Oppgave

Integrasjon ved variabelskifte

Her kan du øve på integrasjon med variabelskifte, som òg blir kalla substitusjon.

Oppgåvene på denne sida skal du, når ikkje anna er opplyst, gjere utan digitale hjelpemiddel.

3.2.1

Bestem integrala.

a) $\int {(3 x + 1)}^{2} d x$

Tips

Set $u = 3 x + 1$ .

Løysing

Vi set $u = 3 x + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 3 \\ d x = \frac{d u}{3} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int {(3 x + 1)}^{2} d x & = & \int u^{2} \frac{d u}{3} \\ = & \frac{1}{3} \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{9} {(3 x + 1)}^{3} + C \end{array}$

b) $\int \sqrt{3 - 4 x} d x$

Tips

Set $u = 3 - 4 x$ og bruk regelen for integrasjon av kvadratrot.

Løysing

Vi set $u = 3 - 4 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 4 \\ d x = - \frac{d u}{4} = - \frac{1}{4} d u \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{3 - 4 x} d x & = & \int \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u \\ = & - \frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u \\ = & - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u \\ = & - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ = & - \frac{1}{6} \cdot {(3 - 4 x)}^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

c) $\int \frac{1}{5 x + 2} d x$

Tips

Set $u = 5 x + 2$ .

Løysing

Vi set $u = 5 x + 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 5 \\ d x = \frac{d u}{5} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{5 x + 2} d x & = & \int \frac{1}{u} \frac{d u}{5} \\ = & \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{5} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{5} \ln |5 x + 2| + C \end{array}$

d) $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Tips

Her har vi $x$ i både teljaren og nemnaren.

Kva kan vi velje som $u$ som gjer at vi får forkorta bort det som er igjen av $x$ ?

Løysing

Vi set $u = x^{2} + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x & = & \int \frac{x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{2} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C \end{array}$

Legg merke til at vi fjernar absoluttverditeiknet frå nest siste til siste linje i løysinga. Dette kan vi gjere fordi $(x^{2} + 1)$ alltid vil vere positiv.

e) $\int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x$

Løysing

Vi set $u = \ln x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \\ d x = d u \cdot x \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x & = & \int \frac{{(u)}^{2}}{x} d u \cdot x \\ = & \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{3} {(\ln x)}^{3} + C \end{array}$

f) $\int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x$

Løysing

Vi set $u = x^{2} + 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x & = & \int x \cdot u^{6} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int u^{6} d u \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C \\ = & \frac{1}{14} {(x^{2} + 2)}^{7} + C \end{array}$

3.2.1

Reglar for bruk av teksten "Integrasjon ved variabelskifte"