Oppgåve

Rasjonale funksjonar og asymptotar

Øv deg på å finne vertikale og horisontale asymptotar ved rekning, og teikn deretter grafen med digitale verktøy. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Vi har gitt funksjonen $f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ .

a) Fyll ut resten av verditabellen.

Verditabell
x	$f (x)$
0	$\frac{1}{2}$
1	0
1,5
1,9
1,99
2,01	101
2,1	11
2,5	3
3	2
4	$\frac{3}{2}$
5

Løysing

Verditabell
x	$f (x)$
0	$\frac{1}{2}$
1	0
1,5	$- 1$
1,9	$- 9$
1,99	$- 99$
2,01	101
2,1	11
2,5	3
3	2
4	$\frac{3}{2}$
5	$\frac{4}{3}$

b) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmar seg 2 frå venstre.

Løysing

Når x-verdien nærmar seg 2 frå venstre, går funksjonsverdien mot minus uendeleg.

c) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmar seg 2 frå høgre.

Løysing

Når x nærmar seg 2 frå høgre, går funksjonsverdien mot pluss uendeleg.

d) Teikn grafen til funksjonen f.

Løysing

Grafen til funksjonenf:

e) Teikn inn linja $x = 2$ i det same koordinatsystemet som grafen til f. Kva kallar vi denne linja?

Løysing

Sjå grafbiletet i oppgåve d). Linja $x = 2$ kallar vi vertikal asymptote.

Oppgåve 2

Vi har gitt funksjonen $f (x) = \frac{x - 1}{x}$ .

a) Fyll ut resten av verditabellen.

Verditabell
x	$f (x)$
$- 1000$
$- 100$	1,01
$- 10$
$- 1$
0,5
1
10	0,9
100
1000

Løysing

Verditabell
x	$f (x)$
$- 1000$	1
$- 100$	1,01
$- 10$	1,1
$- 1$	2
0,5	$- 1$
1	0
10	0,9
100	0,99
1000	1

b) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien går mot minus uendeleg, $x \to - \infty$ .

Løysing

Funksjonsverdien nærmar seg 1 når $x \to - \infty$ .

c) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x går mot pluss uendeleg, $x \to + \infty$ .

Løysing

Funksjonsverdien nærmar seg 1 når $x \to + \infty$ .

d) Teikn grafen til funksjonen f.

Løysing

Grafen til funksjonen f:

e) Teikn inn linja $y =1$ i det same koordinatsystemet som grafen til f. Kva kallar vi denne linja?

Løysing

Sjå grafbiletet i oppgåve d). Linja $y =1$ kallar vi horisontal (vassrett) asymptote.

Oppgåve 3

Finn eventuelle asymptotar til funksjonen f utan hjelpemiddel. Lag deretter ei skisse av grafen til funksjonen.

a) $f (x) = \frac{2}{x - 2}$

Løysing

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når $x = 2$ . Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien $\lim_{x \to 2} f (x) = \pm \infty$ , og linja $x = 2$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \pm \infty} f (x) & = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{x - 2} \\ = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}} = \frac{0}{1 - 0} = 0 \end{array}$

Når $x \to \pm \infty$ , vil grafen til f nærme seg 0, det vil seie x-aksen. Linja $y = 0$ er ein horisontal asymptote for f.

Vi reknar ut $f (0) = \frac{2}{0 - 2} = - 1$ for å finne ut i kva område grafen ligg.

Grafen til f:

b) $f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}$

Løysing

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når $x = 2$ . Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien $\lim_{x \to 2} f (x) = \pm \infty$ , og linja $x = 2$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \pm \infty} f (x) & = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 1}{x - 2} \\ = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1 \end{array}$

Når $x \to \pm \infty$ , vil grafen til f nærme seg linja $y = 1$ .

Linja $y = 1$ er ein horisontal asymptote for f.

Vi reknar ut $f (0) = \frac{0 - 1}{0 - 2} = \frac{1}{2}$ for å finne ut i kva område grafen ligg.

Grafen til f:

c) $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x - 2}$

Løysing

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når $x = 2$ . Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien $\lim_{x \to 2} f (x) = \pm \infty$ , og linja $x = 2$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

Vi ser at teljaren er av høgare grad enn nemnaren. Da kan vi polynomdividere:

$\begin{matrix} (x^{2} & + & 0 x & + & 4) & : & ( & x & ⎯ & 2 & ) & = & x + 2 + \frac{8}{x + 2} \\ - & (x^{2} & - & 2 x) \\ 2 x & + & 4 \\ - & (2 x & - & 4) \\ 8 \end{matrix}$

Når $x \to \pm \infty$ , vil brøken $\frac{8}{x - 2}$ gå mot 0. Då er funksjonen tilnærma lik $x + 2$ . Linja $y = x + 2$ er ein asymptote for grafen til f, og grafen har ingen horisontal asymptote.

Vi reknar ut $f (0) = \frac{0^{2} + 4}{0 - 2} = \frac{4}{- 2} = - 2$ for å finne ut i kva område grafen ligg.

Grafen til f:

d) $f (x) = \frac{3 x - 1}{x}$

Løysing

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når $x = 0$ . Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien $\lim_{x \to 2} f (x) = \pm \infty$ , og linja $x = 0$ , det vil seie y-aksen, er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \pm \infty} f (x) & = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x - 1}{x} \\ = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{3 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}} = \frac{3 - 0}{1} = 3 \end{array}$

Når $x \to \pm \infty$ , vil grafen til f nærme seg linja $y = 3$ .

Linja $y = 3$ er ein horisontal asymptote for f.

Vi regner ut $f (1) = \frac{3 \cdot 1 - 1}{1} = 2$ for å finne ut i kva område grafen ligg.

Grafen til f:

Oppgåve 4

Finn eventuelle asymptotar til funksjonane nedanfor utan hjelpemiddel. Kontroller deretter resultatet ditt ved å teikne grafen og asymptotane til funksjonen med eit digitalt hjelpemiddel.

a) $f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 2}$

Løysing

Vertikal asymptote:

Vi finn nullpunkta til nemnaren.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 & = & 0 \\ x^{2} & = & 2 \\ x & = & \pm \sqrt{2} \end{array}$

Det er her to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først $x = \sqrt{2}$ . Når $x = \sqrt{2}$ , blir teljaren $2 \cdot (\sqrt{2})^{2} = 4$ . Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\lim_{x \to \sqrt{2}} f (x) = \pm \infty$ , og linja $x = \sqrt{2}$ er ein vertikal asymptote for f.

Vi undersøkjer så for $x = - \sqrt{2}$ . Når $x = - \sqrt{2}$ , blir teljaren $2 \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} = 4 .$ Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\lim_{x \to - \sqrt{2}} f (x) = \pm \infty$ , og linja $x = - \sqrt{2}$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \pm \infty} f (x) & = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}} \\ = & \frac{2}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2 \end{array}$

Når $x \to \pm \infty$ , vil grafen til f nærme seg linja $y = 2$ . Linja $y = 2$ er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotane:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes 2 x i andre parentes slutt delt på parentes x i andre minus 2 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 7 og 7. I tillegg er dei loddrette eller vertikale linjene x er lik rota av 2 og x er lik minus rota av 2 teikna. Grafen til f kryp inntil linja er lik 2 og er stigande når x nærmar seg minus rota av 2 frå den negative sida og når x nærmar seg rota av 2 frå den positive sida. Grafen til f er stigande for x-verdiar større enn minus rota av 2, har eit toppunkt i 0 og søkk frå x-verdiar mellom 0 og rota av 2. Skjermutklipp.

b) $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 4}{x^{2} - 2 x}$

Løysing

Vertikal asymptote:

Vi finn nullpunkta til nemnaren.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x & = & 0 \\ x (x - 2) & = & 0 \\ x & = & 0 \lor x = 2 \end{array}$

Det er to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først $x = 0$ . Når $x = 0$ , blir teljaren $0^{2} - 2 \cdot 0 + 4 = 4$ .

Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\lim_{x \to 0} f (x) = \pm \infty$ , og linja $x = 0$ er ein vertikal asymptote for f.

Vi undersøkjer så for $x = 2$ . Når $x = 2$ , blir teljaren $2^{2} - 2 \cdot 2 + 4 = 4 .$

Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\lim_{x \to 2} f (x)$ eksisterer ikkje og linja $x = 2$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \pm \infty} f (x) & = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 4}{x^{2} - 2 x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2 x}{x^{2}}} \\ = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{1 - 0 + 0}{1 - 0} = 1 \end{array}$

Når $x \to \pm \infty$ , vil grafen til f nærme seg linja $y = 1 .$ Linja $y = 1$ er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotane:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 2 x pluss 4 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 2 x parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 7 og 7. I tillegg er dei loddrette eller vertikale linjene x er lik 0 og x er lik 2 teikna. Grafen til f kryp inntil den horisontale linja y er lik 1 og stig når den nærmar seg x er lik 0 frå den negative sida og stig når den nærmar seg x er lik 2 frå den positive sida. Grafen søkk når den nærmar seg 0 frå positiv side og når den nærmar seg 2 frå negativ side. Illustrasjon.

c) $f (x) = \frac{x^{3} - 9}{x^{3}}$

Løysing

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når $x = 0 .$ Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\lim_{x \to 0} f (x) = \pm \infty$ , og linja $x = 0$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl} \underset{x \to \pm \infty}{\lim f (x)} & = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{3} - 9}{x^{3}} \\ = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}} = \frac{1 - 0}{1} = 1 \end{array}$

Når $x \to \pm \infty$ , vil grafen til f nærme seg linja $y = 1 .$ Linja $y = 1$ er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotane:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i tredje minus 9 parentes slutt delt på parentes x i tredje parentes slutt er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 7 og 7. I tillegg er den horisontale linja, asymptoten, y er lik 1 teikna og den vertikale linja, asymptoten, x er lik 0 teikna. Grafen til f kryp tett opp til linja y er lik 1. Grafen til f veks mot uendeleg når x-verdiane nærmar seg 0 frå den negative sida, mens grafen til f søkk mot minus uendeleg når x-verdiane nærmar seg 0 frå den positive sida. Skjermutklipp.

d) $f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x}$

Løysing

Vertikal asymptote:

Vi finn nullpunkta til nemnaren.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x & = & 0 \\ x (x - 2) & = & 0 \\ x & = & 0 \lor x = 2 \end{array}$

Her er det to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først $x = 0$ . Når $x = 0$ , blir teljaren $0 - 2 = - 2 .$ Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\lim_{x \to 0} f (x) = \pm \infty$ , og linja $x = 0$ , det vil seie y-aksen, er ein vertikal asymptote for f.

Vi undersøkjer så for $x = 2 .$ Teljaren er $2 - 2 = 0$ , så både teljaren og nemnaren er null. Da prøver vi å finne grenseverdien ved å faktorisere og forkorte.

$\begin{array}{rcl} \underset{x \to 2}{\lim f (x)} & = & \underset{x \to 2}{\lim f (x)} \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x} \\ = & \underset{x \to 2}{\lim f (x)} \frac{x - 2}{x (x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \end{array}$

Funksjonen f har dermed ingen asymptote for $x = 2$ sidan grenseverdien eksisterer.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \pm \infty} f (x) & = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2 x}{x^{2}}} \\ = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{0 - 0}{1 - 0} = 0 \end{array}$

Når $x \to \pm \infty$ , vil grafen til f nærme seg linja $y = 0$ , det vil seie x-aksen. x-aksen er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotane:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x minus 2 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 2 x parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 7 og 7. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik 0 teikna og den horisontale eller vassrette linja y er lik 0 teikna. Grafen til f kryp inntil linja og søkk når x nærmar seg 0 frå den negative sida og kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg 0 frå den positive sida. Skjermutklipp.

e) $h (x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x + 2}$

Løysing

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik null når $x = - 2$ . Teljaren er ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4$ . Grenseverdien $\lim_{x \to - 2} h (x) = \pm \infty$ , og linja $x = - 2$ er vertikal asymptote for h.

Horisontal asymptote:

Vi ser at teljaren er av høgare grad enn nemnaren. Da kan vi polynomdividere:

$\begin{matrix} (x^{2} & - x & - 2) & : & (x & + & 2) & = x & - & 3 + \frac{4}{x + 2} \\ - & (x^{2} & + 2 x) \\ - 3 x & - 2 \\ - & - (3 x & - 6) \\ 4 \end{matrix}$

Når $x \to \pm \infty$ , vil brøken $\frac{4}{x + 2}$ gå mot 0. Då er funksjonen tilnærma lik $x - 3$ . Linja $y = x - 3$ er ein asymptote for grafen til h, og grafen har ingen horisontal asymptote.

Grafen til h med asymptotane:

I eit koordinatssystem er grafen til funksjonen h av x er lik parentes x i andre minus x minus 2 parentes slutt delt på parentes x pluss 2 teikna for x-verdiar mellom minus 12 og 8. Linjene x er lik minus 2 og y er lik x minus 3 er òg teikna inn. Dei to delane av grafen til h skjer ikkje dei to linjene, men kryp inntil dei. Illustrasjon.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.