Oppgåve

Areal og omkrins av plane figurar

Oppgåvene nedanfor kan løysast med alle hjelpemiddel dersom det ikkje står noko anna. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

a) Korleis reknar vi ut arealet av eit rektangel?

Løysing

Vi gongar saman lengda av arealet og breidda.

I et rektangel er lengden 3 centimeter og bredden 2 centimeter. Illustrasjon.

b) Rekn ut arealet av rektangelet i kvadratcentimeter ( ${cm}^{2}$ ).

Løysing

Arealet blir

$3 cm · 2 {cm = 6 cm}^{2}$

c) Kva blir lengda og breidda på rektangelet målt i mm?

Løysing

Lengda i mm blir $3 cm = 30 mm$ .

Breidda i mm blir $2 cm = 20 mm$ .

d) Bruk svara i oppgåve c) og rekn ut arealet av rektangelet målt i kvadratmillimeter ( ${mm}^{2}$ ).

Løysing

Arealet i ${mm}^{2}$ blir

$30 mm \cdot 20 mm = 600 {mm}^{2}$ .

e) Ut ifrå svara i oppgåve a) og d): Kor mange ${mm}^{2}$ er det i $1 {cm}^{2}$ ?

Løysing

Vi får at $6 {cm}^{2}$ er det same som $600 {mm}^{2}$ sidan det er det same arealet vi reknar på. Det betyr at i 1 ${cm}^{2}$ er det $100 {mm}^{2}$ .

Oppgåve 2

Løys oppgåva utan hjelpemiddel.

Fyll ut tabellen.

Arealeiningar
$m^{2}$	${dm}^{2}$	${cm}^{2}$	${mm}^{2}$
1,2	120	12 000	1 200 000
	15
		250
			760 000

Løysing

Arealeiningar
$m^{2}$	${dm}^{2}$	${cm}^{2}$	${mm}^{2}$
1,2	120	12 000	1 200 000
0,15	15	1 500	150 000
0,025	2,5	250	25 000
0,76	76	7 600	760 000

Oppgåve 3

Løys oppgåva utan hjelpemiddel.

Gjer om til kvadratdesimeter, ${dm}^{2}$ .

a) 670 ${cm}^{2}$

b) 120 $m^{2}$

c) 900 ${cm}^{2}$

Løysing

a) 6.70 ${dm}^{2}$

b) 12 000 ${dm}^{2}$

c) 9,00 ${dm}^{2}$

Oppgåve 4

Løys oppgåva utan hjelpemiddel.

Legg saman og skriv svaret i kvadratmeter, $m^{2}$ .

a) $34 {dm}^{2} + 800 {cm}^{2} + 8, 9 {dm}^{2}$

b) $430 000 {mm}^{2} + 7 800 {cm}^{2} + 45 {dm}^{2}$

Løysing

a) $0, 34 m^{2} + 0, 08 m^{2} + 0, 089 m^{2} = 0, 509 m^{2}$

b) $0, 43 m^{2} + 0, 78 m^{2} + 0, 45 m^{2} = 1, 66 m^{2}$

Oppgåve 5

Løys oppgåva utan hjelpemiddel.

Legg saman og skriv svaret i kvadratcentimeter, ${cm}^{2}$ .

a) $3, 1 m^{2} + 80 {dm}^{2} + 79 000 {mm}^{2}$

b) $8 300 {mm}^{2} + 7 {dm}^{2} + 0, 05 m^{2}$

Løysing

a) $31 000 {cm}^{2} + 8 000 {cm}^{2} + 790 {cm}^{2} = 39790 {cm}^{2}$

b) $83, 0 {cm}^{2} + 700 {cm}^{2} + 500 {cm}^{2} = 1283 {cm}^{2}$

Oppgåve 6

Gitt rektangelet ABCD nedanfor.

Rektangel A B C D der A B er 6,0 meter og B C er 2,0 meter. Illustrasjon.

a) Rekn ut arealet av rektangelet.

Løysing

Arealet er $6 m \cdot 2 m = 12 m^{2}$ .

b) Rekn ut lengden av diagonalen AC.

Løysing

Bruker pytagorassetninga og finn diagonalen.

$\begin{array}{rcl} A C^{2} & = & 6, 0^{2} + 2, 0^{2} \\ A C & = & 6, 32 \end{array}$

Diagonalen AC er ca. 6,3 meter.

c) Rekn ut arealet av trekanten ABC.

Løysing

Arealet av trekanten ABC er

$\frac{6, 0 m \cdot 2, 0 m}{2} = 6, 0 m^{2}$

d) Kva er arealet av trekanten ACD?

Løysing

Trekantane ABC og ACD er formlike og like store.

Arealet av ABC er derfor det same som arealet av ACD, altså $6, 0 m^{2}$ .

Oppgåve 7

Eit kvadrat har sidelengd på 10,0 cm. Rekn ut arealet av kvadratet.

Løysing

Sidene i eit kvadrat har lik lengd.

Arealet av kvadratet er

$10, 0 cm \cdot 10, 0 cm = 100, 0 {cm}^{2}$

Oppgåve 8

a) Mål opp pulten din og rekn ut arealet.
b) Sjekk om du får same areal som eleven nærmast deg.
c) Kva er årsaka dersom de ikkje fekk same svar? Målefeil? Ulik storleik? Avrunding?

Oppgåve 9

Gitt firkanten ABCD.

Trapes A B C D der hjørnet A er 90 grader og sidene A B og C D er parallelle. Sida A D er 2 meter og sida C D er 6 meter. Normalen frå C ned på A B treff A B i punktet F. Sida B F er 3 meter lang. Illustrasjon.

a) Kva slags type firkant er dette? Forklar kvifor.

Løysing

Firkanten ABCD er eit trapes fordi sidene AB og CD er parallelle.

b) Finn arealet av firkanten ABCD.

Løysing

Sidelengda AB er

$6 m + 3 m = 9 m$

Arealet av trapeset ABCD er

$(\frac{9 m + 6 m}{2}) \cdot 2 m = \frac{15 m}{2} \cdot 2 m = 15 m^{2}$

c) Finn arealet av trekanten FBC og rektangelet AFCD.

Løysing

Arealet av trekanten $F B C$ er

$\frac{3 m \cdot 2 m}{2} = 3 m^{2}$

Arealet av rektangelet $A F C D$ er

$6 m \cdot 2 m = 12 m^{2}$

d) Legg saman areala du fann i b). Kva observerer du?

Løysing

Summen blir $3 m^{2} + 12 m^{2} = 15 m^{2}$ .

Arealet av trekanten + arealet av rektangelet er det same som arealet av trapeset. (Heldigvis :))

Oppgåve 10

Finn arealet av parallellogrammet EFGH.

Parallellogram E F G H der sida G H er 4 desimeter og normalen frå H ned på sida E F har lengda 2 desimeter. Illustrasjon.

Løysing

Arealet av parallellogrammet EFGH er grunnlinja multiplisert med høgda.

$4 dm \cdot 2 dm = 8 {dm}^{2}$

Oppgåve 11

Finn arealet av trekanten $A B C$ .

I trekanten A B C er A B 2 centimeter og B C 5 centimeter. Høgda h går ned frå C og treff forlengingslinja gjennom A B 3 centimeter utanfor B. Illustrasjon.

Løysing

Finn først høgda h fra C ned på linja gjennom AB.

Pytagorassetninga gir:

$\begin{array}{rcl} h^{2} & = & 5^{2} - 3^{2} \\ h^{2} & = & 25 - 9 \\ h & = & \sqrt{16} \\ h & = & 4 \end{array}$

Arealet av trekanten ABC er

$\frac{grunnlinje \cdot høgde}{2} = \frac{2 cm \cdot 4 cm}{2} = 4 {cm}^{2}$

Oppgåve 12

Rekn ut arealet av sirkelen.

Sirkel med sentrum S og radius 3,0 centimeter. Illustrasjon.

Løysing

$3, 14 \cdot 3, 0^{2} = 28, 27$

Arealet av sirkelen er $28 {cm}^{2}$ .

Oppgåve 13

Gitt ein halvsirkel med radius 5 m. Rekn ut arealet av halvsirkelen.

Halvsirkel med sentrum i S og radius 5,0 meter. Illustrasjon.

Løysing

$\frac{3, 14 \cdot 5, 0^{2}}{2} = 39, 27$

Arealet av halvsirkelen er $39 m^{2}$ .

Oppgåve 14

Ei DVD-plate har ein diameter på 12,0 cm. Inst er det eit hol med ein diameter på 1,5 cm.
Finn arealet av DVD-plata.

Løysing

Radien til DVD-plata er 6,0 cm, og radien til holet er 0,75 cm.

$3, 14 \cdot 6, 0^{2} - 3, 14 \cdot 0, 75^{2} = 111, 33$

Arealet av DVD-plata er $111 {cm}^{2}$ .

Oppgåve 15

Mangekant som er bygd opp av to delvis overlappande rektangel der sidene er parvis parallelle. Det eine rektangelet har måla 8000 millimeter og 7000 millimeter, medan det andre har måla 8000 millimeter og 6000 millimeter. Overlappet mellom rektangla er også rektangelforma og har måla 2500 millimeter og 3000 millimeter. Frå motsatt ende av sida som overlappar med 2500 millimeter går ei av sidene i mangekanten direkte til næraste hjørne på det andre rektangelet. Illustrasjon.

Stian skal setje opp eit bygg. Grunnflata har form som vist på teikninga ovanfor. Alle måla er gitt i millimeter (mm).

Vis at grunnflata til bygget har eit areal på $107, 5 m^{2}$ .

Løysing

Oppgaven kan løses på flere måter. Løsningen her er bare ett av mange alternativ.

Metode:

Finn arealet av dei to store firkantane.

Legg til arealet av trekanten.

Trekkjer i frå det området der dei to firkantane overlappar kvarandre.

Areal av den øvste store firkanten:

$7, 0 m \cdot 8, 0 m = 56, 0 m^{2}$

Areal av den nedste store firkanten:

$8, 0 m \cdot 6, 0 m = 48, 0 m^{2}$

Areal av trekanten:
$\frac{(8, 0 m - 2, 5 m) \cdot 7, 0 m \cdot 3, 0 m)}{2} = \frac{5, 5 m \cdot 4, 0 m}{2} = 11, 0 m^{2}$

Areal av det området som blir med i begge dei store firkantene:

$2, 5 m \cdot 3, 0 m = 7, 5 m^{2}$

Samla areal blir:

$56, 0 m^{2} + 48, 0 m^{2} + 11, 0 m^{2} - 7, 5 m^{2} = 107, 5 m^{2}$

Oppgåve 16

Figur med utgangspunkt i ein likesidet trekant med sider lik 30,0 centimeter. Midt på ei av sidene er det skore ut ein halvsirkel med diameter 10,0 centimeter. Illustrasjon.

Figuren viser ein likesida trekant med sider 30,0 cm. Utskjeringa er ein halvsirkel med diameter 10,0 cm.

a) Rekn ut høgda i trekanten.

Løysing

Trekanten er likesida. Høgda treff dermed midt på grunnlinja.

Bruk pytagorassetninga og finn høgda h i trekanten.

$\begin{array}{rcl} h^{2} + 15^{2} & = & 30^{2} \\ h^{2} & = & 900 - 225 \\ h^{2} & = & 675 \\ h & = & \sqrt{675} = 25, 98 \end{array}$

Høgda i trekanten er ca. 26,0 cm.

b) Rekn ut arealet av den utskorne trekanten.

Løysing

Arealet av heile trekanten minus arealet av halvsirkelen.

$\frac{30, 0 \cdot 26, 0}{2} - \frac{3, 14 \cdot 5, 0^{2}}{2} = 350, 73$

Arealet er $351 {cm}^{2}$ .

c) Rekn ut omkrinsen av den utskorne trekanten.

Løysing

Omkrinsen av halvsirkelen er $\frac{π \cdot d}{2}$ .

$\frac{3, 14 \cdot 10}{2} + 30 \cdot 2 + 30 - 10 = 95, 71$

Omkrinsen av trekanten blir dermed 95,7 cm.

Oppgåve 17

Figuren nedanfor viser ei arbeidsteikning. Måla er sette på figuren.

Figur sett sammen av to rektangel og ein likebeina trekant. Inntil den kortaste sida av det første rektangelet er langsiden til det andre rektangelet plassert slik at det stikk ut like mykje på kvar side. Den andre langsida dannar grunnlinja i trekanten, der høgda er 8 centimeter. Grunnlinja i trekanten er største breidde på figuren, som er 12 centimeter. Kortsida i det første rektangelet er 6 centimeter. Heile lengda av figuren er 23 centimeter. Heile lengda på figuren med unntak av trekantdelen er 13 centimeter. Illustrasjon.

Rekn ut overflata (arealet) av gjenstanden.

Løysing

Overflata av det store rektangelet:

$6 cm \cdot 13 cm = 78 {cm}^{2}$

Overflata av det vesle rektangelet:

$2 cm \cdot 12 cm = 24 {cm}^{2}$

Overflata av trekanten:

$\frac{12 cm \cdot 8 cm}{2} = 48 {cm}^{2}$

Samla overflate av gjenstanden:

$78 {cm}^{2} + 24 {cm}^{2} + 48 {cm}^{2} = 150 {cm}^{2}$

Oppgåve 18

Kva for ein figur har størst areal, ein sirkel med radius 4,00 cm eller eit kvadrat med sidelengd 7,00 cm?

Løysing

Areal av sirkelen: $π \cdot r^{2} = 3, 14 \cdot 4, 0^{2} = 50, 27 {cm}^{2}$

Areal av kvadratet: $7, 00^{2} {cm}^{2} = 49 {cm}^{2}$

Arealet av sirkelen er størst.

Oppgåve 19

Rekn ut arealet av det skraverte området på figuren.

Rektangel med lengde 6,0 meter og bredde 3,0 meter dekket av to kvarte sirkler med radius 3,0 meter og som er plassert med sentrum i to hjørner diagonalt overfor hverandre. Illustrasjon.

Løysing

Areal av heile rektangelet: $6, 0 m \cdot 3, 0 m = 18 m^{2}$

Areal av dei to kvartsirklane: $2 \cdot \frac{π \cdot (3, 0 m)^{2}}{4} = 14, 13 m^{2}$

Arealet av det skraverte området blir: $18 m^{2} - 14, 13 m^{2} = 3, 87 m^{2} \approx 3, 9 m^{2}$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Areal og omkrins av plane figurar(DOCX)
Areal og omkrins av plane figurar(PDF)

Geometri i praksis