Cosinussetninga

Vi kjenner ikkje den motståande sida til den eine vinkelen som er gitt. Då vil vi få to ukjende uansett korleis vi prøver å setje opp sinussetninga, så vi kan ikkje bruke ho til å løyse oppgåva.

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel A og løyser med CAS i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& b^2+c^2-2·b·c·\cos A\\ a^2 & =& 5,0^2+7,0^2-2·5,0·7,0·\cos 39°\end{array}$

Vi ser bort frå den negative løysninga.

Sida $a=4,4 \mathrm{cm}$.

Vi kjenner heller ikkje her den motståande sida til den eine vinkelen som er gitt, så vi kan ikkje bruke sinussetninga til å løyse oppgåva.

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel B og løyser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}{b}^2 & =& a^2+c^2-2·a·c·\cos B\\ b^2 & =& 8,7^2+12,3^2-2·8,7·12,3·\cos 115,5°\end{array}$

Sida $b=17,9 \mathrm{dm}$.

Sida x, som vi skal finne, er motståande side til den gitte vinkelen. Når vi skal setje opp cosinussetninga, startar vi derfor med $x^2$. Vi får

$x^2=2,3^2+4,5^2-2·2,3·4,5·\cos 23,6°$

Sida $x=2,6 \mathrm{cm}$.

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga for vinkel $A$, som har sida som er 6,0 cm til motståande side. Då får vi

$6,0^2={14}^2+{19}^2-2·14·19·\cos A$

Vinkel $A=11,7°$.

Sinussetninga gir

$\frac{\sin C}{19}=\frac{\sin 11.67°}{6.0}$

Her får vi to moglege løysingar når vi set $k_1=0$ i dei to svaralternativa:

$C=39,8° \vee C=140,2$

Kan begge alternativa vere riktige? Ut frå måla i trekanten kan vi slå fast at vinkel C må vere den største vinkelen sidan han har størst motståande side. Då kan ikkje vinkel C vere 39,8 gradar. Så det riktige svaret er at $C=140,2°$.

Vi set opp cosinussetninga med utgangspunktet i vinkel C.

$\begin{array}{rcl}{c}^2 & =& a^2+b^2-2·a·b·\cos C\\ {19}^2 & =& 6,0^2+{14}^2-2·6,0·14·\cos C\end{array}$

Det første svaralternativet gir ingen moglege løysingar fordi når $k_1=1$, får vi ein vinkel som er større enn 180 gradar. Det andre svaralternativet gir, når $k_1=0$, at

$C=140,2°$

Med cosinussetninga får vi eitt mogleg svaralternativ. Grunnen til at vi får to moglege svaralternativ med sinussetninga, er at informasjonen om at $AC=14 \mathrm{cm}$, ikkje inngår i utrekninga. Det er to trekantar som passar med den informasjonen vi puttar inn i sinussetninga, men berre éin av dei der $AC=14 \mathrm{cm}$.

Dei to moglege trekantane er trekanten ABC og trekanten $AB{C}_2$.

For å rekne ut BC med sinussetninga må vi først finne vinkel A. Og då må vi først finne vinkel C, som vi kan finne med sinussetninga. Det blir ein del arbeid.

For å rekne ut BC med cosinussetninga kan vi setje ho opp med utgangspunkt i vinkel B. Då er berre BC ukjend.

Ut ifrå oppgåve b) vel vi å bruke cosinussetninga. Vi får

$\begin{array}{rcl}A{C}^2 & =& A{B}^2+B{C}^2-2·AB·BC·\cos B\\ 6^2 & =& 8^2+B{C}^2-2·8·BC·\cos 30°\end{array}$

Vi får to moglege trekantar, ein der BC er 2,5 cm, og ein der BC er 11,4 cm.

Trekantane kan sjå ut som nedanfor, der vi har kalla dei to moglege punkta C for $C_1$ og $C_2$.

Vi får det same oppsettet som i den førre oppgåva.

Vi får inga løysing. Det betyr at AC ikkje kan vere så kort som 3 cm, eller det går ikkje an å lage ein trekant ABC der $AB=8,0 \mathrm{cm}, AC=3,0 \mathrm{cm}$ og $\angle B=30°$.

Nedanfor har vi skissert korleis dette ser ut.

Den kortaste moglege lengda AC kan ha, er når linjestykket frå A til det høgre vinkelbeinet til vinkel B står 90 gradar på vinkelbeinet.

Då har vi ein rettvinkla trekant der AB er hypotenusen og AC er motståande katet. Det betyr at

$\begin{array}{rcl}\sin B & =& \frac{AC}{AB}\\ \sin 30° & =& \frac{AC}{8} |·8\\ \frac{1}{2}·8 & =& AC\\ AC & =& 4\end{array}$

Den kortaste moglege lengda AC kan ha, er 4 cm.

Her kunne vi òg ha brukt at i ein rettvinkla trekant der dei to andre vinklane er 30 og 60 gradar, er den minste kateten halvparten av hypotenusen.

Frå d) og e) har vi at det er ingen trekant dersom BC er mindre enn 4 cm. Frå e) har vi at det er éin mogleg trekant dersom BC er 4 cm, for då rekk BC akkurat opp til det venstre vinkelbeinet til vinkel A. Vi får to moglege trekantar dersom BC er større enn 4,0 cm, men det gjeld berre til BC blir like lang som AB. Så dersom BC er større enn eller lik AB, er det igjen berre éin mogleg trekant. Vi oppsummerer:

• ingen trekant: $BC<4,0 \mathrm{cm}$

• éin mogleg trekant: $BC=4,0 \mathrm{cm} \vee BC\ge 8,0 \mathrm{cm}$

• to moglege trekantar: $4,0 \mathrm{cm}<BC<8,0 \mathrm{cm}$

Sjå òg oppgåve 3 på oppgåvesida "Sinussetninga".

Vi tek utgangspunkt i same cosinussetning som før.

$\begin{array}{rcl} A{C}^2 & =& A{B}^2+B{C}^2-2·AB·BC·\cos B\\ A{C}^2 & =& 8^2+B{C}^2-2·8·BC·\cos 30°\end{array}$

Vi ønsker å løyse denne med omsyn på BC. Då må vi bruke kommandoen "Løys(<likning>, <variabel>)" i staden for berre å trykke direkte på knappen for eksakt løysing av ei likning.

Vi får at når rotteiknet er null, det vil seie at $AC=4$, blir det berre éi løysing. Vi får vidare at når $AC<4$, blir det negativt under rotteiknet, og då er det inga løysing.

Dersom $AC>4$, har likninga alltid to løysingar. Men vi kan ikkje ha negative løysingar, og løysingar som er null, gir ingen trekant. Den andre løysinga i linje 2 er alltid positiv. Den første løysinga blir negativ når AC blir stor nok. Frå den første løysinga set vi opp ei likning som vi løyser med GeoGebra.

$-\sqrt{A{C}^2-16}+4\sqrt{3}=0$

Vi får derfor to moglege trekantar når AC er mindre enn 8 (og større enn 4). Det er fordi at dersom AC er større enn 8, blir ho større enn sida AB. Vi får ein trekant då òg, men då er ikkje vinkel B lik 30 gradar lenger. (Kvifor ikkje?) Når AC er akkurat lik 8, gir den første løysinga $BC=0$ og dermed ingen trekant.

Totalt gir dette det same resultatet som vi kom fram til i oppgåve f).

Trekanten er likebeint sidan to av sidene er like. Då er òg to av vinklane like, nemleg dei to som begge har den kortaste sida som vinkelbein. Vi kallar dei to like vinklane v og den tredje vinkelen u. Så bruker vi cosinussetninga til å bestemme cosinus til vinklane.

Den tredje vinkelen u har den kortaste sida som motståande side. Vi får

$\begin{array}{rcl}{4}^2& = & 5^2+5^2-2·5·5·\cos u\\ 50·\cos u& =& 25+25-16\\ \cos u& =& \frac{34}{50}=\frac{17}{25}\end{array}$

Dersom vi feller ned normalen frå toppunktet i trekanten ned på den kortaste sida, deler normalen sida i to like delar som har lengde 2. Då får vi to rettvinkla trekantar der

$\cos v=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{2}{5}$

Alternativt kan vi finne v med cosinussetninga ved å bruke at begge vinklane v har ei av dei lengste sidene som motståande side. Dette gir

$\begin{array}{rcl}{5}^2& = & 5^2+4^2-2·5·4·\cos v\\ 40·\cos v& =& 25+16-25\\ \cos v& =& \frac{16}{40}=\frac{2}{5}\end{array}$

Vi bruker cosinussetninga til å bestemme $AB$.

$\begin{array}{rcl}A{B}^2& =& A{C}^2+B{C}^2-2·AB·BC·\cos C\\ A{B}^2& = & 6^2+3^2-2·6·3·\frac{5}{9}\\ & =& 36+9-20\\ & =& 25\\ AB& =& 5 \vee \cancel{AB=-5}\end{array}$

Vi får at $AB=5$.

Vi bruker cosinussetninga til å bestemme $\cos A$.

$\begin{array}{rcl}B{C}^2& =& A{C}^2+A{B}^2-2·6·5·\cos A\\ 3^2& = & 6^2+5^2-2·6·5·\cos A\\ 60·\cos A& =& 36+25-9\\ \cos A& =& \frac{52}{60}=\frac{13}{15}\end{array}$

Vi bruker òg cosinussetninga til å bestemme $\cos B$.

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& =& B{C}^2+A{B}^2-2·BC·AB·\cos B\\ 6^2& = & 3^2+5^2-2·3·5·\cos B\\ 30·\cos B& =& 9+25-36\\ \cos B& =& \frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}\end{array}$

Sidan $\cos B<0$, veit vi at $\angle B>90°$. Dei to andre vinklane må dermed vere mindre enn 90 gradar.