Ubestemde integral

Derivert og antiderivert

Funksjonen $F\left(x\right)=x^2$ har funksjonen $f\left(x\right)=2x$ som derivert.

Den "motsette" operasjonen går ut på å finne ein funksjon som har $2x$ som derivert. Funksjonen $F\left(x\right)=x^2$ er ein slik funksjon. Det er vanleg å seie at$x^2$er ein antiderivert til$2x$.

Kan du finne fleire funksjonar som har $2x$ som derivert?

Den deriverte til $x^2+3$ er òg lik $2x$. Derfor er $x^2+3$ òg ein antiderivert til $2x$. Dersom $C$ er ein konstant, er alle funksjonar på forma $x^2+C$ ein antiderivert til $2x$.

Det er vanleg å bruke integral i staden for antiderivert.

Omgrep, symbol og definisjonar

Vi seier at $x^2+C$ er det ubestemde integralet til $2x$ fordi $x^2+C$ ikkje er éin bestemd funksjon, men ein heil klasse av funksjonar som har $2x$ som derivert. Konstanten $C$ kallar vi integrasjonskonstanten.

Som symbol for eit ubestemt integral til $f$ bruker vi $\begin{array}{cc}\int f\left(x\right)dx.& \end{array}$Vi les dette som "det ubestemde integralet til $f\left(x\right)$". Symbolet $\begin{array}{cc}\int & \end{array}$(lang S) kallar vi eit integralteikn, og funksjonen $f\left(x\right)$ som skal integrerast, kallar vi integranden. Symbolet $dx$ blir teke med mellom anna for å vise at dei funksjonane $F\left(x\right)$ vi kjem fram til, er funksjonar av variabelen $x$. Det er $x$ som er integrasjonsvariabelen. Du skal òg sjå at dette er ein praktisk skrivemåte i samband med integrasjonsmetodar. Symbolet $dx$ kan lesast som "derivert med omsyn på $x$".

Døme

Vi tek utgangspunkt i eit andregradsuttrykk og påstår at vi har denne samanhengen:

$\int \left(x^2+3x+4\right)dx=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+4x+C$

Korleis kan vi kontrollere om dette er rett?

Kva er integranden i denne samanhengen?

Kvifor står det $C$ i resultatet av integrasjonen?

Kvifor står det $dx$ bak andregradsuttrykket?

Film om ubestemde integral