Fag

Fagstoff

Video

Løysing av enkle trigonometriske likningar

Når vi løyser trigonometriske likningar, må vi passe godt på kva intervall løysingane skal vere innanfor.

Enkle sinuslikningar

Dersom du har vore gjennom oppgåve 2.1.31 på sida "Eksakte trigonometriske verdiar", har du allereie løyst trigonometriske likningar. I oppgåva blir du beden om å finne kva vinkel i første kvadrant som har sinusverdi lik $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ .

Korleis kan du setje opp denne oppgåva som ei likning?

Svar

$\sin v = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Kva blir løysinga av likninga?

Svar

Sidan oppgåva spør etter ein vinkel i første kvadrant og høgresida er ein av dei eksakte trigonometriske verdiane, blir løysinga

$v = \frac{π}{3}$

Kva løysingar har likninga i første omløp? Bruk figuren til hjelp.

Einingssirkel med supplementvinklane v og u. Sinus til v og sinus til u er markerte på figuren. Sinus til v er y-koordinaten til skjeringspunktet mellom høgre vinkelbein til vinkel v og einingssirkelen. Det er tilsvarande for sinus til vinkel u. Illustrasjon. — Einingssirkel med supplementvinklane u og v

Svar

Første omløp betyr at $v \in [0, 2 π 〉$ . Vi får i tillegg supplementvinkelen $u$ til løysinga i første kvadrant. Løysinga blir

$v = \frac{π}{3} \lor v = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$

Dette kan vi òg skrive på mengdeform som

$L = \{\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}\}$

Kva blir løysinga dersom $v \in ℝ$ ?

Svar

Likninga har då uendeleg mange løysingar: to vinklar i kvart omløp, der vinklane er samanfallande med vinklane i første omløp. Til dømes vil vinkelen $\frac{7 π}{3} (= 420 °)$ i andre omløp falle saman med vinkelen $\frac{π}{3}$ og vere ei løysing, sjå figuren nedanfor.

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. Ein vinkel på 7 pi tredjedelar er markert i sirkelen. Illustrasjon. — Vinkelen 7pi tredjedelar eller 420 gradar

Vi skriv løysinga ved hjelp av dei to løysingane vi har i første omløp og det heile talet $k$ på same måte som vi skriv opp ekstremal- og nullpunkta til sinusfunksjonen på sida "Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen". Vi får

$v = \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \lor v = \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π$

der $k \in ℤ$ (mengda av dei heile tala). Alternativt kan vi skrive løysinga som

$L = \{\frac{π}{3} + k \cdot 2 π, \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π\}$

Vi ser at det er viktig å sjå på i kva område vi skal leite etter løysingar av trigonometriske likningar. Likninga $\sin v = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ har i utgangspunktet uendeleg mange løysingar, to for kvart omløp, sidan sinusfunksjonen er periodisk. Dersom det ikkje er gitt noko løysingsområde for $v$ , må vi gå ut ifrå at løysingsområdet er alle reelle tal, $v \in ℝ$ .

Løysing med CAS i GeoGebra

Prøv å løyse likninga $\sin x = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ med CAS i GeoGebra. Kva får du?

Resultat

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive sin parentes x parentes slutt er lik ei halv rot 3. Svaret med "Løys" er x er lik 2 k 1 pi pluss 1 tredjedels pi eller x er lik 2 k 1 pi pluss 2 tredjedels pi. Skjermutklipp.

Her har vi brukt $x$ som variabel. Vi ser at GeoGebra automatisk går ut frå at $x \in ℝ$ når vi ikkje spesifiserer noko område for $x$ .

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive sin parentes x parentes slutt er lik ei halv rot 3 komma, 0 mindre eller lik x mindre enn 2 pi. Svaret med "Løys" er x er lik ein tredjedels pi eller x er lik to tredjedels pi. Skjermutklipp.

Vi kan i GeoGebra skrive det aktuelle løysingsområdet for $x$ med ein ulikskap skild frå likninga med eit komma. På biletet har vi gitt at $x$ skal vere i første omløp.

Kva skriv vi dersom vi berre vil ha løysingar i andre omløp?

Svar

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive sin parentes x parentes slutt er lik ei halv rot 3 komma, 2 pi mindre eller lik x mindre enn 4 pi. Svaret med "Løys" er x er lik 7 tredjedels pi eller x er lik 8 tredjedels pi. Skjermutklipp.

Kva skriv vi dersom vi vil ha løysingar i første omløp i gradar i staden for radianar?

Svar

Vi må setje eit gradsymbol etter $x$ i likninga, og vi må hugse å gi løysingsområdet i gradar.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive sin parentes x gradar parentes slutt er lik ei halv rot 3 komma, 0 mindre eller lik x mindre enn 360. Svaret med "Løys" er x er lik 60 eller x er lik 120. Skjermutklipp.

Hugs at gradsymbolet betyr at $x$ blir rekna om til radianar ved å multiplisere med brøken $\frac{π}{180}$ . Sjå oppgåve 2.1.34 på oppgåvesida "Radianar – absolutte vinkelmål".

Kva med cosinus og tangens?

Korleis trur du framgangsmåten blir dersom du skal løyse likninga $\cos x = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ samanlikna med korleis du løyser likninga $\sin x = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ ?

Forklaring

Framgangsmåtane for å løyse dei to likningane er nokså like. Du kan sjå eit døme på løysing av ei cosinuslikning i videoen nedst på sida. På oppgåvesida om enkle trigonometriske likningar får du likninga $\cos x = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ som ei av oppgåvene.

Ei tilsvarande oppgåve med $\tan x$ vil òg få tilsvarande framgangsmåte for løysinga.

Når vinkelen er $2 x$

Vi skal løyse likninga

$\sin 2 x = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Vi løyser likninga ved å setje $u = 2 x$ . Då får vi

$\sin u = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Løysinga på denne har vi lenger opp på sida. Vi får

$u = \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \lor u = \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π$

der $k \in ℤ$ . No kan vi erstatte $u$ med $2 x$ . Resultatet blir

$2 x = \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \lor 2 x = \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π$

Merk at dette resultatet kan vi setje opp direkte utan å gå vegen om $u$ . Det er argumentet til sinusfunksjonen (her: $2 x$ ) som blir ståande på venstresida i uttrykka for løysinga.

Kva manglar no for at vi skal kunne skrive opp løysinga, og kva må vi gjere?

Forklaring

Vi må gå frå $2 x$ til $x$ . Det gjer vi som vanleg i likningar ved å dele på $2$ i alle ledda.

Vi ser på den første løysinga og deler på $2$ i begge ledda på høgre side.

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \\ x & = & \frac{π}{6} + k \cdot π \end{array}$

Ikkje gløym å dele leddet $k \cdot 2 π$ på $2$ . Vi får tilsvarande i den andre løysinga:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π \\ x & = & \frac{π}{3} + k \cdot π \end{array}$

Løysingsmengda blir derfor

$L = \{\frac{π}{6} + k \cdot π, \frac{π}{3} + k \cdot π\}$

Vi får den same løysinga med CAS i GeoGebra:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive sin parentes 2 x parentes slutt er lik ei halv rot 3. Svaret med "Løys" er x er lik k 1 pi pluss 1 sjettedels pi eller x er lik k 1 pi pluss 1 tredjedels pi. Skjermutklipp.

Vi går no ut frå at vi skal løyse likninga med vilkåret $x \in [0, 2 π 〉$ . Forklar kvifor det blir fleire enn to løysingar.

Forklaring

Ut ifrå løysinga når $x \in ℝ$ får vi løysingar i første omløp både når $k = 0$ og når $k = 1$ sidan vi no har leddet $k \cdot π$ i løysinga i staden for $k \cdot 2 π$ .

Den første løysinga gir

$x = \frac{π}{6}$ når $k = 0$
$x = \frac{π}{6} + π = \frac{7 π}{6}$ når $k = 1$

Den andre løysinga gir

$x = \frac{π}{3}$ når $k = 0$
$x = \frac{π}{3} + π = \frac{4 π}{3}$ når $k = 1$

Løysingsmengda blir

$L = \{\frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{7 π}{6}, \frac{4 π}{3}\}$

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive sin parentes 2 x parentes slutt er lik ei halv rot 3 komma, 0 mindre eller lik x mindre enn 2 pi. Svaret med "Løys" er x er lik 1 sjettedels pi eller x er lik 1 tredjedels pi eller x er lik 7 sjettedels pi eller x er lik 4 tredjedels pi. Skjermutklipp.

Når vinkelen er $2 x + \frac{π}{3}$

Vi skal løyse likninga

$\sin (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Sidan argumentet til sinusfunksjonen er $2 x - \frac{π}{3}$ , får vi

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \lor 2 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π$

Kva må vi gjere her for å ende opp med berre $x$ på venstre side av løysingane?

Forklaring

Før vi deler med 2, flyttar vi over brøken $\frac{π}{3}$ til høgre side.

Vi får

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \frac{π}{3} + k \cdot 2 π - \frac{π}{3} \\ = & k \cdot 2 π \\ x & = & k \cdot π \end{array}$

der $k \in ℤ$ og

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \frac{2 π}{3} + k \cdot 2 π - \frac{π}{3} \\ = & \frac{π}{3} + k \cdot 2 π \\ x & = & \frac{π}{6} + k \cdot π \end{array}$

og løysingsmengda blir

$L = \{k \cdot π, \frac{π}{6} + k \cdot π\}$

Dersom området for $x$ er avgrensa, testar vi på vanleg måte kva $k$ -verdiar som gir løysingar innanfor området.

Film om løysing av likning med sinus

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om løysing av likning med cosinus

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0