Å løyse andregradslikningar med abc-formelen

Vi ser på den generelle andregradslikninga $a{x}^2+bx+c=0$. Her får vi eit lite problem ved at dei same bokstavane $a$ og $b$ er brukte både til å illustrere kvadratsetninga og andregradsuttrykket. Vi løyser dette ved å bruke bokstavane $x$ og $k$ i kvadratsetninga slik at denne blir

${\left(x+k\right)}^2=x^2+2xk+k^2$

Det er godt mogleg at du kan komme fram til abc-formelen på eiga hand. Prøv deg utan å sjå på løysinga.

Tips: Bruk metoden med å danne fullstendig kvadrat.

Utleiing av abc-formelen

$$ \begin{array}{rcl} a{x}^2+bx+c& = & 0 \mathrm{Vi} \mathrm{dividerer} \mathrm{med} a \mathrm{i} \mathrm{alle} \mathrm{ledda}.\\ & & \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}& =& 0 \\ & & \\ x^2+\frac{b}{a}x+k^2& =& -\frac{c}{a}+k^2 \mathrm{Vi} \mathrm{må} \mathrm{ha} 2xk=\frac{b}{a}x\Rightarrow k=\frac{b}{2a}.\\ & & \\ x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2& =& -\frac{c}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\\ & & \\ {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2& =& \frac{b^2}{4a^2}-\frac{4a·c}{4a·a}\\ & & \\ {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2& =& \frac{b^2-4ac}{4a^2}\end{array}$$

$\begin{array}{rcl}& & \\ x+\frac{b}{2a}& = & +\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \mathrm{eller} x+\frac{b}{2a}=-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ & & \\ x& =& -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \mathrm{eller} x=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & & \\ x& =& \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \mathrm{eller} x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$

Når vi løyser ei andregradslikning med abc-formelen, ordnar vi først likninga slik at ho kjem på forma $a{x}^2+bx+c=0$.

Du hugsar kanskje at vi definerte kvadratrota berre til positive tal og null? Det vil seie at andregradslikninga ikkje har løysingar mellom dei reelle tala når det som står under rotteiknet, er mindre enn null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker, då gir løysingar med bokstaven $$ i$$? Det vil seie at løysinga er såkalla imaginær. For oss betyr det likevel at likninga ikkje har noka løysing.

Andregradslikninga har berre éi løysing når det som står under rotteiknet, er lik null.

Vi skal no sjå på nokre døme på bruk av abc-formelen.

Døme 1

$\begin{array}{rcl} x^2& = & 5-4x\\ & & \\ x^2+4x-5& =& 0 \mathrm{Vi} \mathrm{ordnar} \mathrm{likninga} \mathrm{og} \begin{array}{rcl}& & \mathrm{finn}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \mathrm{at}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & a\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 1\end{array}\begin{array}{rcl}& & ,\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & b\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 4\end{array}\begin{array}{rcl}& & ,\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & c\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & 5\end{array}\begin{array}{rcl}& & .\end{array}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-5\right)}}{2·1} \mathrm{Vi} \mathrm{set\; inn} \mathrm{i} \mathrm{formelen}.\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4+6}{2} \mathrm{eller} x=\frac{-4-6}{2}\\ & & \\ x& =& 1 \mathrm{eller} x=-5\end{array}$

Likninga har to løysingar. Det er altså to verdiar for $x$ som passar i den opphavlege likninga.

Døme 2

$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}=\frac{-4\pm 0}{2}=-2\\ & & \\ x& =& -2\end{array}$

Uttrykket under rotteiknet er null, og vi får berre éi løysing.

Døme 3

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·4}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{4-16}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{-12}}{2}\\ & & \\ & & \mathrm{Inga} \mathrm{løysing}\end{array}$

Vi får $-12$ under rotteiknet, og $\sqrt{-12}$ er ikkje definert når vi reknar med reelle tal. Vi får derfor inga løysing, det vil seie at det ikkje finst noko reelt tal som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likninga blir null.

Ved CAS i GeoGebra får vi løysingane nedanfor ved å bruke knappen $\boxed{\underset{}{\overset{}{\mathrm{x}}}=}$.

Legg merke til markeringa for "inga løysing" i linje 3.