Gjennom disse oppgavene er målet at du skal forstå sammenhengen mellom omdreiningstall, utveksling og hastighet bedre.
Oppgave 1
I en bil med dieselmotor er omdreiningstallet etter girkassen 1 400 omdr/min når omdreiningstallet til motoren er 2 000 omdr/min når bilen står i andre gir.
a) Hvor stor er utvekslingen i girkassen?
b) Hva blir omdreiningstallet etter girkassen dersom omdreiningstallet til motoren er 2 500 omdr/min?
c) Vi skal lage denne utvekslingen med to tannhjul. Hvor mange tenner må det drevne tannhjulet ha dersom det drivende tannhjulet har 14 tenner?
d) Foreslå to andre kombinasjoner av tannhjul som gir den samme utvekslingen.
Løsning oppgave a)
I formelen må vi ha at siden den drivende sida har dette omdreiningstallet. Utvekslingen er
(Her har vi vist hvordan vi kan forkorte ned brøken , men vi må ikke gjøre det for å regne ut svaret.)
For å få mest mulig eksakt svar bruker vi heller brøken fra oppgave a) som mål på utvekslingen. Da får vi
Her fikk vi et pent og eksakt tall som svar. Legg også merke til at vi fikk bruk for regelen om at når vi deler på en brøk, er det det samme som å multiplisere med den omsnudde brøken.
Løsning oppgave c)
Vi kan uttrykke utvekslingen som
Det betyr at vi har at . Hvis vi snur på formelen, får vi
Dersom vi regner ut svaret med å bruke at , får vi et desimaltall til svar, og et tannhjul må ha et helt antall tenner.
Går det an å finne svaret direkte ved å se på opplysningene øverst i oppgaven?
Tips til oppgave d)
Vi har at utvekslingen , og vi har fra den forrige oppgaven at kombinasjonen av tannhjul med 20 og 14 tenner gir den samme utvekslingen. Vi så i oppgave a) at brøken kunne forkortes ned til . Det må bety at en utveksling med tannhjul med 10 og 7 tenner også gir den samme utvekslingen.
Telleren i brøkene vil stå for antall tenner på det drevne tannhjulet, og nevneren vil stå for antall tenner i det drivende tannhjulet. Hvis du kan finne andre brøker som har den samme verdien, har du samtidig nye kombinasjoner av tannhjul som gir den samme utvekslingen.
Det må du finne selv!
Oppgave 2
a) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivende tannhjulet?
b) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til høyre på figuren er det drivende tannhjulet?
c) Hva får vi hvis vi multipliserer svaret i a) med svaret i b)? Hvorfor blir det alltid slik uansett antall tenner på tannhjulene?
d) Utfordring: Vis at det alltid blir slik dersom tannhjulet til venstre har tenner mens tannhjulet til høyre har tenner.
Løsning oppgave a)
a) Tannhjulet til venstre har 14 tenner, det til høyre har 28 tenner. I formelen får vi at siden dette tannhjulet er drivende. Utvekslingen blir
Løsning oppgave b)
b) Her blir det motsatt av i oppgave a). Da får vi at
Løsning oppgave c)
Hvis vi multipliserer svarene i a) og b), får vi
Det vil alltid bli slik fordi vi regner ut svaret i b) ved å snu på brøken i forhold til utregningen i a).
Løsning oppgave d)
Vi får utvekslingen den ene veien og den andre veien. Dersom vi multipliserer disse brøkene, får vi
Oppgave 3
a) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivende tannhjulet?
b) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til høyre på figuren er det drivende tannhjulet?
Fasit oppgave a)
Fasit oppgave b)
Oppgave 4
a) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivende tannhjulet?
b) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til høyre på figuren er det drivende tannhjulet?
Fasit oppgave a)
Fasit oppgave b)
Oppgave 5
a) Hvor stor er den totale utvekslingen dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivende tannhjulet?
b) Hvor stor er den totale utvekslingen dersom tannhjulet til høyre på figuren er det drivende tannhjulet?
c) Lag en formel for den totale utvekslingen dersom det første tannhjulet (det drivende tannhjulet) har tenner, det andre har tenner, og det tredje tannhjulet har tenner. Hva betyr resultatet?
Løsning oppgave a)
Tannhjulene har 14, 28 og 42 tenner. Utvekslingen mellom det første og det andre tannhjulet blir
Utvekslingen .
Den totale utvekslingen får vi ved å multiplisere disse to utvekslingene.
Løsning oppgave b)
Her kan vi bruke resultatet fra oppgave 2 c), som sier at hvis vi multipliserer utvekslingen fra den ene sida til den andre med utvekslingen når vi går motsatt vei, får vi alltid resultatet 1. Det betyr at
Løsning oppgave c)
Hvis vi sammenlikner med løsningen i oppgave a), får vi
og
Den totale utvekslingen blir
Antall tenner på tannhjulet i midten er ikke med i formelen. Formelen er uavhengig av størrelsen på tannhjulet i midten. Det betyr at vi får den samme totale utvekslingen uansett størrelse på dette tannhjulet. Vi får også den samme totale utvekslingen om vi kobler det første tannhjulet direkte på det tredje og ikke har noe tannhjul i midten.
Hva er da poenget med å sette inn et tannhjul i midten?
Oppgave 6
Thomas ønsker å lage en utveksling som reduserer omdreiningstallet fra 3 000 til 2 000.
a) Hvor stor skal denne utvekslingen være?
b) Hvor mange tenner skal det drevne tannhjulet ha dersom det drivende tannhjulet har 24 tenner og utvekslingen er som i oppgave a)?
c) Forklar hvorfor det er mulig å lage denne utvekslingen på to måter dersom det ene tannhjulet har 24 tenner.
d) Forklar hvorfor det ikke er mulig å lage denne utvekslingen dersom det ene tannhjulet har 25 tenner.
Løsning oppgave a)
Utvekslingen er
Løsning oppgave b)
Vi har at . Vi snur på formelen og får at antall tenner på det drevne tannhjulet blir
Løsning oppgave c)
Tannhjulet med 24 tenner kan både være det drivende og det drevne tannhjulet. I oppgave b) er det det drivende tannhjulet. Dersom tannhjulet er det drevne tannhjulet, får vi at antall tenner på det drivende tannhjulet blir
Tips til oppgave d)
Gjennomfør utregningene i oppgave b) og c), og forklar hva svarene betyr.
Oppgave 7
a) Hva er den teoretiske toppfarten på en sportsbil avhengig av?
b) Vi har disse dataene om sportsbilen:
Bilens maksimale motorturtall er 8 200 omdr/min.
Girkassens utveksling på det høyeste giret er 0,78.
Sportsbilen er bakhjulsdrevet, og bakakselens utveksling er 3,33.
Dekkdimensjonen er 205/60-13, som har en rulleomkrets på 176 cm.
Hva er den teoretiske toppfarten på bilen? Bruk gjerne formelen nedenfor.
Løsning
Du synes kanskje den teoretiske toppfarten var unødig høy på denne bilen? Det kan jo være kjekt med en lav utveksling for å få et behagelig lavt turtall og drivstofforbruk på en motorvei, men om bilen skal brukes på en bane, er det kanskje fornuftig å sette inn en høyere utveksling i girkassen og/eller bakakselen.
Hvorfor vil (mest sannsynlig) bilen ikke gå så fort uansett?
c) Bruk formelen og forklar hva som skjer med hastigheten til bilen og hvorfor når du
øker motorens omdreiningstall
øker omkretsen til drivhjulene
øker utvekslingen
Oppgave 8
En bil med manuelt gir kjører i tredje gir, som har en utveksling på 1,28. Utvekslingen på bakakselen som drivhjulene sitter på, er 4,125, og rulleomkretsen på hjulene er 1 688 mm. Omdreiningstallet er 4 000 omdr/min.
a) Hvor fort kjører bilen?
b) Du girer opp til fjerde gir. I fjerde gir er utvekslingen 1. Hva blir da omdreiningstallet på motoren rett etter at giringen er gjort?
c) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom omdreiningstallet til motoren og hastigheten til bilen når bilen kjører i tredje gir og i fjerde gir. Bruk det samme koordinatsystemet.
d) Bruk den grafiske framstillingen til å finne ut hva motorens omdreiningstall er når bilen kjører i 50 km/h i tredje gir. Kontroller svaret ved å regne ut med formelen.
Løsning oppgave a)
Farten til bilen er 77 km/h. Dette kan også regnes med CAS:
Løsning oppgave b)
Rett etter giringen har bilen fortsatt den samme hastigheten. Da kan vi sette opp en likning som vi kan løse med CAS.
Motorens omdreiningstall blir 3 125 omdr/min rett etter giring.
Tips til oppgave c)
De grafiske framstillingene lages i et koordinatsystem der omdreiningstallet til motoren er på -aksen, og der hastigheten til bilen er på -aksen. Tegn helst for hånd, eller bruk GeoGebra eller et regneark.
Lag en verditabell med minst 3 samhørende verdier av og , én verditabell for tredje gir og én verditabell for fjerde gir. Nedenfor har vi begynt å fylle ut verditabellen for tredje gir med tall vi vet fra oppgave a).
Verditabell for tredje gir:
Omdreiningstall, n (omdr/min)
Hastighet, v (km/h)
4 000
77
3 000
2 000
Fasit oppgave d)
2 686 omdr/min
Oppgave 9
Vis at når farten skal regnes om fra km/h til m/s, må vi dele med 3,6.
Tips til oppgaven
Bruk at
Løsning
Vi sier at farten er . Så bruker vi informasjonen fra boksen "Tips til oppgaven".
Vi kan også vise dette med CAS i GeoGebra.
Legg merke til at GeoGebra velger å sette "km" foran brøken i stedet for "v". Det er fordi GeoGebra ikke vet hva som er en størrelse, og hva som er en måleenhet av de tre "konstantene" i utregningen: v, km og h.
Svaret betyr altså at vi må multiplisere hastigheten , som måles i m/s, med tallet 3,6 for å få den regnet om til km/h.
