Fagstoff

Korleis bestemme den deriverte i eit punkt numerisk

Du skal lære å bestemme tilnærmingsverdiar til den deriverte ved bruk av numeriske metodar.

Til no har vi sett på korleis vi kan finne den deriverte eksakt, anten algebraisk som grenseverdien til eit uttrykk eller grafisk som stigningstalet til ein tangent. No skal vi finne den deriverte i eit punkt numerisk, men for å gjere det må vi vite kva det vil seie å løyse noko numerisk.

Numerisk metode med CAS i GeoGebra

Du har kanskje lagt merke til at det til dømes i GeoGebra er to alternativ for å løyse ei likning, markert med $x_{}^{} =$ eller $x_{}^{} \approx$ . Desse svarer til kommandoane "Løys" og "NLøys". Den første varianten finn det eksakte svaret, og den andre varianten finn eit tilnærma svar. Som oftast er svara nokså like, men kanskje har du òg opplevd å få ulikt svar dersom du bruker begge metodane?

Nokre gonger greier ikkje GeoGebra å rekne ut det eksakte svaret på likninga, men vi kan finne eit tilnærma svar ved å velje "NLøys". Andre gonger finn GeoGebra kanskje to løysingar ved å rekne eksakt, mens det berre kjem éi tilnærma løysing. Denne måten å finne løysingar på er ein numerisk metode.

Det å finne eit tal numerisk skil seg frå andre måtar å rekne på ved at det er ei form for såkalla prøve-og-feile-metode. Det vil seie at ein startar med eit forslag til løysing, og ved hjelp av ulike mønster nærmar ein seg den eigentlege løysinga. Når GeoGebra har funne ei løysing, sluttar programmet å leite, sjølv om det kan finnast fleire løysingar. Dette er ein viktig grunn til alltid å velje eksakt løysing av likningar, for så å runde av svara etterpå.

Vi kan sjå på eit døme der vi forsøker å løyse eit likningssett:

Utklipp frå CAS i GeoGebra. Den første linja har likninga y er lik x opphøgd i andre minus 4. Den andre linja har likninga y er lik x pluss 2. I den tredje linja står det sløyfeparentes dollarteikn 4 komma dollarteikn 5 sløyfeparentes slutt og Løys kolon sløyfeparentes sløyfeparentes x er lik 3 komma y er lik 5 sløyfeparentes slutt komma sløyfeparentes x er lik minus 2 komma y er lik 0 sløyfeparentes slutt sløyfeparentes slutt. I den fjerde linja står det sløyfeparentes dollarteikn 4 komma dollarteikn 5 sløyfeparentes og N Løys kolon sløyfeparentes x er lik 3 komma y er lik 5. Skjermutklipp.

Vi legg merke til at "Løys" finn begge dei to løysingane, mens "NLøys" slutta å leite etter å ha funne den eine løysinga. Vi kan stort sett stole på at løysinga "NLøys" gir oss, er rett, men ikkje at ho gir oss alle løysingane. Dette er felles for dei fleste numeriske metodar.

Numerisk derivasjon i Python

I 1T brukte vi numeriske metodar både for hand og ved hjelp av programmering. Vi fann mellom anna nullpunkt på oppgåvesida "Programmering av nullpunkt med halveringsmetoden". Vi fann òg tilnærma verdiar for den deriverte med programmering på oppgåvesida "Tilnærma verdiar til den deriverte". Å leite etter løysingar er tidkrevjande dersom ein skal gjere det for hand, så dette er ei oppgåve for datamaskiner.

Vi skal her vise ein måte vi kan bruke når vi skal finne ei tilnærming til den deriverte gjennom programmering. Vi bruker som døme at vi skal finne den deriverte der $x = 2$ for funksjonen $f (x) = e^{x} + \ln x$ . Vi tek utgangspunkt i definisjonen til den deriverte:

$f^{'} (x) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x}$

Dersom vi i staden for å la $∆ x$ gå mot 0 set $∆ x = h$ , der h er eit veldig lite tal, får vi det vi kallar Newtons kvotient. Då kan vi seie at vi kan definere den deriverte som ei tilnærming slik:

$f^{'} (x) \approx \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Målet vårt er no å lage eit program som kan gjere tilnærminga til den deriverte så god vi ønsker, gjennom å gjere h mindre og mindre. Før vi byrjar sjølve kodinga, kan det lønne seg å beskrive nøye i ein tekst kva vi ønsker å gjere, før vi lagar ein meir trinnvis algoritme.

🤔 Tenk over: Kva må vere med i programmet for at vi skal finne ei god tilnærming til den deriverte? Prøv sjølv å formulere ein tekst før du ser på beskrivinga av programmet i boksen under.

Beskriving av programmet

Vi skal bruke Newtons kvotient til å finne ei tilnærming til den deriverte i eit punkt. Då må vi først definere funksjonen vi skal derivere, og ein funksjon for den deriverte. Vi må òg oppgi kva x-verdi vi skal finne den deriverte i. Vi må bestemme oss for kor nøyaktig vi synest tilnærminga skal vere. Vi kan til dømes bestemme at vi skal slutte å gjere ho meir nøyaktig dersom forskjellen mellom to påfølgande tilnærmingar er mindre enn 0,0001.

Vi må fortelje programmet kor stor h skal vere når vi startar, og vi må ha ein verdi å samanlikne den første tilnærminga vår med. Så lenge differansen mellom den nye og den førre verdien for den deriverte er større enn 0,0001, skal vi rekne ut ein ny tilnærma verdi for den deriverte med ein ny h-verdi som er halvparten av den førre h-verdien. Så skal vi samanlikne den nye verdien for den deriverte med den førre. Dette skal vi halde fram med til differansen er mindre enn eller lik 0,0001. Til slutt må skrive ut den deriverte.

Algoritme

Ut frå teksten over kan vi prøve å skrive ein algoritme for programmet:

Først definerer vi funksjonen.
Vi definerer ein funksjon for den deriverte.
Vi definerer x-verdien til punktet der vi skal finne den deriverte.
Vi set startverdien til h.
Vi definerer ein variabel na for nøyaktigheit og set han til 0,0001.
Vi set startverdien for den førre tilnærmingsverdien til $h + 1$ og startverdien for den siste tilnærmingsverdien til h.
Vi startar ei lykkje som skal gå så lenge forskjellen mellom to påfølgande tilnærmingar er større enn na.
Inne i lykkja reknar vi ut ei tilnærming og halverer h.
Vi må skrive ut tilnærminga når vi har komme langt nok.

Program

Følg algoritmen over og sjå om du klarer å lage programmet før du ser i boksen. Kanskje er programmet ditt meir effektivt enn vårt, eller berre annleis, men like bra? Hugs alltid at det er mange måtar å lage eit program på.

Forslag til program

Python

1import numpy as np
2
3def f(x):
4    return np.exp(x)+np.log(x)          #definerer funksjonen
5def derivert(x,h):
6    return (f(x+h)-f(x))/h              #definerer tilnærming til den deriverte
7
8x = 2                 #punktet der vi skal finne den deriverte
9h = 1                 #startverdi for h 
10na = 0.0001           #kor nøyaktig vi krev at tilnærminga skal vere 
11forre = h + 1       #eit startpunkt for førre så lykkja startar
12ny = 1
13
14while abs(forre - ny) > na:            #vilkåret for at lykkja skal køyre
15    forre = ny                         #flyttar verdien for siste tilnærming
16    ny = derivert(x,h)                 #legg nyaste tilnærming inn 
17    h = h/2                            #halverer h
18
19print(f'Den deriverte der x = {x}, er omtrent {derivert(x,h):.2f}.')

På oppgåvesida skal du få prøve andre måtar å tilnærme verdien til den deriverte på.