Metoden med fullstendige kvadrat

Eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Til dømes er uttrykka $x^2-6x+9$ og $$ 4x^2+4x+1$$ fullstendige kvadrat fordi $x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$ og $$ $ 4x^2+4x+1$ = {\left(2x+1\right)}^2$$.

Vi bruker ofte bokstavane a og b både i kvadratsetningane og i den generelle formelen for andregradsuttrykk. Det kan komplisere føringa, så vi vel her å bruke andre bokstavar for å gjere det enkelt. Då får vi kvadratsetningane på denne forma:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(k+p\right)}^2 & =& k^2+2kp+p^2\\ {\left(k-p\right)}^2 & =& k^2-2kp+p^2\end{array}$$

Å kjenne igjen eit fullstendig kvadrat

Det er ikkje alltid så lett å sjå med ein gong om eit andregradsuttrykk på forma $$ a{x}^2+bx+c$$ er eit fullstendig kvadrat. Vi kan gå fram trinnvis for å sjekke. Vi bruker uttrykket $x^2-6x+9$ som døme. Vi ser at det midtarste leddet er negativt, så vi må sjekke om vi kan skrive det om til forma $$ {\left(k-p\right)}^2$$:

1. Vi ser at andregradsleddet og konstantleddet er positivt.

2. Vi set$$ k=\sqrt{x^2}=x$$ og $$ p=\sqrt{9}=3$$.

3. Vi må sjekke om det midtarste leddet kan skrivast som $$ 2kp$$. I dette tilfellet får vi at $$ 2kp=2·x·3=6x$$, noko som stemmer med kravet.

4. Krava i punkta 1 og 3 er oppfylte, dermed har vi at
   
   $$ x^2-6x+9= {\left(k-p\right)}^2={\left(x-3\right)}^2$$

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal sjekke om uttrykket $$ a{x}^2+bx+c$$ er eit fullstendig kvadrat:

1. Vi sjekkar om andregradsleddet og konstantleddet er positivt.

2. Vi set$$ k=\sqrt{a{x}^2}=\sqrt{a}x$$ og $$ p=\sqrt{c} $$.

3. Vi sjekkar om førstegradsleddet, bx , kan skrivast som $$ 2kp = 2\sqrt{a}·x·\sqrt{c}=2\sqrt{ac}·x$$.

4. Dersom krava i punkta 1 og 3 er oppfylte, har vi eit fullstendig kvadrat, og vi kan skrive uttrykket slik:
   
   $$ a{x}^2+bx+c={\left(k+p\right)}^2$$

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrat, men det er mogleg å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage eit fullstendig kvadrat av dei to første ledda og så bruke konjugatsetninga. Det er som oftast enklare å bruke andre metodar for å faktorisere andregradsuttrykk, men metoden er likevel viktig som eit grunnlag for å forstå meir om andregradsuttrykk, andregradslikningar og seinare òg likningar for sirklar og kuler.

Vi viser metoden ved å gå gjennom eit døme.

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket$x^2+4x-5$, som ikkje kan faktoriserast direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Vi legg først konstantleddet litt til side og konsentrerer oss om dei to første ledda i uttrykket, $$ x^2+4x$$. Vi ønsker å finne ut kva vi må legge til for å få dette til å bli eit fullstendig kvadrat. Dette kallar vi å fullføre kvadratet.

Vi set $$ k=\sqrt{x^2}=x$$. Det neste leddet, $$ 4x$$, må då vere lik $$ 2kp$$:

$\begin{array}{rcl}4x & =& 2kp \\ 4x & =& 2·x·p\\ p & =& 2\end{array}$

Dette betyr at vi må legge til $$ p^2=2^2=4$$ for å få eit fullstendig kvadrat. Men dersom vi legg noko til, aukar vi verdien på uttrykket vårt. Vi må derfor trekke frå 4 òg for å behalde verdien slik han var:

$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x-5& =& \underset{\mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat}}{\underbrace{x^2+4x+2^2}}-4-5\\ & =& {\left(x+2\right)}^2-9\end{array}$

Uttrykket $$ {\left(x+2\right)}^2-9$$ kan vi kjenne igjen som den høgre sida av konjugatsetninga. Vi bruker igjen bokstavane k og p:

$$ \left(k-p\right)\left(k+p\right)=k^2-p^2$$

Her får vi $$ k=\sqrt{{\left(x+2\right)}^2}=\left(x+2\right)$$ og $$ p=\sqrt{9}=3$$. Vi kan bruke dette til å faktorisere ferdig:

$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x-5 & =& {\left(x+2\right)}^2-3^2\\ & =& \left(\left(x+2\right)+3\right)\left(\left(x+2\right)-3\right)\\ & =& \left(x+5\right)\left(x-1\right)\end{array}$

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal faktorisere uttrykket $$ a{x}^2+bx+c$$ ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrat:

1. Vi set $$ k=\sqrt{a{x}^2}=\sqrt{a}x$$.

2. Så set vi $$ bx = 2kp = 2\sqrt{a}x·p$$ og reknar ut p.

3. Vi legg til $$ p^2$$ for å fullføre kvadratet og trekker frå $$ p^2$$ igjen.

4. Vi skriv dei tre første ledda som $$ {\left(k+p\right)}^2$$ og trekker saman konstantledda.

5. Til slutt faktoriserer vi ved hjelp av konjugatsetninga.

🤔 Tenk over: Dersom koeffisienten a til $$ x^2=1$$, finn vi enkelt $$ p^2$$ ved å dele koeffisienten b på 2 og opphøge dette talet i 2. Kan du forklare det?