Integrasjon ved variabelskifte

Når vi integrerer med variabelskifte, bruker vi kjerneregelen for derivasjon "baklengs".

Differensialane $\mathit{d}\mathit{y}$ og $\mathit{d}\mathit{x}$

For å kunne bruke denne metoden innfører vi ein ny skrivemåte for den deriverte, der vi bruker differensialane $dy$ og $dx$.

Gjennomsnittleg vekstfart frå eitt punkt på ein graf til eit anna punkt på grafen, er definert som $\frac{∆y}{∆x}$ der $∆x$ er ei lita endring i $x$-retning som inneber ei endring $∆y$ i $y$-retning.

Den deriverte til ein funksjon $y=f\left(x\right)$ i eit punkt er definert som den verdien den gjennomsnittlege vekstfarten går mot når $∆x$ går mot null:

$y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆y}{∆x}$

Den deriverte til ein funksjon i eit punkt kan ut frå dette definerast som den momentane vekstfarten i punktet, eller stigingstalet til tangenten til grafen i punktet.

Differensialet $dx$ er ut frå dette ei lita endring i $x$-retninga, mens differensialet $dy$til funksjonen$y=f\left(x\right)$er kor mykje stiginga til tangenten i punktet $x$ blir endra med ei lita forandring $∆x$. (Hugs at $∆y$ er tilsvarande endring for funksjonen, mens både den deriverte og funksjonen blir endra i $x$-retning med $dx=∆x$.) Sjå figuren.

Dette betyr at den deriverte, som er stigingstalet til tangenten, no kan skrivast som

$y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{dy}{dx}$

Det er vanleg å bruke variabelen $u$ på uttrykket vi byter ut (substituerer). Derfor har vi at

$u^{\text{'}}=\frac{du}{dx}$

Vi kan seie at $\frac{du}{dx}$ angir den deriverte av $u$ med omsyn på $x$. Dette kan skrivast om til

$dx=\frac{du}{u^{\text{'}}}$

I det vidare arbeidet skal vi behandle differensialane $du$ og $dx$ som storleikar vi kan behandle algebraisk, det vil seie bruke i berekningar.

Metode: integrasjon ved variabelskifte

Integrasjon ved variabelskifte går ut på å forme om integranden, som er ein funksjon av $x$, til ein funksjon av $u$, ved å setje ein del av funksjonen lik $u$. Det som er viktig når vi skal velje kva $u$ skal vere, er at den deriverte av $u$ må vere slik at han kan forkorte bort det som er igjen av $x$ i uttrykket. Faktoren som blir sett lik $u$, vil ofte vere faktoren med høgast grad, og han kan til dømes vere innhaldet i ein parentes, ein eksponent, radikanden (det som står under eit rotteikn) eller nemnaren i ein brøk, og $u$ blir ofte angitt som "kjernen".

For å sjå korleis dette blir tek vi utgangspunkt i det følgande ubestemde integralet:

$\int 10x{\left(x^2+1\right)}^{4}dx$

Vi ser at integranden er eit produkt av to faktorar, $10x$ og ${\left(x^2+1\right)}^4$. Korleis blir integralet viss vi vel kjernen som $u=x^2+1$?

Kva blir den deriverte av kjernen $u=x^2+1$ ?

Vi har at

$\begin{array}{rcl}u & =& x^2+1\\ \frac{du}{dx} & =& 2x\\ dx & =& \frac{du}{2x}\end{array}$

Er det mogleg å forkorte bort $x$ og utføre integrasjonen dersom vi erstattar $dx$ med $\frac{du}{2x}$ ?

Det at den deriverte av $x^2+1$ er $2x$, gjer at variabelen $x$ "forsvinn" i integranden, slik at integranden berre inneheld variabelen $u$. Dette er sjølve "nøkkelen" med metoden.

Døme

$\int \frac{3x+6}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx$

Vi set radikanden lik $u$, som gir $u=x^2+4x+5$.

Dette gir

$\begin{array}{rcl}{u}^{\text{'}}& = & \frac{du}{dx}=2x+4=2\left(x+2\right)\\ & & \\ dx& =& \frac{du}{2\left(x+2\right)}\end{array}$

Vi set inn for $u$ og $dx$

$\begin{array}{rcl}\int \frac{3x+6}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx& = & \int \frac{3\left(x+2\right)}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx\\ & & \\ & =& \int \frac{3\cancel{\left(x+2\right)}}{\sqrt{u}}·\frac{du}{2\cancel{\left(x+2\right)}}\\ & & \\ & =& \frac{3}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} du\end{array}$

Her er ikkje den deriverte til kjernen nøyaktig lik $3x+6$, men begge uttrykka inneheld faktoren$x+2$. Denne kan forkortast vekk, og dermed "forsvinn" variabelen $x$ i integranden, slik poenget med metoden er.

Vi antideriverer og finn

$\begin{array}{rcl}\frac{3}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} du& = & \frac{3}{2}\int u^{-\frac{1}{2}} du\\ & & \\ & =& \frac{3}{2}·\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}·u^{-\frac{1}{2}+1}+C\\ & & \\ & =& \frac{3}{2}·2·\sqrt{u}+C\\ & & \\ & =& 3\sqrt{x^2+4x+5}+C\end{array}$

Integrasjonsregel for $\begin{array}{c}\mathbf{\int }\frac{\mathbf{1}}{\mathit{a}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{b}}\end{array}$$\mathit{d}\mathit{x}$

Vi kan bruke variabelskifte saman med regelen om at $\begin{array}{c}\int \frac{1}{x} dx=\ln \left|x\right| , x\ne 0\end{array}$ til å finne ein integrasjonsregel for $\begin{array}{c}\int \frac{1}{ax+b} dx\end{array}$, der $a$ og $b$ er konstante tal.

$\int \frac{1}{ax+b} dx$

$u=ax+b$

$\frac{du}{dx}=a$, og dette gir $dx=\frac{du}{a}$.

Vi set inn for $u$ og $dx$, og vi kan no utføre integrasjonen:

$\begin{array}{rcl}\int \frac{1}{ax+b} dx& = & \int \frac{1}{u} \frac{du}{a}\\ & & \\ & =& \int \frac{1}{u}·\frac{1}{\cancel{a}}du\\ & & \\ & =& \frac{1}{a}\int \frac{1}{u} du\\ & & \\ & =& \frac{1}{a}\ln \left|u\right|+C\\ & & \\ & =& \frac{1}{a}\ln \left|ax+b\right|+C\end{array}$

Film om integrasjon med variabelskifte, døme 1

Film om integrasjon med variabelskifte, døme 2