^{2} - b^{2} - k$ kan då skrivast som

$x^{2} - 3 x + b^{2} = x^{2} - 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} = {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

og er eit fullstendig kvadrat. Det betyr at summen av dei to siste ledda må vere lik null for at heile uttrykket skal vere eit fullstendig kvadrat.

$\begin{array}{rcl} - b^{2} - k & = & 0 \\ - {(\frac{3}{2})}^{2} & = & k \\ - \frac{9}{4} & = & k \end{array}$

Alternativ 2 – andregradsformelen

I eit fullstendig kvadrat har vi berre éi løysing på likninga $f (x) = 0$ . Det betyr at rotteiknet i andregradsformelen må vere null.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{b^{2} - 4 a c} & = & 0 \\ \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- k)} & = & 0 \\ \sqrt{9 + 4 k} & = & 0 \\ 9 + 4 k & = & 0 \\ 4 k & = & - 9 \\ k & = & - \frac{9}{4} \end{array}$

I overgangen mellom den tredje og den fjerde linja har vi brukt at dersom kvadratrota av noko skal vere null, må dette "noko" vere null.

e) Kva må $k$ vere for at grafen til funksjonen skal gå gjennom punktet (1, 3)?

Vis løysing

Dersom funksjonen skal gå gjennom punktet (1, 3), må vi ha at

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & 3 \\ 1^{2} - 3 \cdot 1 - k & = & 3 \\ 1 - 3 - k & = & 3 \\ - k & = & 3 + 3 - 1 \\ - k & = & 5 \\ k & = & - 5 \end{array}$

f) Finn på eit anna vilkår til funksjonen, og finn ut kva $k$ må vere for at vilkåret skal bli oppfylt.

g) Bruk GeoGebra eller liknande til å lage ein glidar for konstanten $k$ . Skriv inn funksjonen $f$ med konstanten $k$ og observer korleis grafen endrar seg når $k$ blir variert. Gå gjennom oppgåvene over ved hjelp av dette GeoGebra-arket.

3.3.11

Bruk GeoGebra eller tilsvarande når du løyser desse oppgåvene.

I eit koordinatsystem har vi to punkt, $A (2, 3)$ og $B (4, 6)$ .

a) Kan du finne ei rett linje som går gjennom dei to punkta? Kall funksjonsuttrykket til linja for $f (x)$ .

Vis løysingsforslag

Vi teiknar punkta inn i GeoGebra og bruker verktøyet "Linje mellom to punkt".

Koordinatsystem der den rette linja y er lik 1,5 x går gjennom punktet A med koordinatar 2 og 3 og punktet B med koordinatar 4 og 6. Skjermutklipp. — Rett linje gjennom punkta A og B

Vi får at $f (x) = 1, 5 x$ .

(Verktøyet for rett linje lagar eigentleg ikkje ein funksjon i GeoGebra, men det bryr vi oss ikkje om no.)

b) Kan du finne ein andregradsfunksjon der grafen går gjennom dei to punkta? Kall funksjonsuttrykket for $g (x)$ .

Tips

Oppgåva kan løysast på fleire måtar. Éin måte er å bruke regresjon, men då blir det kravd eitt punkt til i tillegg til $A$ og $B$ .

Kvifor trur du regresjonsverktøyet krev eitt punkt til?

Vis løysingsforslag

Vi treng eitt punkt til og vel til dømes punktet $C (- 2, 3)$ .

Koordinatsystem der den rette linja y er lik 1,5 x går gjennom punktet A med koordinatar 2 og 3 og punktet B med koordinatar 4 og 6. I tillegg går andregradsfunksjonen g av x er lik 0,25 x i andre pluss 2 gjennom dei to punkta. Skjermutklipp. — Grafen til ein andregradsfunksjon og ei rett linje som begge går gjennom punkta A og B

Vi bruker kommandoen $g(x) = RegPoly({A, B, C}, 2)$ .

Med valet vårt av punkt $C$ , får vi funksjonen $g (x) = 0, 25 x^{2} + 2$ .

Speler rekkjefølgja på punkta i kommandoen noka rolle?

c) Løys likninga $f (x) = g (x)$ .

Vis løysingsforslag

Her slepp vi å rekne sidan vi veit at løysinga er punkta $A$ og $B$ . Løysinga blir altså

$x = 2$ eller $x = 4$

d) Løys ulikskapen $f (x) > g (x)$ .

Vis løysingsforslag

Med valet vårt av punkt $C$ ser vi at $f$ ligg over $g$ i området mellom punkta $A$ og $B$ . Løysinga på ulikskapen blir derfor

$x \in 〈 2, 4 〉$

e) Kan du finne ein annan andregradsfunksjon $g_{2} (x)$ der grafen går gjennom punkta $A$ og $B$ og som er slik at $g_{2} (x) > f (x)$ i det området der $f (x) > g (x)$ ?

Tips

Her må vi finne ein andregradsfunksjon der grafen krummar den andre vegen enn i den førre oppgåva. Då må det tredje punktet vi treng (vi kallar det $D$ ) for å få gjort regresjonen, liggje ein heilt annan stad enn punkt $C$ , men kvar?

Vis løysingsforslag

Vi får dette til ved å plassere eit tredje punkt $D$ slik at det kjem til høgre for $A$ og $B$ (og motsett dersom du plasserte punkt $C$ til høgre for $A$ og $B$ til å byrje med). Regresjonskommandoen her blir $g_2(x) = RegPoly({A, B, D}, 2)$ .

Koordinatsystem der den rette linja y er lik 1,5 x går gjennom punktet A med koordinat 2 og 3 og punktet B med koordinat 4 og 6. I tillegg går andregradsfunksjonen g av x er lik 0,25 x i andre pluss 2 og andregradsfunksjonen g 2 av x er lik minus 0,75 x i andre pluss 6 x minus 6 gjennom dei to punkta. Skjermutklipp. — To andregradsfunksjonar og ei rett linje der alle grafane går gjennom punkta A og B

Med valet vårt av punkt $D$ får vi funksjonen

$g_{2} (x) = - 0, 75 x^{2} + 6 x - 6$

f) Kor mange moglege rette linjer kan vi lage i oppgåve a)? Kor mange moglege andregradsfunksjonar kan vi lage der grafane går gjennom punkta $A$ og $B$ ?

Vis løysingsforslag

Ei rett linje er eintydig bestemd av to punkt på linja. Altså finst det berre éin mogleg funksjon her. For andregradsfunksjonen finst det uendeleg mange løysingar sidan vi kan velje det tredje punktet (nesten) kvar som helst.

g) Flytt på punkt $C$ med musepeikaren og observer korleis grafen til andregradsfunksjonen $g$ endrar seg. Prøv å lage reglar for kvar $C$ må vere for at $g$ skal ha eit botnpunkt og reglar for at $g$ skal ha eit toppunkt. Er det nokon stader punkt $C$ ikkje kan vere uansett (i tillegg til at $C$ ikkje kan samanfalle med $A$ eller $B$ )?

Delvis løysing

I tillegg til at $C$ ikkje kan samanfalle med $A$ eller $B$ , kan heller ikkje $C$ ha den same $x$ -koordinaten som $A$ eller $B$ . (Kva er grunnen?)

h) Kan du lage ei grafisk framstilling som viser kva område i koordinatsystemet punktet $C$ kan liggje i?

i) Kan du finne ein tredjegradsfunksjon der grafen går gjennom dei to punkta? Kva med ein fjerdegradsfunksjon?

Delvis løysing

For kvar grad høgare funksjonen blir, treng vi eit ekstra punkt til regresjonskommandoen. Vi treng eitt meir punkt enn graden på polynomfunksjonen, og når desse punkta kan veljast fritt, får vi uendeleg mange tredje- og fjerdegradsfunksjonar som går gjennom dei to punkta $A$ og $B$ .

CC BY-SASkrive av Tove Annette Holter og Bjarne Skurdal.

Sist fagleg oppdatert 30.03.2020

Funksjonar, likningar og ulikskapar av andre grad

3.3.10

Alternativ 1 – direkte faktorisering

Alternativ 2 – andregradsformelen

3.3.11

Reglar for bruk