Hopp til innhald

Fagstoff

Eksponentiallikningar

Korleis løyser vi likningar av typen aˣ = b?

Likningar med potensuttrykk der eksponenten er ukjend, kallar vi eksponentiallikningar. Vi kan bruke logaritmesetningane til å løyse slike likningar.

Gitt eksponentiallikninga

$a^{x} = b$

Sidan logaritmen til to like tal er like, er

$\lg a^{x} = \lg b$

Tredje logaritmesetning gir då at

$x \lg a = \lg b$

Det gir løysinga på eksponentiallikninga:

$x = \frac{\lg b}{\lg a}$

Her kan vi òg like gjerne bruke den naturlege logaritmen.

Døme 1

Vi skal løyse likninga

$2^{3 x - 1} = 16$

Vi løyser likninga ved å bruke logaritmesetningane:

$\begin{array}{rcl} \lg (2^{3 x - 1}) & = & \lg 16 \\ (3 x - 1) lg2 & = & {lg2}^{4} \\ 3 x - 1 & = & \frac{4 lg2}{lg2} \\ 3 x & = & 5 \\ x & = & \frac{5}{3} \end{array}$

Døme 2

Fire norske tohundrelappar. Foto.

Anne har plassert 1 000 kroner på ein konto i banken. På 2000-talet kunne renta vere 6,0 prosent per år. Kor lenge må pengane stå i banken før beløpet er fordobla?

Vi finn vekstfaktoren først.

Når ein storleik aukar med $p$ prosent, er vekstfaktoren $1 + \frac{p}{100}$ .

Vekstfaktoren blir

$1 + \frac{6}{100} = 1, 06$

Vi kan då setje opp følgjande likning der $x$ er tida pengane må stå i banken:

$1 000 \cdot 1, 06^{x} = 2 \cdot 1 000$

Vi prøver å løyse likninga ved å bruke logaritmesetningane.

$\begin{array}{rcl} 1 000 \cdot 1, 06^{x} & = & 2 \cdot 1 000 \\ 1, 06^{x} & = & \frac{2 000}{1 000} \\ 1, 06^{x} & = & 2 \\ \lg 1, 06^{x} & = & \lg 2 \\ x \cdot \lg 1, 06 & = & \lg 2 \\ x & = & \frac{\lg 2}{\lg 1, 06} \end{array}$

Her må vi bruke eit digitalt verktøy, eller ein logaritmetabell, for å få ein tilnærma verdi. I praktiske oppgåver løyser vi derfor eksponentiallikningar i eit CAS-verktøy.

CAS-løysing med GeoGebra. På linje 1 er det skrive inn 1000 multiplisert med 1,06 opphøgd i x er lik 2000. Svaret med N Løys er x er lik 11,9. Skjermutklipp.

Ved CAS i GeoGebra får vi det tilnærma svaret 11,9 som løysing på likninga.

Pengane må altså stå i omtrent 12 år i banken før beløpet er fordobla.

Grafisk løysing av eksponentiallikninga i dømet med GeoGebra. Grafen til funksjonen f av x er lik 1000 multiplisert med 1,06 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 16. Linja y er lik 2000 er også teikna. Skjeringspunktet mellom linja og grafen til f er markert og har koordinatane 11,9 og 2000. Skjermutklipp.

Vi kan òg løyse likninga grafisk. I koordinatsystemet har vi teikna grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = 1 000 \cdot 1, 06^{x}$ og linja $y = 2000$ og løyst likninga $f (x) = 2 000$ grafisk.

Video: //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen

Døme 3

Vi går ut frå at innbyggjartalet i Småby veks med 1,5 prosent kvart år. Det bur i dag 13 000 personar i Småby. Kor mange år går det før innbyggjartalet er 15 000?

Vi finn først vekstfaktoren.

$1 + \frac{1, 5}{100} = 1, 015$

Så set vi opp og løyser likninga $13 000 \cdot 1, 015^{x} = 15 000$ med CAS i GeoGebra.

CAS-løysing med GeoGebra. På linje 1 er det skrive inn 13000 multiplisert med 1,015 opphøgd i x er lik 15000. Svaret med N Løys er x er lik 9,61. Skjermutklipp.

Innbyggjartalet vil vere 15 000 om snaue 10 år.

Døme 4

Bruktbilar med prislapp i frontrutene. Foto. — Kor mange år vil det gå før verdien til bilen er halvert?

Kari kjøper ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 prosent kvart år sidan han var ny, og Kari reknar med at denne verdireduksjonen vil halde fram dei neste åra.

Når ein verdi minkar med $p$ prosent, er vekstfaktoren $1 - \frac{p}{100}$ .

Vekstfaktoren blir

$1 - \frac{10}{100} = 0, 90$

Verdien av bilen, $V (x)$ , $x$ talet på år etter at Kari kjøpte han, er då gitt ved

$V (x) = 200 000 \cdot 0, 90^{x}$

Grafisk løysing av eksponentiallikninga i dømet med GeoGebra. Grafen til funksjonen V av x er lik 200000 multiplisert med 0,9 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom minus 4 og 13. Linja y er lik 100000 er òg teikna. Punktet på grafen til V med x-koordinat minus 4 har y-koordinat 304831,58. Skjeringspunktet mellom linja og grafen til V er markert og har koordinatane 6,58 og 100000. Skjermutklipp.

Av grafen til $V$ kan vi lese at verdien av bilen vil ha sokke til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesing på grafen viser òg at verdien av bilen for 4 år sidan, det vil seie når $x = - 4$ , altså då han var ny, var nærare 305 000 kroner.

Vi skal òg sjå korleis vi kan rekne ut dette med CAS i GeoGebra.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive V av x kolon er lik 200000 multiplisert med 0,9 opphøgd i x. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive V av x er lik 100000. Svaret med Løys er l n 2 delt på parentes l n 2 pluss l n 5 minus l n 9 parentes slutt. På linje 3 er det skrive dollarteikn 2. Svaret med tilnærming er x er lik 6,58. På linje 4 er det skrive V av minus 4. Svaret med tilnærming er 304831,58. Skjermutklipp.

På linje 1 skriv vi inn funksjonen $V (x)$ . Så reknar vi ut kor lang tid det går før verdien av bilen har sokke til 100 000 kroner ved å løyse likninga $V (x) = 100 000$ . Vi løyser likninga eksakt med "Løys" først og trykkjer på knappen "tilnærma lik" etterpå for å få svaret i linje 2 som eit enkelt tal.

Til slutt på linje 4 reknar vi ut kor mykje bilen var verd for 4 år sidan.

Vi får det same svaret som vi fann grafisk.

I døme 5 skal vi sjå litt på ei annleis eksponentiallikning.

Døme 5

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot 3^{x} & = & 3 \cdot 4^{x} \\ \lg (2 \cdot 3^{x}) & = & \lg (3 \cdot 4^{x}) \\ \lg 2 + \lg 3^{x} & = & \lg 3 + \lg 4^{x} \\ \lg 2 + x \cdot \lg 3 & = & \lg 3 + x \cdot \lg 4 \\ x \cdot \lg 3 - x \cdot \lg 4 & = & \lg 3 - \lg 2 \\ x (\lg 3 - \lg 4) & = & \lg 3 - \lg 2 \\ x & = & \frac{\lg 3 - \lg 2}{\lg 3 - \lg 4} \end{array}$

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte vere greitt når vi arbeider med teoretiske problemstillingar.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive 2 multiplisert med 3 opphøgd i x er lik 3 multiplisert med 4 opphøgd i x. Svaret med Løys er x er lik parentes l n 2 minus l n 3 parentes slutt delt på parentes 2 l n 2 minus l n 3 parentes slutt. På linje 3 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 1,41. Skjermutklipp. — Eksakt og tilnærma løysing på eksponentiallikninga i dømet

I praktiske oppgåver som døma 2, 3 og 4, er det vanleg å bruke tilnærmingsverdiar. Utklippet frå CAS i GeoGebra viser korleis vi først løyser likninga eksakt og deretter finn tilnærmingsverdien ved å trykkje på knappen "tilnærma lik", eller skriv $1 på linja under den eksakte løysinga. (Kva betyr det?) Legg merke til at GeoGebra bruker den naturlege logaritmen "ln" i staden for den briggske logaritmen "lg". Det kunne vi òg gjort då vi rekna ut svaret manuelt over.

Oppgåve

Det er to andre forskjellar òg mellom svaret med den manuelle, eksakte utrekninga og det eksakte svaret med CAS. Kva er forskjellane?

Forklaring

Rekkjefølgja på ledda i teljar og nemner i brøken er bytt om. Kvifor speler ikkje det noka rolle?
I CAS-løysinga er $\ln 4$ gjort om til $2 \ln 2$ . Vis at dei to uttrykka er det same.

Døme 6

Nokre likningar inneheld fleire ledd med potensuttrykk, som til dømes

$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} - 12 = 0$

Kva slags likning er dette, og korleis kan vi løyse denne manuelt?

Vi ser at i likninga inngår både 3 opphøgd i $2 x$ og 3 opphøgd i $x$ . Frå potensrekninga veit vi at $3^{2 x} = {(3^{x})}^{2}$ . Likninga vår kan då skrivast som

${(3^{x})}^{2} - 4 \cdot 3^{x} - 12 = 0$

Vi kallar no $3^{x}$ for $u$ . Likninga blir då

$u^{2} - 4 \cdot u - 12 = 0$

No ser vi at vi har ei andregradslikning med $u$ som den ukjende.

Ei jente som tenkjer. Foto.

Andregradslikninga har løysinga

$\begin{array}{rcl} u^{2} - 4 \cdot u - 12 & = & 0 \\ u & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1} \\ u & = & \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} \\ u_{1} & = & - 2 u_{2} = 6 \end{array}$

Vi byrja med å setje $3^{x} = u$ . Når vi no har funne at $u = - 2 eller u = 6$ , må det bety at $3^{x} = - 2 eller 3^{x} = 6$ .

Løysinga $3^{x} = - 2$ gir inga meining sidan potensen $3^{x}$ alltid er positiv.

Løysinga blir

$3^{x} = 6 \Rightarrow x = \frac{\lg 6}{\lg 3} \approx 1, 6$

Her kunne vi òg ha oppgitt svaret på eksakt form som $x = \frac{\lg 6}{\lg 3}$ .

Metoden her går altså ut på å skifte variabel ved å setje $u = u (x)$ , for å få ei enklare likning. Når vi har løyst denne og funne $u$ , må vi gå tilbake og finne $x$ . Vanlegvis vil vi løyse slike likningar med CAS, men det er viktig å kjenne til denne løysingsteknikken.

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.

Sist fagleg oppdatert 04.01.2021

Læringsressursar

Likningar og ulikskapar