Oppgåve

Lineære ulikskapar

Oppgåvene nedanfor skal løysast utan bruk av hjelpemiddel. Du kan òg prøve å løyse oppgåvene med CAS. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Løys ulikskapane.

a) $x - 3 < 5$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x - 3 & < & 5 \\ x & < & 5 + 3 \\ x & < & 8 \end{array}$

Vi kan òg løyse ulikskapen grafisk:

Koordinatsystem med x-verdiar mellom 0 og 8 og y-verdiar mellom minus 4 og 8. To linjer skjer kvarandre i punktet med koordinatar 8 og 5. Den grøne linja er grafen til funksjonen f av x er lik x minus 3. Den raude linja er grafen til funksjonen g av x er lik 5. Skjermutklipp.

Vi ser at linjene skjer kvarandre i punktet (8, 5), og at linja som beskriv venstre side, ligg under den raude linja når x er mindre enn 8, noko som gir den same løysinga som over.

b) $2 x + 1 > 3$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & > & 3 \\ 2 x & > & 2 \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $2 x - 4 < x - 4$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 2 x - 4 & < & x - 4 \\ 2 x - x & < & - 4 + 4 \\ x & < & 0 \end{array}$

Oppgåve 2

Løys ulikskapane.

a) $3 x - 5 < 5$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 x - 5 & < & 5 \\ 3 x & < & 10 \\ x & < & \frac{10}{3} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 2 x & < & - 6 + 3 \\ 3 x & < & - 3 \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $6 - 5 x \geq 6 (1 - x)$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 6 - 5 x & \geq & 6 (1 - x) \\ 6 - 5 x & \geq & 6 - 6 x \\ - 5 x + 6 x & \geq & 6 - 6 \\ x & \geq & 0 \end{array}$

d) $x - 3 \leq 2 (x + 6)$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x - 3 & \leq & 2 (x + 6) \\ x - 3 & \leq & 2 x + 12 \\ x - 2 x & \leq & 12 + 3 \\ - x & \leq & 15 \end{array}$

Vi deler på $(- 1)$ og snur ulikskapsteiknet:

$x \geq - 15$

Oppgåve 3

Løys ulikskapane.

a) $3 (x - 5) < 5 (x - 2)$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 (x - 5) & < & 5 (x - 2) \\ 3 x - 15 & < & 5 x - 10 \\ 3 x - 5 x & < & - 10 + 15 \\ - 2 x & < & 5 \end{array}$

Vi deler på $(-2)$ og snur ulikskapsteiknet:

$\begin{array}{rcl} x & > & - \frac{5}{2} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 2 x & < & - 6 + 3 \\ 3 x & < & - 3 \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $1 - x \geq 1 + x$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 1 - x & \geq & 1 + x \\ - x - x & \geq & 1 - 1 \\ - 2 x & \geq & 0 \end{array}$

Vi deler på $(-2)$ og snur ulikskapsteiknet:

$\begin{array}{rcl} x & \leq & 0 \end{array}$

d) $3 (2 x - 3) < 6 x - 9$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 (2 x - 3) & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 9 & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 6 x & < & - 9 + 9 \\ 0 x & < & 0 \end{array}$

$0 x$ kan aldri bli mindre enn 0. Det betyr at ulikskapen ikkje har løysing.

e) $3 (2 x - 3) \geq 6 x - 9$

Løysing

Vi ser at vi har nesten den same ulikskapen som over, men vi har "større enn eller lik" i staden for "mindre enn".

Vi får dette resultatet:

$0 x \geq 0$

Vi observerer at $0 x = 0$ for alle verdiar av x. Løysinga blir derfor $x \in ℝ$ .

Dette kan vi òg observere ved å sjå at venstre side og høgre side er like for alle verdiar av x i andre linje av løysinga.

Vi ser på korleis den grafiske løysinga kan sjå ut her:

Koordinatsystem med x-verdiar mellom minus 6 og 12 og y-verdiar mellom minus 8 og 4. Det er teikna to linjer oppå kvarandre. Den bakarste er grøn og viser funksjonen 3 multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt. Linja som ligg oppå, er raud og viser funksjonen 6 x minus 9. Skjermutklipp.

Vi legg merke til at linjene ligg heilt oppå kvarandre, altså vil dei to uttrykka vere like for alle x, som vi òg fann ved rekning.

Oppgåve 4

Løys ulikskapane.

a) $\frac{2}{3} x - 2 \leq - 3$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{3} x - 2 & \leq & - 3 \\ \frac{2 x \cdot 3}{3} - 2 \cdot 3 & \leq & - 3 \cdot 3 \\ 2 x - 6 & \leq & - 9 \\ 2 x & \leq & - 3 \\ x & \leq & - \frac{3}{2} \end{array}$

b) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > \frac{1}{6}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} - \frac{x}{3} & > & \frac{1}{6} \\ \frac{x \cdot 6}{2} - \frac{x \cdot 6}{3} & > & \frac{1 \cdot 6}{6} \\ 3 x - 2 x & > & 1 \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $\frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} \geq 3 - \frac{x}{6}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} & \geq & 3 - \frac{x}{6} \\ \frac{5 x \cdot 12}{2} + \frac{x \cdot 12}{3} - \frac{7 \cdot 12}{4} & \geq & 3 \cdot 12 - \frac{x \cdot 12}{6} \\ 30 x + 4 x - 21 & \geq & 36 - 2 x \\ 36 x & \geq & 57 \\ x & \geq & \frac{57}{36} \\ x & \geq & \frac{19}{12} x \in [\frac{19}{12}, \to 〉 \end{array}$

d) $\frac{3}{2} (2 x - 3) < 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2})$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} (2 x - 3) & < & 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2}) \\ \frac{6 x}{2} - \frac{9}{2} & < & \frac{9 x}{3} + \frac{9}{2} \\ 3 x - 3 x & < & \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \\ 0 x & < & 9 \end{array}$

$0 x$ er alltid mindre enn 9. Det betyr at ulikskapen er gyldig for alle moglege x. Vi kan skrive at $x \in ℝ$ .

Grafisk løysing:

Koordinatsystem med to parallelle linjer. Ei raud linje følger funksjonen 9 multiplisert med parentes x over 3 pluss ein halv parentes slutt, og ei grøn følger funksjonen 3 halve multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt. Skjermutklipp.

Vi observerer at dei to linjene er parallelle, at den raude grafen som er høgre side, alltid vil ligge over den grøne. Det betyr at ulikskapen er oppfylt for alle verdiar av x.

Løysing i CAS:

Løysing av ulikskap i CAS. Det er skrive 3 delt på 2 multiplisert med parentes 2 x minus tre parentes slutt er mindre enn 9 multiplisert med parentes x delt på 3 pluss ein halv parentes slutt. Svaret er gitt som x er lik x. Skjermutklipp.

Vi ser at vi får $x = x$ som løysing. Dette betyr at x kan vere kva som helst, og det gir den same løysinga som over.

Oppgåve 5

Per skal ha sommarjobb som jordbærplukkar. Han har valet mellom to ulike lønnsavtalar:

Han kan få ei fast timelønn på 50 kroner per time og i tillegg 2 kroner for kvar korg han plukkar.
Han kan få 5 kroner for kvar korg han plukkar, men då får han ikkje noka fast timelønn.

Still opp ein ulikskap og finn ut kor mange korger Per må plukke i timen for at avtale 2 skal lønne seg.

Løysing

Vi lar x vere talet på korger Per plukkar, og set opp uttrykk for kvar av dei to lønnsavtalane.

1. $50 + 2 x$

2. $5 x$

Vi får ulikskapen

$\begin{array}{rcl} 5 x & > & 50 + 2 x \\ 3 x & > & 50 \\ x & > & 16, 7 \end{array}$

Per må plukke minst 17 korger i timen for at avtale 2 skal lønne seg.

Oppgåve 6

Kari og familien skal på tur. Dei vil leige bil i fem døgn. Kari har undersøkt ulike leigebiltilbod og funne fram til to aktuelle.

700 kroner per døgn, fri køyrelengde opp til 500 km. Over det må dei betale 5 kroner per kilometer.
1 500 kroner per døgn. Fri køyrelengde.

Still opp ein ulikskap og finn ut kor mange kilometer dei må køyre for at avtale 2 skal lønne seg.

Løysing

Det er klart at dersom køyrelengda er mindre enn eller lik 500 kilometer, så lønner avtale 1 seg (lågare døgnpris). Køyrelengda må altså vere høgare enn 500 kilometer for at avtale 2 skal lønne seg. Vi lar x vere talet på kilometer dei køyrer over 500 kilometer, og set opp uttrykk for dei to tilboda.

1. $700 \cdot 5 + 5 x$

2. $1 500 \cdot 5$

For at avtale 2 skal lønne seg, må uttrykket for avtale 2 vere mindre enn uttrykket for avtale 1.

Vi får

$\begin{array}{rcl} 1 500 \cdot 5 & < & 700 \cdot 5 + 5 x \\ - 5 x & < & 3 500 - 7 500 \\ - 5 x & < & - 4 000 \\ x & > & 800 \end{array}$

Det betyr at dei må køyre meir enn $800 km + 500 km = 1 300 km$ for at avtale 2 skal lønne seg.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Lineære ulikskapar(DOCX)
Lineære ulikskapar(PDF)

Ulikskapar

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Oppgåve 6

Nedlastbare filer