Gjennom desse oppgåvene er målet at du skal forstå samanhengen mellom omdreiingstal, utveksling og fart betre.
Oppgåve 1
I ein bil med dieselmotor er omdreiingstalet etter girkassen 1 400 omdr/min når omdreiingstalet til motoren er 2 000 omdr/min når bilen står i andre gir.
a) Kor stor er utvekslinga i girkassen?
b) Kva blir omdreiingstalet etter girkassen dersom omdreiingstalet til motoren er 2 500 omdr/min?
c) Vi skal lage denne utvekslinga med to tannhjul. Kor mange tenner må det drivne tannhjulet ha dersom det drivande tannhjulet har 14 tenner?
d) Foreslå to andre kombinasjonar av tannhjul som gir den same utvekslinga.
Løysing oppgåve a)
I formelen må vi ha at sidan den drivande sida har dette omdreiingstalet. Utvekslinga er
(Her har vi vist korleis vi kan forkorte ned brøken , men vi må ikkje gjere det for å rekne ut svaret.)
For å få mest mogleg eksakt svar bruker vi heller brøken frå oppgåve a) som mål på utvekslinga. Då får vi
Her fekk vi eit fint og eksakt tal som svar. Legg òg merke til at vi fekk bruk for regelen om at når vi deler på ein brøk, er det det same som å multiplisere med den omsnudde brøken.
Løysing oppgåve c)
Vi kan uttrykkje utvekslinga som
Det betyr at vi har at . Dersom vi snur på formelen, får vi
Dersom vi reknar ut svaret med å bruke at , får vi eit desimaltal til svar, og eit tannhjul må ha eit heilt tal tenner.
Går det an å finne svaret direkte ved å sjå på opplysningane øvst i oppgåva?
Tips til oppgåve d)
Vi har at utvekslinga , og vi har frå den førre oppgåva at kombinasjonen av tannhjul med 20 og 14 tenner gir den same utvekslinga. Vi såg i oppgåve a) at brøken kunne forkortast ned til . Det må bety at ei utveksling med tannhjul med 10 og 7 tenner òg gir den same utvekslinga.
Teljaren i brøkane vil stå for mengde tenner på det drivne tannhjulet, og nemnaren vil stå for talet på tenner i det drivande tannhjulet. Dersom du kan finne andre brøkar som har den same verdien, har du samtidig nye kombinasjonar av tannhjul som gir den same utvekslinga.
Det må du finne sjølv!
Oppgåve 2
a) Kor stor er utvekslinga dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivande tannhjulet?
b) Kor stor er utvekslinga dersom tannhjulet til høgre på figuren er det drivande tannhjulet?
c) Kva får vi dersom vi multipliserer svaret i a) med svaret i b)? Kvifor blir det alltid slik uansett mengde tenner på tannhjula?
d) Utfordring: Vis at det alltid blir slik dersom tannhjulet til venstre har tenner mens tannhjulet til høgre har tenner.
Løysing oppgåve a)
a) Tannhjulet til venstre har 14 tenner, det til høgre har 28 tenner. I formelen får vi at sidan dette tannhjulet er drivande. Utvekslinga blir
Løysing oppgåve b)
b) Her blir det motsett av i oppgåve a). Då får vi at
Løysing oppgåve c)
Dersom vi multipliserer svara i a) og b), får vi
Det vil alltid bli slik fordi vi reknar ut svaret i b) ved å snu på brøken i forhold til utrekninga i a).
Løysing oppgåve d)
Vi får utvekslinga den eine vegen og den andre vegen. Dersom vi multipliserer desse brøkane, får vi
Oppgåve 3
a) Kor stor er utvekslinga dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivande tannhjulet?
b) Kor stor er utvekslinga dersom tannhjulet til høgre på figuren er det drivande tannhjulet?
Fasit oppgåve a)
Fasit oppgåve b)
Oppgåve 4
a) Kor stor er utvekslinga dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivande tannhjulet?
b) Kor stor er utvekslinga dersom tannhjulet til høgre på figuren er det drivande tannhjulet?
Fasit oppgåve a)
Fasit oppgåve b)
Oppgåve 5
a) Kor stor er den totale utvekslinga dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivande tannhjulet?
b) Kor stor er den totale utvekslinga dersom tannhjulet til høgre på figuren er det drivande tannhjulet?
c) Lag ein formel for den totale utvekslinga dersom det første tannhjulet (det drivande tannhjulet) har tenner, det andre har tenner, og det tredje tannhjulet har tenner. Kva betyr resultatet?
Løysing oppgåve a)
Tannhjula har 14, 28 og 42 tenner. Utvekslinga mellom det første og det andre tannhjulet blir
Utvekslinga .
Den totale utvekslinga får vi ved å multiplisere desse to utvekslingane.
Løysing oppgåve b)
Her kan vi bruke resultatet frå oppgåve 2 c), som seier at dersom vi multipliserer utvekslinga frå den eine sida til den andre med utvekslinga når vi går motsett veg, får vi alltid resultatet 1. Det betyr at
Løysing oppgåve c)
Dersom vi samanliknar med løysinga i oppgåve a), får vi
og
Den totale utvekslinga blir
Talet på tenner på tannhjulet i midten er ikkje med i formelen. Formelen er uavhengig av storleiken på tannhjulet i midten. Det betyr at vi får den same totale utvekslinga uansett storleik på dette tannhjulet. Vi får òg den same totale utvekslinga om vi koplar det første tannhjulet direkte på det tredje og ikkje har noko tannhjul i midten.
Kva er då poenget med å setje inn eit tannhjul i midten?
Oppgåve 6
Thomas ønskjer å lage ei utveksling som reduserer omdreiingstalet frå 3 000 til 2 000.
a) Kor stor skal denne utvekslinga vere?
b) Kor mange tenner skal det drivne tannhjulet ha dersom det drivande tannhjulet har 24 tenner og utvekslinga er som i oppgåve a)?
c) Forklar kvifor det er mogleg å lage denne utvekslinga på to måtar dersom det eine tannhjulet har 24 tenner.
d) Forklar kvifor det ikkje er mogleg å lage denne utvekslinga dersom det eine tannhjulet har 25 tenner.
Løysing oppgåve a)
Utvekslinga er
Løysing oppgåve b)
Vi har at . Vi snur på formelen og får at talet på tenner på det drivne tannhjulet blir
Løysing oppgåve c)
Tannhjulet med 24 tenner kan både vere det drivande og det drivne tannhjulet. I oppgåve b) er det det drivande tannhjulet. Dersom tannhjulet er det drivne tannhjulet, får vi at talet på tenner på det drivande tannhjulet blir
Tips til oppgåve d)
Gjennomfør utrekningane i oppgåve b) og c), og forklar kva svara betyr.
Oppgåve 7
a) Kva er den teoretiske toppfarten på ein sportsbil avhengig av?
b) Vi har desse dataa om sportsbilen:
Det maksimale motorturtalet til bilen er 8 200 omdr/min.
Utvekslinga til girkassen på det høgaste giret er 0,78.
Sportsbilen er bakhjulsdriven, og utvekslinga til bakakselen er 3,33.
Dekkdimensjonen er 205/60-13, som har ein rulleomkrins på 176 cm.
Kva er den teoretiske toppfarten på bilen? Bruk gjerne formelen nedanfor.
Løysing
Du synest kanskje den teoretiske toppfarten var unødig høg på denne bilen? Det kan jo vere kjekt med ei låg utveksling for å få eit behageleg lågt turtal og drivstofforbruk på ein motorveg, men om bilen skal brukast på ein bane, er det kanskje fornuftig å setje inn ei høgare utveksling i girkassen og/eller bakakselen.
Kvifor vil (mest sannsynleg) bilen ikkje gå så fort uansett?
c) Bruk formelen og forklar kva som skjer med farten til bilen og kvifor når du
aukar omdreiingstalet til motoren
aukar omkrinsen til drivhjula
aukar utvekslinga
Oppgåve 8
Ein bil med manuelt gir køyrer i tredje gir, som har ei utveksling på 1,28. Utvekslinga på bakakselen som drivhjula sit på, er 4,125, og rulleomkrinsen på hjula er 1 688 mm. Omdreiningstallet er 4 000 omdr/min.
a) Kor fort køyrar bilen?
b) Du girar opp til fjerde gir. I fjerde gir er utvekslinga 1. Kva blir då omdreiingstalet på motoren rett etter at giringa er gjord?
c) Lag ei grafisk framstilling som viser samanhengen mellom omdreiingstalet til motoren og farten til bilen når bilen køyrer i tredje gir og i fjerde gir. Bruk det same koordinatsystemet.
d) Bruk den grafiske framstillinga til å finne ut kva omdreiingstalet til motoren er når bilen køyrer i 50 km/h i tredje gir. Kontroller svaret ved å rekne ut med formelen.
Løysing oppgåve a)
Farten til bilen er 77 km/h. Dette kan òg reknast med CAS:
Løysing oppgåve b)
Rett etter giringa har bilen framleis den same farten. Då kan vi setje opp ei likning som vi kan løyse med CAS.
Omdreiingstalet til motoren blir 3 125 omdr/min rett etter giring.
Tips til oppgåve c)
Dei grafiske framstillingane blir laga i eit koordinatsystem der omdreiingstalet til motoren er på -aksen, og der farten til bilen er på -aksen. Teikn helst for hand, eller bruk GeoGebra eller eit rekneark.
Lag ein verditabell med minst 3 samhøyrande verdiar av og , éin verditabell for tredje gir og éin verditabell for fjerde gir. Nedanfor har vi byrja å fylle ut verditabellen for tredje gir med tal vi veit frå oppgåve a).
Verditabell for tredje gir:
Omdreiingstal, n (omdr/min)
Fart, v (km/h)
4 000
77
3 000
2 000
Fasit oppgåve d)
2 686 omdr/min
Oppgåve 9
Vis at når farten skal reknast om frå km/h til m/s, må vi dele med 3,6.
Tips til oppgåva
Bruk at
Løysing
Vi seier at farten er . Så bruker vi informasjonen frå boksen "Tips til oppgåva".
Vi kan òg vise dette med CAS i GeoGebra.
Legg merke til at GeoGebra vel å setje "km" framom brøken i staden for "v". Det er fordi GeoGebra ikkje veit kva som er ein storleik, og kva som er ei måleining av dei tre "konstantane" i utrekninga: v, km og h.
Svaret betyr altså at vi må multiplisere farten , som blir målt i m/s, med talet 3,6 for å få han rekna om til km/h.
