Følger

Kva er ei følge?

Tal plasserte etter kvarandre i ei bestemd rekkefølge, kallar vi ei talfølge, eller berre ei følge. Det første møtet ditt med talfølger var kanskje då du lærte å telje.

Tala 1, 2, 3 og 4 er eit døme på ei følge.

Tala i ei følge kallar vi ledd, og ledda følger som oftast eit bestemt mønster.

Endelege følger

Dersom talet på ledd i følga er bestemt og vi har ei følge med ei endeleg mengde ledd, får vi det vi kallar for ei endeleg følge. To døme på slike endelege følger er

$2, 3, 5, 7, 11, 13$

$2, 4, 6, 8, ... , 100$

I det øvste dømet har vi skrive opp alle dei seks tala som finst i følga. I det nedste dømet betyr dei tre prikkane mellom 8 og 100 at vi skal fylle inn alle tala som følger det same mønsteret som ligg mellom desse to tala. I begge tilfella kjenner vi både det første og det siste leddet i følga.

Uendelege følger

Vi kan òg ha følger som held fram vidare utan stopp. Då har vi uendeleg mange ledd, og får det vi kallar uendelege følger. Eit døme er

$1, 4, 9, 16, 25, 36, ...$

Dei tre prikkane etter det siste leddet viser at følga held fram etter det same mønsteret. Kan du finne og beskrive med ord mønsteret i kvar av dei tre følgene ovanfor?

Formlar for ledda i følga

Det er vanleg å gi dei enkelte ledda i ei følge namn. Det første leddet kallar vi $a_1$, det andre leddet $a_2$ og så vidare. Ledd nummer $n$ i talfølga får nemninga $a_n$, der $n$ er eit naturleg tal.

For talfølga $2, 4, 6, 8, ...$ er

$\begin{array}{rcl}{a}_1& = & 2\\ & & \\ a_2& =& 4\\ & & \\ a_3& =& 6\\ & & \\ a_4& =& 8\\ & ...& \end{array}$

Vi skal no lage ein formel for det $n$-te leddet, $a_n$. Vi viser to måtar dette kan gjerast på.

Rekursiv formel

Vi ser at kvart ledd i talfølga er lik leddet framfor pluss talet 2. Til dømes er $a_4=a_3+2$. Det betyr at vi for denne følga kan skrive at

$a_n=a_{n-1}+2$

Denne typen formel kallar vi rekursiv. Når vi kjenner eitt ledd i følga, gir formelen det neste leddet. Det betyr at når vi kjenner det første leddet i talfølga, kan vi finne resten av ledda ved hjelp av den rekursive formelen. Vi kan òg ha meir kompliserte rekursive formlar som bygger på at ein må kjenne fleire enn eitt av dei førre ledda. Eit kjent døme på dette er følga under. Prøv om du sjølv kan finne samanhengen før du klikkar på boksen med forklaringa.

$1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$

Eksplisitt formel

Vi ser igjen på følga $2, 4, 6, 8, ...$ Det kan vere tidkrevjande å finne verdien til eit ledd langt ute i ei talfølge for hand ved å bruke ein rekursiv formel. Då kan det vere fint å kunne ha ein raskare måte å til dømes finne tal nummer 100 på.

Vi kan setje opp ein tabell og sjå om vi kan finne ein samanheng mellom verdien på eit ledd og nummeret dette leddet har i følga:

Du ser kanskje at kvart ledd i følga er lik talet 2 multiplisert med leddnummeret. Til dømes er $a_4=2·4$. Det betyr at vi for denne følga kan skrive at

$a_n=2·n$

Denne typen formel blir kalla eksplisitt. Ved å bruke ein eksplisitt formel kan vi finne verdien til eit ledd i ei talfølge direkte når vi kjenner nummeret på leddnummeret.

Døme

Følga $1, 4, 9, 16, ...$ består av kvadrattala.

Kan du finne ein eksplisitt formel for $a_n$ i denne følga og bruke denne formelen til å rekne ut $a_{100}$?

Følger i Python

Å rekne ut mange ledd i ei følge er arbeidsamt å gjere for hand. I Python kan vi bruke ei lykkje for å skrive ut alle ledda i ei endeleg følge, anten vi har ein eksplisitt eller ein rekursiv formel.

Nedanfor kan du sjå to program. Det første skriv ut dei 100 første ledda i følga av kvadrattal ved hjelp av ein eksplisitt formel for $a_n$, og det andre skriv ut dei 100 første partala ved hjelp av ein rekursiv formel for $a_n$. Kopier programma og køyr dei, så får du sjå kva som skjer!

1def a(n):
2    return n**2         #definerer eksplisitt formel for a_n
3b=100                   #bestemmer talet på ledd i følga
4A = []                  #oppretter ei tom liste for følga
5
6for i in range(1,b+1):  #lagar ei lykkje som går frå og med 1 til og med b
7    A.append(a(i))      #legg ledda til i følga
8    
9print(A)                #skriv ut følga

1a_n = 2                 #oppretter ein variabel for ledda i følga
2b=100                   #bestemmer talet på ledd i følga
3A = []                  #oppretter ei tom liste for følga
4
5for i in range(1,b+1):  #lagar ei lykkje som går frå og med 1 til og med b
6    A.append(a_n)       #legg ledda til i følga
7    a_n = a_n + 2
8    
9print(A)                #skriv ut følga

Film om følger

Film om formlar for ledda i ei følge