Aritmetiske og geometriske rekker

Vi skriv summen av rekka på to måtar:

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n\\ S_n & =& a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1\end{array}$

Vi legg saman dei to venstresidene og dei to høgresidene:

$\begin{array}{rcl}{S}_n+S_n & =& a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n+a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1\\ 2S_n & =& \left(a_1+a_n\right)+\left(a_2+a_{n-1}\right)+...+\left(a_{n-1}+a_2\right)+\left(a_n+a_1\right)\end{array}$

Vi observerer at summen inne i alle parentesane er den same, altså at vi har

$\left(a_1+a_n\right)+\left(a_2+a_{n-1}\right)+...+\left(a_{n-1}+a_2\right)+\left(a_n+a_1\right)=n\left(a_1+a_n\right)$

Dette betyr at vi kan utleie formelen ferdig slik:

$\begin{array}{rcl}2S_n & =& n\left(a_1+a_n\right)\\ S_n & =& n·\frac{\left(a_1+a_n\right)}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n\\ & =& a_1+a_1·k+a_1·k^2+...+a_1·k^{n-2}+a_1·k^{n-1}\end{array}$

Vi multipliserer kvar side av likskapsteiknet med $k$:

$\begin{array}{rcl}k·S_n & =& k·\left(a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n\right)\\ & =& k·\left(a_1+a_1·k+a_1·k^2+...+a_1·k^{n-2}+a_1·k^{n-1}\right)\\ & =& a_1· k+a_1·k^2++...a_1·k^{n-2}+a_1·k^{n-1}+a_1·k^n\end{array}$

Vi finn så differansen  $k·S_n-S_n$:

$\begin{array}{lcl}k·S_n-S_n & =& a_1·k+a_1·k^2+...+a_1·k^{n-2}+a_1·k^{n-1}+a_1·k^n\\ & & -(a_1+a_1·k+a_1·k^2+...+a_1·k^{n-2}+a_1·k^{n-1})\\ & =& \cancel{ a_1·k}+\cancel{a_1·k^2}+...+\cancel{a_1·k^{n-2}}+\cancel{a_1·k^{n-1}}+a_1·k^n\\ & & -a_1-\cancel{a_1·k}-\cancel{a_1·k^2-...}-\cancel{a_1·k^{n-2}}-\cancel{a_1·k^{n-1}}\end{array}$Dette gir vidare

$\begin{array}{rcl}k·S_n-S_n & =& a_1·k^n-a_1\\ s_n(k-1) & =& a_1(k^n-1)\\ S_n & =& a_1·\frac{k^n-1}{k-1}\end{array}$

Vi bruker den generelle formelen for $a_n$ i ei aritmetisk rekke:

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d(n-1)\\ & =& 1+6(n-1)\\ & =& 1+6n-6\\ & =& 6n-5\end{array}$

Vi løyser for hand:

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& n·\frac{a_1+a_n}{2}\\ & =& n·\frac{1+6n-5}{2}\\ & =& n· \frac{6n-4}{2}\\ & =& n·(3n-2)\\ & =& 3n^2-2n\end{array}$

Vi kan òg bruke GeoGebra:

Vi set inn 100 for $n$:

$\begin{array}{rcl}{S}_{100} & =& 3·{100}^2-2·100\\ & =& 3·10 000-200\\ & =& 30 000-200\\ & =& 29 800\end{array}$

Vi har at kvart ledd er dobbelt så stort som det førre, altså er  $a_n=a_{n-1}·2$. Det betyr at vi har ei geometrisk rekke der  $a_1=2$  og  $k=2$.

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 2·2^{n-1}\\ & =& 2^n\end{array}$

Vi må undersøke om vi får heiltalig $n$ dersom vi set formelen for $a_n$ lik 128 og 192. Sidan  $a_n=2^n$, må vi undersøke om tala er ein toarpotens:

$\begin{array}{rcl}128 & =& 2·64\\ & =& 2·2·32\\ & =& 2·2·2·16\\ & =& 2·2·2·2·8\\ & =& 2·2·2·2·2·4\\ & =& 2·2·2·2·2·2·2\\ & =& 2^7\end{array}$

$\begin{array}{rcl}192 & =& 2·96\\ & =& 2·2·48\\ & =& 2·2·2·24\\ & =& 2·2·2·2·12\\ & =& 2·2·2·2·2·6\\ & =& 2·2·2·2·2·2·3\\ & =& 2^6·3\end{array}$

Vi ser her at 128 er eit ledd i rekka, mens 192 ikkje er det.

Vi bruker formelen for sum av geometrisk rekke:

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1·\frac{k^n-1}{k-1}\\ & =& 2·\frac{2^n-1}{2-1}\\ & =& 2(2^n-1)\\ & =& 2^{n+1}-2\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& 126\\ 2^{n+1}-2 & =& 126\\ 2^{n+1} & =& 128\\ 2·2^n & =& 128\\ 2^n & =& 64\\ 2^n & =& 2^6\\ n & =& 6\end{array}$

Vi må først finne $a_1$:

$\begin{array}{rcl}{a}_3 & =& a_1·k^2\\ 4 & =& a_1·4^2\\ a_1 & =& \frac{4}{4^2}\\ a_1 & =& \frac{1}{4}\\ & & \end{array}$

Så finn vi formelen for $a_n$:

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& \frac{1}{4}·4^{n-1}\\ & =& 4^{-1}·4^{n-1}\\ & =& 4^{n-2}\end{array}$

Vi bruker CAS:

Vi løyser først digitalt, i CAS:

Deretter løyser vi for hand:

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1·\frac{k^n-1}{k-1}\\ & =& \frac{1}{4}·\frac{4^n-1}{4-1}\\ & =& \frac{1}{4}·\frac{4^n-1}{3}\\ & =& \frac{1}{12}·\left(4^n-1\right)\end{array}$

Vi deler kvart ledd på det førre:

$\begin{array}{rcl}\frac{a_4}{a_3} & =& \left(-\frac{64}{9}\right):\frac{16}{3}=-\frac{64·3}{9·16}=-\frac{4}{3}\\ \frac{{\displaystyle a_3}}{{\displaystyle a_2}} & =& \frac{{\displaystyle 16}}{{\displaystyle 3}}:\left(-4\right)=-\frac{{\displaystyle 16}}{{\displaystyle 3·4}}=-\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle 3}}\\ \frac{{\displaystyle a_2}}{{\displaystyle a_1}} & =& \frac{(-4)}{3}=-\frac{4}{3}\end{array}$

Vi ser at forholdet er konstant, og vi har at  $k=-\frac{4}{3}$.

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 3·{\left(-\frac{4}{3}\right)}^{n-1}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1·\frac{k^n-1}{k-1}\\ & =& 3·\frac{{\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^n-1}{\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)-1}\\ & =& 3·\frac{{\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^n-1}{-{\displaystyle \frac{7}{3}}}\\ & =& 3·\left(-\frac{3}{7}\right)·\left({\left(-\frac{4}{3}\right)}^n-1\right)\\ & =& -\frac{9}{7}·\left({\left(-\frac{4}{3}\right)}^n-1\right)\end{array}$

Vi bruker formelen for sum av aritmetisk rekke og finn $a_{10}$:

$\begin{array}{rcl}{S}_{10} & =& 10·\frac{a_1+a_{10}}{2}\\ 230 & =& 10·\frac{5+a_{10}}{2}\\ \frac{230}{5} & =& 5+a_{10}\\ a_{10} & =& 46-5\\ a_{10} & =& 41\end{array}$

Så bruker vi den generelle formelen for $a_n$ i ei aritmetisk rekke og finn $d$:

$\begin{array}{rcl}{a}_{10} & =& a_1+9d\\ 41 & =& 5 + 9d\\ 9d & =& 36\\ d & =& 4\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1 + d(n-1)\\ & =& 5+4(n-1)\\ & =& 5+4n-4\\ & =& 4n+1\end{array}$

Vi byrjar med å uttrykke $a_5$ ved $a_1$:

$\begin{array}{rcl}{a}_5 & =& a_1 + 4d\\ & =& a_1+4·8\\ & =& a_1 +32\end{array}$

Så bruker vi formelen for sum av aritmetisk rekke:

$\begin{array}{rcl}{S}_5 & =& 5·\frac{a_1+a_5}{2}\\ 135 & =& 5·\frac{a_1+a_1+32}{2}\\ 27 & =& \frac{2a_1+32}{2}\\ 27 & =& a_1+16\\ a_1 & =& 27-16=11\end{array}$

Vi får den følgande formelen for $a_n$:

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d(n-1)\\ & =& 11+8(n-1=\\ & =& 8n+3\end{array}$

Vi bruker formelen for sum av geometrisk rekke og finn $a_1$:

$\begin{array}{rcl}{S}_6 & =& a_1·\frac{k^6-1}{k-1}\\ \frac{63}{4} & =& a_1·\frac{2^6-1}{2-1}\\ \frac{63}{4} & =& 63a_1\\ a_1 & =& \frac{1}{4}\end{array}$

Vi finn den eksplisitte formelen:

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& \frac{1}{4}·2^{n-1}\\ & =& 2^{-2}·2^{n-1}\\ & =& 2^{n-3}\end{array}$

Vi har her ei aritmetisk rekke fordi differansen mellom kvart ledd er lik.

$\begin{array}{rcl}15-11 & =& 4\\ 11-7 & =& 4\\ 7-3 & =& 4\end{array}$

Vi har at  $a_1=3$  og at  $d=4$. Vi får då

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d(n-1)\\ & =& 3+4(n-1)\\ & =& 3+4n-4\\ & =& 4n-1\end{array}$

Vi set den eksplisitte formelen for $a_n$ lik 79:

$\begin{array}{rcl}4n-1 & =& 79\\ 4n & =& 80\\ n & =& \frac{80}{4}\\ n & =& 20\end{array}$

For hand:

Vi finn eit generelt uttrykk for $S_n$ og set dette lik 78:

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& n·\frac{a_1+a_n}{2}\\ & =& n·\frac{3+4n-1}{2}\\ & =& n·\frac{4n+2}{2}\\ & =& n(2n+1)\\ & =& 2n^2+n\\ & & \\ & & \\ S_n & =& 78\\ 2n^2+n & =& 78\\ 2n^2+n-78 & =& 0\\ n & =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·2·78}}{2·2}\\ & =& \frac{-1\pm \sqrt{1+624}}{4}\\ & =& \frac{-1\pm 25}{4}\end{array}$

$n=\frac{-1-25}{4}=\frac{-26}{4}=-6,5 \wedge n=\frac{-1+25}{4}=\frac{24}{4}=6$

Vi må ha heile, positive løysingar, såg dermed er  $n=6$  når summen er 78.

I CAS:

I Python:

1a_n = 3
2d = 4
3n = 1
4sum = 3
5
6while sum != 78:
7    a_n = a_n + d
8    sum = sum + a_n
9    n = n+1
10
11print(f"Summen er lik 78 når n er lik {n}.")

Vi har her valt å bygge vidare på det programmet vi har laga som legg alle ledda i rekka inn i ei liste Så sjekkar vi om tala våre ligg i den lista. Vi skal både undersøke om talet er eit ledd i rekka, og i så fall kva nummer det er. Vi legg tala vi skal sjekke, i ei eiga liste. Først finn vi alle tala som er ledd i rekka, og skriv ut dei, så skriv vi ut dei tala som ikkje er ledd i rekka.

1a_n = 3
2d = 4
3n = 1
4Ledda = [3]
5Tala = [79,97,171,779,997,1711,7799,9870]
6
7while a_n < 10000:
8    a_n = a_n + d
9    Ledda.append(a_n)
10
11for i in range(len(Ledda)):
12    if Ledda[i] in Tala:
13        print(f"{Ledda[i]} er tal nummer {i+1} i rekka.")
14
15for i in range (len(Tallene)):
16    if Tala[i] not in Ledda:
17        print(f"{Tala[i]} er ikkje eit tal i rekka.")

Hugs at dette er éin måte å gjere det på. Gjorde du det på ein annan måte? Dersom det verka, er det supert! Ein kan til dømes velje å undersøke om den eksplisitte formelen for $a_n$ gir heiltalige $n$.

Her utvidar vi programmet frå den førre oppgåva og lagar ei eiga liste med summane. Så undersøkjer vi dei på same måte.

1a_n = 3
2d = 4
3n = 1
4sum = 3
5Ledda = [3]
6Tala = [79,97,171,779,997,1711,7799,9870]
7Summane = [3]
8
9while a_n < 10000:
10    a_n = a_n + d
11    Ledda.append(a_n)
12    sum = sum + a_n
13    Summane.append(sum)
14
15for i in range(len(Ledda)):
16    if Ledda[i] in Tala:
17        print(f"{Ledda[i]} er tal nummer {i+1} i rekka.")
18
19for i in range (len(Tala)):
20    if Tala[i] not in Ledda:
21        print(f"{Tala[i]} er ikkje eit tal i rekka.")
22
23for i in range(len(Ledda)):
24     if Summane[i] in Tala:
25        print(f"Summen er {Summane[i]} dersom det er {i+1} ledd i rekka.")
26        
27for i in range (len(Tala)):
28    if Tala[i] not in Summane:
29        print(f"Summen kan ikkje bli {Tala[i]}.")

Igjen: Gjorde du det på ein annan måte? Kanskje meir effektivt? Så bra!

Vi må først finne den eksplisitte formelen for rekka:

$$\begin{gathered} a_n = a_1·k^{n-1} \\ = 6·3^{n-1} \end{gathered}$$

Så kan vi lage det følgande programmet:

1a_n = 0
2Sum = 0
3antal = 0
4Ledda = ["a_n"]
5Summane = ["S_n"]
6
7for n in range(1,51):
8    antal = antal+1
9    a_n = 6*3**(n-1)
10    Sum = Sum + a_n
11    Ledda.append(a_n)
12    Summane.append(Sum)
13
14for i in range(0,51):
15        print(f"{Ledda[i]:<27}{Summane[i]:<27}")

Koden i linje 15 er for å få fine kolonnar. Du kan velje å erstatte linjene 14 og 15 med skriv ut(Ledda) og skriv ut(Summane) dersom du ikkje treng ei fin utskrift.

Her må vi først hente inn talet brukaren vil undersøke. Så må vi gå gjennom listene våre, sjekke om talet er i nokre av dei og skrive ut resultatet.

1a_n = 0
2Sum = 0
3antal = 0
4Ledda = ["a_n"]
5Summane = ["S_n"]
6
7for n in range(1,51):
8    antal = antal+1
9    a_n = 6*3**(n-1)
10    Sum = Sum + a_n
11    Ledda.append(a_n)
12    Summane.append(Sum)
13 
14talet = int(input("Kva tal vil du sjekke?"))
15
16for i in range(len(Ledda)):
17    if talet == Ledda[i]:
18        print(f"{talet} er ledd nummer {i} i rekka.")
19    if talet == Summane[i]:
20        print(f"{talet} er summen av dei {i} første ledda i rekka.")
21
22if talet not in Ledda:
23    print(f"{talet} er ikkje eit ledd i rekka.")
24if talet not in Summane:
25    print(f"{talet} kan ikkje vere ein sum av denne rekka.")

Når vi berre kjenner to ledd i rekka, veit vi ikkje nok om mønsteret til å seie sikkert kva slags rekke vi har med å gjere.

Det kan vere ei aritmetisk rekke, då finn vi differansen slik:

$\begin{array}{rcl}{a}_8 & =& a_5+3d\\ 64 & =& 8 +3d\\ 56 & =& 3d\\ d & =& \frac{56}{3}\end{array}$

Eller det kan vere ei geometrisk følge, då finn vi kvotienten slik:

$\begin{array}{rcl}{a}_8 & =& a_5·k^3\\ 64 & =& 8·k^3\\ k & =& \sqrt[3]{\frac{64}{8}}=2\end{array}$

Dersom det er ei aritmetisk rekke:

$\begin{array}{rcl}{a}_1 & =& a_5-4d\\ & =& 8-4·\frac{56}{3}\\ & =& \frac{24}{3}-\frac{224}{3}\\ & =& -\frac{200}{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1 + d(n-1)\\ & =& -\frac{200}{3}+\frac{56}{3}(n-1)\\ & =& -\frac{200}{3}+\frac{56}{3}n-\frac{56}{3}\\ & =& \frac{56}{3}n-\frac{256}{3}\\ & =& \frac{1}{3}\left(56n-256\right)\end{array}$

Dersom det er ei geometrisk rekke:

$\begin{array}{rcl}{a}_5 & =& a_1·k^4\\ 8 & =& a_1·2^4\\ a_1 & =& \frac{8}{16}=\frac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& \frac{1}{2}·2^{n-1}\\ & =& 2^{n-2}\end{array}$

Vi finn først ein formel for $S_n$:

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1·\frac{k^n-1}{k-1}\\ & =& \frac{1}{2}·\frac{2^n-1}{2-1}\\ & =& \frac{1}{2}·\left(2^n-1\right)\end{array}$

Så set vi uttrykket lik 551,5:

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{2}(2^n-1) & =& 511,5\\ 2^n-1 & =& 1023\\ 2^n & =& 1024\\ 2^n & =& 2^{10}\\ n & =& 10\end{array}$

Vi finn $S_{10}$ i den aritmetiske rekka:

$\begin{array}{rcl}{S}_{10} & =& 10·\frac{a_1+a_{10}}{2}\\ & =& 5(a_1+a_{10})\\ & =& 5(-\frac{200}{3}+\frac{56}{3}·10-\frac{256}{3})\\ & =& \frac{5}{3}(-200+560-256)\\ & =& \frac{5·104}{3}\\ & =& \frac{520}{3}\end{array}$