Eksponentiallikningar

Kari kjøper ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 prosent kvart år sidan han var ny, og Kari reknar med at denne verdireduksjonen vil halde fram dei neste åra.

Vekstfaktoren blir

$1-\frac{10}{100}=0,90$

Verdien av bilen, $V\left(x\right)$, $x$ talet på år etter at Kari kjøpte han, er då gitt ved

$V\left(x\right)=200 000·0,{90}^x$

Av grafen til $V$ kan vi lese at verdien av bilen vil ha sokke til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesing på grafen viser òg at verdien av bilen for 4 år sidan, det vil seie når$$ x=-4$$, altså då han var ny, var nærare 305 000 kroner.

Vi skal òg sjå korleis vi kan rekne ut dette med CAS i GeoGebra.

På linje 1 skriv vi inn funksjonen $$ V\left(x\right)$$. Så reknar vi ut kor lang tid det går før verdien av bilen har sokke til 100 000 kroner ved å løyse likninga$$ V\left(x\right)=100 000$$. Vi løyser likninga eksakt med "Løys" først og trykkjer på knappen "tilnærma lik" etterpå for å få svaret i linje 2 som eit enkelt tal.

Til slutt på linje 4 reknar vi ut kor mykje bilen var verd for 4 år sidan.

Vi får det same svaret som vi fann grafisk.

I døme 5 skal vi sjå litt på ei annleis eksponentiallikning.

$\begin{array}{rcl} 2·3^x& = & 3·4^x\\ & & \\ \lg \left(2·3^x\right)& =& \lg \left(3·4^x\right)\\ & & \\ \lg 2+\lg 3^x& =& \lg 3 + \lg 4^x\\ & & \\ \lg 2+x·\lg 3& =& \lg 3+x·\lg 4\\ & & \\ x·\lg 3-x·\lg 4& =& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x\left(\lg 3-\lg 4\right)& =& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x& =& \frac{\lg 3-\lg 2}{\lg 3-\lg 4}\end{array}$

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte vere greitt når vi arbeider med teoretiske problemstillingar.

I praktiske oppgåver som døma 2, 3 og 4, er det vanleg å bruke tilnærmingsverdiar. Utklippet frå CAS i GeoGebra viser korleis vi først løyser likninga eksakt og deretter finn tilnærmingsverdien ved å trykkje på knappen "tilnærma lik", eller skriv $1 på linja under den eksakte løysinga. (Kva betyr det?) Legg merke til at GeoGebra bruker den naturlege logaritmen "ln" i staden for den briggske logaritmen "lg". Det kunne vi òg gjort då vi rekna ut svaret manuelt over.

Oppgåve

Det er to andre forskjellar òg mellom svaret med den manuelle, eksakte utrekninga og det eksakte svaret med CAS. Kva er forskjellane?

Nokre likningar inneheld fleire ledd med potensuttrykk, som til dømes

$3^{2x}-4·3^x-12=0$

Kva slags likning er dette, og korleis kan vi løyse denne manuelt?

Vi ser at i likninga inngår både 3 opphøgd i $2x$ og 3 opphøgd i $x$. Frå potensrekninga veit vi at $3^{2x}={\left(3^x\right)}^2$. Likninga vår kan då skrivast som

${\left(3^x\right)}^2-4·3^x-12=0$

Vi kallar no $3^x$ for $u$. Likninga blir då

$u^2-4·u-12=0$

No ser vi at vi har ei andregradslikning med $u$ som den ukjende.

Andregradslikninga har løysinga

$\begin{array}{rcl}{u}^2-4·u-12& = & 0\\ & & \\ u& =& \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-12\right)}}{2·1}\\ & & \\ u& =& \frac{4\pm \sqrt{16+48}}{2}=\frac{4\pm 8}{2}\\ & & \\ u_1& =& -2 u_2=6\end{array}$

Vi byrja med å setje$$ 3^x=u$$. Når vi no har funne at$$ u=-2 \mathrm{eller} u=6$$, må det bety at$$ 3^x=-2 \mathrm{eller} 3^x=6$$.

Løysinga$$ 3^x=-2 $$gir inga meining sidan potensen $3^x$ alltid er positiv.

Løysinga blir

$3^x=6 \Rightarrow x=\frac{\lg 6}{\lg 3}\approx 1,6$

Her kunne vi òg ha oppgitt svaret på eksakt form som$$ x=\frac{\lg 6}{\lg 3} $$.

Metoden her går altså ut på å skifte variabel ved å setje$$ u=u\left(x\right)$$, for å få ei enklare likning. Når vi har løyst denne og funne $u$, må vi gå tilbake og finne $x$. Vanlegvis vil vi løyse slike likningar med CAS, men det er viktig å kjenne til denne løysingsteknikken.