Den deriverte

Den deriverte til ein funksjon viser oss kor raskt funksjonen endrar seg. Derivasjon blir mykje brukt i matematikk og i andre realfag.

Momentan vekstfart utan hjelpemiddel

Koordinatsystem med grafen til f av x. Denne er blå. Punktet A parentes x komma f av x parentes slutt og punktet B parentes x pluss delta x komma f parentes x pluss delta x parentes slutt parentes slutt er merket på grafen. Ei rød linje går gjennom punktet A, og ei grønn linje går gjennom punktet A og punktet B. Skjermutklipp.

På figuren har vi teikna grafen til funksjonen f (blå kurve). Vi ønskjer å finne den momentane vekstfarten til funksjonen f i punktet $A (x, f (x))$ .

Vi gir x eit tillegg $Δ x$ og får eit nytt punkt B på grafen:

$B (x + Δ x, f (x + Δ x))$

Vi trekkjer ein sekant (grøn linje) gjennom punkta A og B.

Vi reknar ut stigingstalet a til denne linja.

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{(x + Δ x) - x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

Vi har då funne eit uttrykk for gjennomsnittleg vekstfart frå A til B.

Prøv sjølv

Vi lèt no punktet B nærme seg punktet A. Vi lèt altså $Δ x$ gå mot null. På den interaktive figuren nedanfor kan du dra i punktet B. Kva skjer når du dreg punktet mot punktet A?

Når vi dreg punktet B mot punktet A, vil sekanten (grøn) gradvis nærme seg til å bli ein tangent (raud linje) til grafen i punktet A.

Stigingstalet til denne tangenten fortel kor fort grafen veks akkurat i punktet A. Vi kallar dette stigingstalet for den momentane vekstfarten eller den deriverte til f i punktet A. Vi skriv $f' (x)$ og les det som "f derivert av x". Legg merke til teiknet for den deriverte, ein liten apostrof på f: $f'$ .

Den deriverte

Vi ser på grafen ovanfor.

$f' (x)$ er den verdien $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$ nærmar seg mot når $Δ x$ går mot null.

Definisjon:

$f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

Den deriverte i eit punkt er stigingstalet til tangenten til grafen i dette punktet.

Den deriverte i eit punkt og den momentane vekstfarten i punktet er det same.

Frå denne definisjonen av den deriverte i eit punkt $(x, f (x))$ kan vi definere ein ny funksjon $f'$ der vi til kvar $x$ tilordnar verdien $f' (x)$ . På denne måten har funksjonen f generert ein ny funksjon $f'$ . Derfor kallar vi denne for den deriverte funksjonen.