Praktiske eksempel med eksponentialfunksjonar

CC BY-NC-SA

Bilete: Johner Images, NTB scanpix

Dersom du set $1 000$ kroner i banken i dag og får $6 \%$ rente på pengane, kan du om eitt år ta ut kroner

$\begin{array}{rcl}1 000+1 000·\frac{6}{100}& = & 1 000·\left(1+0,06\right)\\ & & \\ & =& 1 000·1,06\end{array}$

Etter to år kan du ta ut kroner

$1 000·1,06·\left(1+\frac{6}{100}\right)=1 000·1,{06}^2$

Etter tre år kan du ta ut kroner

$1 000·1,{06}^2·\left(1+\frac{6}{100}\right)=1 000·1,{06}^3$

Etter $x$ år kan du ta ut kroner $1 000·1,{06}^x$.

Talet $1,06$ kallar vi for vekstfaktoren.

Meir om vekstfaktor

Inneståande beløp, $B$, er ein funksjon av talet på år i banken, $x$, og funksjonsuttrykket blir

$B\left(x\right)=1 000·1,{06}^x$

Funksjonen blir kalla ein eksponentialfunksjon sidan den variable opptrer som eksponent i ein potens.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Grafen av funksjonen viser til dømes at beløpet på $1 000$ kroner har vakse til $1 191$ kroner etter $3$ år (som vi rekna ut ovanfor) og til $2 693$ kroner etter $17$ år.

Kor lenge må pengane stå i banken før beløpet er dobla?

Vi finn svaret ved å teikne den rette linja $y=2·1 000=2 000$ i same koordinatsystem som grafen av $B$ og så finne skjeringspunktet mellom linja og grafen. Pengane må stå i banken i $12$ år.

Dette kan vi òg finne ved rekning.

Vi set talet på år pengane må stå i banken lik $x$ og får likninga

$1 000·1,{06}^x=2·1 000$

Dette er ei eksponentiallikning.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen

Denne likninga løyser vi ved CAS i GeoGebra

CC BY-NC-SA

Bilete: Albert Van Rosendaa

Kari kjøper ein fire år gammal bil for $200 000$ kroner. Bilen har sokke i verdi med $10 \%$ kvart år sidan han var ny. Kari reknar med at verdien vil søkke på same måte dei neste åra.

Når har verdien til bilen sokke til halvparten av det Kari betalte for han, og kva kan vi rekna med at verdien var då han var ny?

Verdien på bilen eitt år etter at Kari kjøpte han blir kroner

$\begin{array}{rcl}200 000-200 000·\frac{10}{100}& = & 200 000·\left(1-\frac{10}{100}\right)\\ & & \\ & =& 200 000·0,90\end{array}$

Verdien på bilen $x$ år etter at Kari kjøpte han blir kroner $200 000·0,{90}^x$

Verdien av bilen, $V\left(x\right)$, $x$ år etter at Kari kjøpte han, er då gitt ved

$V\left(x\right)=200 000·0,{90}^x$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi teiknar grafen av $V$.

Vi teiknar den rette linja $y=200 000·\frac{1}{2}=100 000$ og finn skjeringspunktet mellom denne og grafen av $V$. Då ser vi at bilen er verdt 100 000 kroner om cirka seks og eit halvt år. Så skriv vi $\left(-4, V(-4)\right)$ i inntastingsfeltet og får eit nytt punkt på grafen til $V$. Då ser vi at bilen kosta om lag 305 000 kroner då han var ny.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen

Vi kan finne det same ved rekning. Hugs at du ikkje treng definere funksjonen på ny når han finst i algebrafeltet.