Oppgave

Potensar

Jobb med oppgåver med potensar. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Lag ein potens med

a) grunntal $2$ og eksponent $3$

Løysing

$2^{3}$

b) grunntal $10$ og eksponent $2$

Løysing

$10^{2}$

c) grunntal $5$ og eksponent $3$

Løysing

$5^{3}$

d) grunntal $3$ og eksponent $-2$

Løysing

$3^{- 2}$

Oppgåve 2

Rekn ut potensane.

a) $4^{3}$

Løysing

$4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

b) $2^{5}$

Vis fasit

$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

c) $10^{4}$

Løysing

$10^{4} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10 000$

d) $3^{3}$

Løysing

$3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Oppgåve 3

Skriv som potens.

a) $36$

Løysing

$36 = 6 \cdot 6 = 6^{2}$

b) 64

Løysing

$64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{6}$

eller

$64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{3}$

c) 81

Løysing

$81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{4}$

eller

$81 = 9 \cdot 9 = 9^{2}$

d) $125$

Løysing

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}$

Oppgåve 4

Bruk potensreglane og rekn ut.

a) $4^{2} \cdot 4^{5}$

Løysing

$4^{2} \cdot 4^{5} = 4^{2 + 5} = 4^{7}$

b) $3^{4} \cdot 3$

Løysing

$3^{4} \cdot 3 = 3^{4} \cdot 3^{1} = 3^{4 + 1} = 3^{5}$

c) $\frac{3^{6}}{3^{3}}$

Løysing

$\frac{3^{6}}{3^{3}} = 3^{6 - 3} = 3^{3}$

d) $3^{2} \cdot 2^{2}$

Løysing

$3^{2} \cdot 2^{2} = 9 \cdot 4 = 36$

eller

$3^{2} \cdot 2^{2} = {(3 \cdot 2)}^{2} = 6^{2} = 6 \cdot 6 = 36$

e) $\frac{4^{2}}{4^{3}}$

Løysing

$\frac{4^{2}}{4^{3}} = 4^{2 - 3} = 4^{- 1} = \frac{1}{4}$

f) ${(3^{2})}^{2}$

Løysing

$(3^{2})^{2} = 3^{2 \cdot 2} = 3^{4}$

eller

${(3^{2})}^{2} = (9)^{2} = 81$

g) ${(\frac{4^{2}}{2^{3}})}^{2}$

Løysing

${(\frac{4^{2}}{2^{3}})}^{2} = \frac{4^{2 \cdot 2}}{2^{3 \cdot 2}} = \frac{4^{4}}{2^{6}}$

eller

$\begin{array}{rcl} {(\frac{4^{2}}{2^{3}})}^{2} & = & \frac{4^{2 \cdot 2}}{2^{3 \cdot 2}} = \frac{4^{4}}{2^{6}} = \frac{(2^{2})^{4}}{2^{6}} \\ = & \frac{2^{2 \cdot 4}}{2^{6}} = 2^{8 - 6} = 2^{2} = 4 \end{array}$

h) $\frac{2^{4} \cdot 5^{2}}{10^{3}}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{2^{4} \cdot 5^{2}}{10^{3}} & = & \frac{2^{4} \cdot 5^{2}}{(2 \cdot 5)^{3}} = \frac{2^{4} \cdot 5^{2}}{2^{3} \cdot 5^{3}} \\ = & 2^{4 - 3} \cdot 5^{2 - 3} = 2 \cdot 5^{- 1} = \frac{2}{5} \end{array}$

Oppgåve 5

Skriv tala som potensar med 10 som grunntal.

a) $100$

b) $10 000$

c) $0,1$

Løysing

a) $100 = 10^{2}$

b) $10000 = 10^{4}$

c) $0,1 = 10^{- 1}$

Skriv tala som potensar med 2 som grunntal.

d) $8$

e) $32$

f) $\frac{1}{16}$

Løysing

d) $8 = 2^{3}$

e) $32 = 2^{5}$

f) $\frac{1}{2^{4}} = 2^{- 4}$

Skriv tala som potensar med 3 som grunntal.

g) $9$

h) $27$

i) $\frac{1}{27}$

Løysing

g) $9 = 3^{2}$

h) $27 = 3^{3}$

i) $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^{3}}$

Skriv tala som potensar med 5 som grunntal.

j) $25$

k) $\frac{5}{25}$

Løysing

j) $25 = 5^{2}$

$\begin{array}{rcl} k) \frac{5}{25} & = & \frac{5^{1}}{5^{2}} \\ = & 5^{1 - 2} \\ = & 5^{- 1} \end{array}$

Oppgåve 6

Gjer om til eit uttrykk med berre éin potens.

a) $2^{3} \cdot 4^{2}$

b) $3^{2} \cdot 9^{6}$

c) $2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12}$

d) $3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9}$

Løysing

a) $2^{3} \cdot 4^{2} = 2^{3} \cdot (2^{2})^{2} = 2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{3 + 4} = 2^{7}$

b) $3^{2} \cdot 9^{6} = 3^{2} \cdot (3^{2})^{6} = 3^{2} \cdot 3^{2 \cdot 6} = 3^{2 + 12} = 3^{14}$

$\begin{array}{rcl} 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} & + & 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} \\ = & 8 \cdot 2^{12} \\ = & 2^{3} \cdot 2^{12} \\ = & 2^{3 + 12} \\ = & 2^{15} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} & + & 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} \\ = & 9 \cdot 3^{9} \\ = & 3^{2 \cdot} 3^{9} \\ = & 3^{2 + 9} \\ = & 3^{11} \end{array}$

Oppgåve 7

Rekn ut, og sorter tala i stigande rekkjefølgje frå minste verdi til største verdi.

a) $125^{0} {(2^{2})}^{2} \frac{6}{3^{2}} 4^{- 2} 3^{3} \cdot 3^{- 2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 4^{- 2} & = & \frac{1}{4^{2}} \\ = & \frac{1}{16} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{6}{3^{2}} & = & \frac{6}{9} \\ = & \frac{2}{3} \end{array}$

$125^{0} = 1$

$\begin{array}{rcl} 3^{3} \cdot 3^{- 2} & = & 3^{3 - 2} \\ = & 3 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} {(2^{2})}^{2} & = & 4^{2} \\ = & 16 \end{array}$

b) $\frac{1}{10^{3}} 0, 01 2^{- 2} \frac{3^{- 2}}{3^{- 3}} \frac{1000}{(10^{2})^{2}}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{10^{3}} & = & \frac{1}{1000} \\ = & 0, 001 \end{array}$

0,01

$\begin{array}{rcl} \frac{1000}{{(10^{2})}^{2}} & = & \frac{1000}{10000} \\ = & \frac{1}{10} \\ = & 0, 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2^{- 2} & = & \frac{1}{2^{2}} \\ = & \frac{1}{4} \\ = & 0, 25 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{3^{- 2}}{3^{- 3}} & = & 3^{- 2 - (- 3)} \\ = & 3^{1} \\ = & 3 \end{array}$

c) $(2^{- 2})^{- 1} \frac{1}{9} {(\frac{12}{3})}^{0} \sqrt{\frac{10^{5}}{10^{3}}} \frac{3^{- 3}}{3^{- 2}}$

Løysing

$\frac{1}{9} \approx 0, 11$

$\begin{array}{rcl} \frac{3^{- 3}}{3^{- 2}} & = & 3^{- 3 - (- 2)} \\ = & 3^{- 1} \\ = & \frac{1}{3} \\ \approx & 0, 33 \end{array}$

${(\frac{12}{3})}^{0} = 1$

$\begin{array}{rcl} {(2^{- 2})}^{- 1} & = & 2^{(- 2) \cdot (- 1)} \\ = & 2^{2} \\ = & 4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{\frac{10^{5}}{10^{3}}} & = & \sqrt{10^{5 - 3}} \\ = & \sqrt{10^{2}} \\ = & 10 \end{array}$

Oppgåve 8

Rekn ut og skriv svara enklast mogleg.

a) $\frac{a^{6} \cdot 4^{3} \cdot 16}{2^{4} \cdot a^{3}}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{6} \cdot 4^{3} \cdot 16}{2^{4} \cdot a^{3}} & = & \frac{a^{6 - 3} \cdot (2^{2})^{3} \cdot 2^{4}}{2^{4}} \\ = & a^{3} \cdot 2^{6 + 4 - 4} \\ = & a^{3} \cdot 2^{6} \\ = & 64 a^{3} \end{array}$

b) $\frac{(15)^{3} \cdot (27)^{- 2}}{(3^{- 2})^{2} \cdot (5)^{2}}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{(15)^{3} \cdot (27)^{- 2}}{(3^{- 2})^{2} \cdot (5)^{2}} & = & \frac{(3 \cdot 5)^{3} \cdot (3^{3})^{- 2}}{3^{- 2 \cdot 2} \cdot 5^{2}} \\ = & \frac{3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 3^{- 6}}{3^{- 4} \cdot 5^{2}} \\ = & 3^{3 - 6 + 4} \cdot 5^{3 - 2} \\ = & 3 \cdot 5 = 15 \end{array}$

$= 3^{3 - 6 + 4} \cdot 5^{3 - 2} = 3 \cdot 5 = 15$

c) $\frac{(3 a)^{- 2} \cdot 36 b}{3 b \cdot 2^{3} \cdot 3^{3} a}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{(3 a)^{- 2} \cdot 36 b}{3 b \cdot 2^{3} \cdot 3^{3} a} & = & \frac{3^{- 2} a^{- 2} \cdot (2 \cdot 3)^{2} \cdot b}{b \cdot 2^{3} \cdot 3^{4} \cdot a} \\ = & \frac{3^{- 2} \cdot a^{- 2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot b \cdot b^{- 1} \cdot 2^{- 3} \cdot 3^{- 4} \cdot a^{- 1}}{1} \\ = & 3^{- 2 + 2 - 4} \cdot 2^{2 - 3} \cdot a^{- 2 - 1} \cdot b^{1 - 1} \\ = & 3^{- 4} \cdot 2^{- 1} \cdot a^{- 3} \cdot 1 \\ = & \frac{1}{3^{4} \cdot 2 \cdot a^{3}} \end{array}$

d) $\frac{45 a^{2} \cdot (5^{- 2})^{3}}{125 a \cdot (\frac{1}{5^{- 2}})^{- 3}}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{45 a^{2} \cdot (5^{- 2})^{3}}{125 a \cdot {(\frac{1}{5^{- 2}})}^{- 3}} & = & \frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot a^{2} \cdot (5^{- 2 \cdot 3})}{5^{3} \cdot a \cdot {(5^{2})}^{- 3}} \\ = & \frac{3^{2} \cdot 5 \cdot a^{2} \cdot 5^{- 6}}{5^{3} \cdot a \cdot 5^{- 6}} \\ = & 3^{2} \cdot 5^{1 - 3} \cdot a^{2 - 1} \\ = & \frac{3^{2} a}{5^{2}} \end{array}$

Oppgåve 9

a) Lag eit program som tek imot eit uttrykk på forma $a \cdot a \cdot a \cdot . . . \cdot a$ frå brukaren og skriv det som ein potens på forma $a^p$ .

Løysingsforslag

Python

1#Dette programmet skriv eit uttrykk på forma a*a*a*a....*a som ein potens.
2uttrykk = input("Skriv inn uttrykket ditt:")
3
4
5grunntal = uttrykk[0]  #plukkar ut det første talet brukaren skriv inn
6
7eksponent = 0          #lagar ein variabel for å telje talet på faktorar 
8
9for i in range(len(uttrykk)):        #ei lykkje som går gjennom heile uttrykket
10    if uttrykk[i] == grunntal:       #og tel talet på faktorar
11        eksponent = eksponent + 1    #aukar eksponenten for kvar gong grunntal finst
12 
13print(f"{grunntal}^{eksponent}")      #skriv ut potensen
14

b) Utvid programmet så det kan ta imot eit uttrykk med to ulike grunntal.

Løysingsforslag

Python

1#Dette programmet skriv eit uttrykk på forma a*a*a*a*...*b*b*b som ein potens.
2print("Du har eit uttrykk som skal skrivast ut som a^p * b^q.")
3string = input("Skriv uttrykket på forma a*a*a*...*b*b*b:")
4
5grunntal1 = string[0]
6grunntal2 = string[-1]
7eksponent1 = 0
8eksponent2 = 0
9#lagar variablar for grunntala og eksponentane
10for i in range(len(string)):
11    if string[i] == grunntal1:
12        eksponent1 = eksponent1 + 1
13    if string[i] == grunntal2:
14        eksponent2 = eksponent2+1
15#tel opp kor mange som finst av kvart grunntal 
16print(f"{grunntal1}^{eksponent1}*{grunntal2}^{eksponent2}")
17#skriv ut svaret

c) Lag eit program som kan sortere potensuttrykk med fleire enn to ulike grunntal.

Løysingsforslag

Python

1streng = input("Skriv inn gongestykket du vil ha som potens. Bruk * som gongeteikn.")
2#hentar inn uttrykket
3grunntal = []
4#lagar ei liste for alle grunntala
5for i in range(len(streng)):
6    if streng[i] not in grunntal:
7        grunntal.append(streng[i])
8#går gjennom heile reknestykket og hentar ut alle unike teikn
9grunntal.remove('*')
10#fjernar gongeteiknet
11
12eksponent = [0]*len(grunntal)
13#lagar ei tom liste for eksponentane med lik lengde som lista for grunntal
14
15for i in range(len(streng)):
16    for t in range(len(grunntal)):
17        if streng[i] == grunntal[t]:
18            eksponent[t] = eksponent[t]+1
19#tel opp talet på kvart grunntal
20svar = "Potensen er "
21#lagar ein variabel for svaret
22
23for i in range(len(grunntal)-1):
24    svar = svar + str(grunntal[i]) + "^" + str(eksponent[i])+"*"
25#legg til alle potensane utanom den siste med eit gongeteikn imellom  
26svar = svar + str(grunntal[-1]) + "^" + str(eksponent[-1])
27#legg til den siste potensen
28print(svar)   
29#skriv svaret til skjermen

d) Lag eit program der brukaren kan skrive inn ein potens og få rekna ut svaret – ein liten potenskalkulator.

Oppgåve 10

Kva kan du om potensar?

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Potensar(DOCX)
Potensar(PDF)

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Oppgåve 6

Oppgåve 7

Oppgåve 8

Oppgåve 9

Oppgåve 10

Nedlastbare filer

Reglar for bruk av teksten "Potensar"