Metoden med fullstendige kvadrat
Eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.
Til dømes er uttrykka
Vi bruker ofte bokstavane a og b både i kvadratsetningane og i den generelle formelen for andregradsuttrykk. Det kan komplisere føringa, så vi vel her å bruke andre bokstavar for å gjere det enkelt. Då får vi kvadratsetningane på denne forma:
Å kjenne igjen eit fullstendig kvadrat
Det er ikkje alltid så lett å sjå med ein gong om eit andregradsuttrykk på forma
Vi ser at andregradsleddet og konstantleddet er positivt.
Vi set
og . Vi må sjekke om det midtarste leddet kan skrivast som
. I dette tilfellet får vi at , noko som stemmer med kravet. Krava i punkta 1 og 3 er oppfylte, dermed har vi at
Trinnvis framgangsmåte
Vi skal sjekke om uttrykket
Vi sjekkar om andregradsleddet og konstantleddet er positivt.
Vi set
og . Vi sjekkar om førstegradsleddet, bx , kan skrivast som
. Dersom krava i punkta 1 og 3 er oppfylte, har vi eit fullstendig kvadrat, og vi kan skrive uttrykket slik:
Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrat, men det er mogleg å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage eit fullstendig kvadrat av dei to første ledda og så bruke konjugatsetninga. Det er som oftast enklare å bruke andre metodar for å faktorisere andregradsuttrykk, men metoden er likevel viktig som eit grunnlag for å forstå meir om andregradsuttrykk, andregradslikningar og seinare òg likningar for sirklar og kuler.
Vi viser metoden ved å gå gjennom eit døme.
Vi skal faktorisere andregradsuttrykket
Vi legg først konstantleddet litt til side og konsentrerer oss om dei to første ledda i uttrykket,
Vi set
Dette betyr at vi må legge til
Uttrykket
Her får vi
Trinnvis framgangsmåte
Vi skal faktorisere uttrykket
Vi set
. Så set vi
og reknar ut p. Vi legg til
for å fullføre kvadratet og trekker frå igjen. Vi skriv dei tre første ledda som
og trekker saman konstantledda. Til slutt faktoriserer vi ved hjelp av konjugatsetninga.
🤔 Tenk over: Dersom koeffisienten a til