Parameterframstillingar for linjer

Parameterframstilling

Gitt to punkt A og B. La P vere eit vilkårleg punkt på linja gjennom A og B. Då vil det alltid finnast ein skalar t slik at

$\overrightarrow{AP}=t·\overrightarrow{AB}$

Posisjonsvektoren til punktet P kan då skrivast som

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ & & \\ \overrightarrow{OP}& =& \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\end{array}$

Når t gjennomløper alle verdiar, vil P gjennomløpe heile linja.
Variabelen t blir kalla ein parameter.
Posisjonsvektoren $\overrightarrow{OP}$ beskriv linja gjennom A og B ved hjelp av parameteren t, og vi har ei parameterframstilling av linja.

La A ha koordinatane $(1,4)$, og B koordinatane $(3,3)$.

Parameterframstillinga for linja l gjennom A og B blir

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\\ & & \\ & =& \left[1, 4\right]+t\left[3-1, 3-4\right]\\ & & \\ & =& \left[1, 4\right]+t\left[2, -1\right]\\ & & \\ & =& \left[1+2t, 4-t\right]\end{array}$

På koordinatform får vi

$x=1+2t \wedge y=4-t$

Det er vanleg å skrive parameterframstillinga til linja l på forma

$l:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=4-t\end{array}\right.$

Korleis framstiller vi kurva?

Ved papir og blyant

Vi lagar ein tabell som viser x- og y-koordinatane for utvalde verdiar av t.

$x=1+2t \wedge y=4-t$

Vi kan så plotte punkta, x- og y- koordinatane, i eit koordinatsystem, og trekkje ei kurve gjennom punkta. I dette tilfellet blir kurva ei rett linje.

Digitalt

På skrivelinja i GeoGebra kan du bruke kommandoen "Kurve(<Uttrykk>,<Uttrykk>,<Parametervariabel>,<Start>,<Slutt>)" og til dømes skrive Kurve(1+2t, 4-t, t, -1, 5) for å få plotta linjestykket for t-verdiar mellom $-1$ og 5.

(Legg merke til at dette ikkje er det same som at x ligg mellom $-1$ og 5!)

Generell kurve

I staden for å kjenne to punkt på linja, er det nok å kjenne eitt punkt $A=\left(x_0, y_0\right)$ på linja og ein tilfeldig vektor $\left[a, b\right]$ som er parallell med linja. Vi kallar ein slik vektor for ein retningsvektor for linja.

Vi får

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ & & \\ & =& \left[x_0, y_0\right]+t·\left[a, b\right]\\ & & \\ & =& \left[x_0+at, y_0+bt\right]\end{array}$

Nyttig å vite!

Legg òg merke til at linjene

$m: \left\{\begin{array}{l}x=x_1+at\\ y=y_1+bt\end{array}\right.$ og $n: \left\{\begin{array}{l}x=x_2-bt\\ y=y_2+at\end{array}\right.$

står normalt på kvarandre sidan retningsvektorane til linjene gjer det.

$\left[a, b\right]\perp \left[-b, a\right]$

sidan

$[a, b]·[-b, a]=a·\left(-b\right)+b·a=0$