Det er nær samanheng mellom funksjonar, likningar og ulikskapar av andre grad. Kvadratsetningane er noko av det som bind dei saman. Du kan utforske dette i oppgåvene nedanfor.
3.3.10
Løys oppgåva utan hjelpemiddel.
Vi har gitt funksjonen
a) Set . Finn nullpunkta til funksjonen ved å løyse likninga .
Vis løysing
Med får vi . Vi løyser med andregradsformelen:
b) Kva må vere for at skal vere eit nullpunkt?
Vis løysing
Dersom skal vere eit nullpunkt, betyr det at . Vi set inn 1 for i funksjonen og set han lik 0.
c) Kva må vere for at funksjonsverdiane til skal vere negative mellom 0 og 3?
Tips
Ein andregradsfunksjon endrar forteikn berre i nullpunkta. (Tenk over kvifor det er sånn!) Derfor må vi finne ut kva må vere for at nullpunkta skal vere 0 og 3.
Vis løysing
Vi veit at eit andregradsuttrykk kan faktoriserast ved hjelp av nullpunkta ved å skrive der og er nullpunkta til den tilsvarande andregradsfunksjonen. Vi prøver dette her.
Når vi òg veit at har eit botnpunkt, viser dette at funksjonsverdiane til f er negative mellom 0 og 3 når k=0.
d) Kva må k vere for at x2-3x-k skal vere eit fullstendig kvadrat?
Vi får, dersom vi samanliknar med andre kvadratsetning a-b2=a2-2ab+b2, at
-2b=-3b=32
Dei tre første ledda i x2-3x+b2-b2-k kan då skrivast som
x2-3x+b2=x2-3x+322=x-322
og er eit fullstendig kvadrat. Det betyr at summen av dei to siste ledda må vere lik null for at heile uttrykket skal vere eit fullstendig kvadrat.
-b2-k=0-322=k-94=k
Alternativ 2 – andregradsformelen
I eit fullstendig kvadrat har vi berre éi løysing på likninga f(x)=0. Det betyr at rotteiknet i andregradsformelen må vere null.
b2-4ac=0-32-4·1·-k=09+4k=09+4k=04k=-9k=-94
I overgangen mellom den tredje og den fjerde linja har vi brukt at dersom kvadratrota av noko skal vere null, må dette "noko" vere null.
e) Kva må k vere for at grafen til funksjonen skal gå gjennom punktet (1, 3)?
Vis løysing
Dersom funksjonen skal gå gjennom punktet (1, 3), må vi ha at
f1=312-3·1-k=31-3-k=3-k=3+3-1-k=5k=-5
f) Finn på eit anna vilkår til funksjonen, og finn ut kva k må vere for at vilkåret skal bli oppfylt.
g) Bruk GeoGebra eller liknande til å lage ein glidar for konstanten k. Skriv inn funksjonen f med konstanten k og observer korleis grafen endrar seg når k blir variert. Gå gjennom oppgåvene over ved hjelp av dette GeoGebra-arket.
3.3.11
Bruk GeoGebra eller tilsvarande når du løyser desse oppgåvene.
I eit koordinatsystem har vi to punkt, A(2,3) og B(4,6).
a) Kan du finne ei rett linje som går gjennom dei to punkta? Kall funksjonsuttrykket til linja for f(x).
Vis løysingsforslag
Vi teiknar punkta inn i GeoGebra og bruker verktøyet "Linje mellom to punkt".
Vi får at f(x)=1,5x.
(Verktøyet for rett linje lagar eigentleg ikkje ein funksjon i GeoGebra, men det bryr vi oss ikkje om no.)
b) Kan du finne ein andregradsfunksjon der grafen går gjennom dei to punkta? Kall funksjonsuttrykket for g(x).
Tips
Oppgåva kan løysast på fleire måtar. Éin måte er å bruke regresjon, men då blir det kravd eitt punkt til i tillegg til A og B.
Kvifor trur du regresjonsverktøyet krev eitt punkt til?
Vis løysingsforslag
Vi treng eitt punkt til og vel til dømes punktet C(-2,3).
Vi bruker kommandoen g(x) = RegPoly({A, B, C}, 2).
Med valet vårt av punkt C, får vi funksjonen g(x)=0,25x2+2.
Speler rekkjefølgja på punkta i kommandoen noka rolle?
c) Løys likninga f(x)=g(x).
Vis løysingsforslag
Her slepp vi å rekne sidan vi veit at løysinga er punkta A og B. Løysinga blir altså
x=2 eller x=4
d) Løys ulikskapen f(x)>g(x).
Vis løysingsforslag
Med valet vårt av punkt C ser vi at f ligg over g i området mellom punkta A og B. Løysinga på ulikskapen blir derfor
x∈〈2,4〉
e) Kan du finne ein annan andregradsfunksjon g2(x) der grafen går gjennom punkta A og B og som er slik at g2(x)>f(x) i det området der f(x)>g(x)?
Tips
Her må vi finne ein andregradsfunksjon der grafen krummar den andre vegen enn i den førre oppgåva. Då må det tredje punktet vi treng (vi kallar det D) for å få gjort regresjonen, liggje ein heilt annan stad enn punkt C, men kvar?
Vis løysingsforslag
Vi får dette til ved å plassere eit tredje punkt D slik at det kjem til høgre for A og B (og motsett dersom du plasserte punkt C til høgre for A og B til å byrje med). Regresjonskommandoen her blir g_2(x) = RegPoly({A, B, D}, 2).
Med valet vårt av punkt D får vi funksjonen
g2x=-0,75x2+6x-6
f) Kor mange moglege rette linjer kan vi lage i oppgåve a)? Kor mange moglege andregradsfunksjonar kan vi lage der grafane går gjennom punkta A og B?
Vis løysingsforslag
Ei rett linje er eintydig bestemd av to punkt på linja. Altså finst det berre éin mogleg funksjon her. For andregradsfunksjonen finst det uendeleg mange løysingar sidan vi kan velje det tredje punktet (nesten) kvar som helst.
g) Flytt på punkt C med musepeikaren og observer korleis grafen til andregradsfunksjonen g endrar seg. Prøv å lage reglar for kvar C må vere for at g skal ha eit botnpunkt og reglar for at g skal ha eit toppunkt. Er det nokon stader punkt C ikkje kan vere uansett (i tillegg til at C ikkje kan samanfalle med A eller B)?
Delvis løysing
I tillegg til at C ikkje kan samanfalle med A eller B, kan heller ikkje C ha den same x-koordinaten som A eller B. (Kva er grunnen?)
h) Kan du lage ei grafisk framstilling som viser kva område i koordinatsystemet punktet C kan liggje i?
i) Kan du finne ein tredjegradsfunksjon der grafen går gjennom dei to punkta? Kva med ein fjerdegradsfunksjon?
Delvis løysing
For kvar grad høgare funksjonen blir, treng vi eit ekstra punkt til regresjonskommandoen. Vi treng eitt meir punkt enn graden på polynomfunksjonen, og når desse punkta kan veljast fritt, får vi uendeleg mange tredje- og fjerdegradsfunksjonar som går gjennom dei to punkta A og B.