Likningssett

Ein familie med tre barn og to vaksne betaler 380 kroner for å kome inn på ein fotballkamp.

Ein annan familie med fire barn og tre vaksne betaler 540 kroner. Vi ønskjer å finne ut kva billettprisen er for barn, og kva billettprisen er for vaksne.

La $$ x$$ vere billettprisen i kroner for barn og $$ y$$ billettprisen i kroner for vaksne.

Prisen den første familien betaler, gir likninga

$3x+2y=380$

Dette er ei likning med to ukjende, og det finst mange par av tal for $x$ og $y$ som passar i likninga. Prisen den andre familien betaler, gir likninga

$4x+3y=540$

Det finst òg her mange par av tal for $x$ og $y$ som passar i likninga, men det finst berre eitt par av tal for $x$ og $y$ som passar i begge likningane.

To likningar med dei same to ukjende storleikane, kallar vi for eit likningssett. Å løyse eit likningssett går ut på å finne dei verdiane for $x$ og $y$ som passar i begge likningane.

Ein metode for å løyse eit likningssett ved rekning er innsetjingsmetoden.

Når vi bruker denne metoden, byrjar vi med å finne eit uttrykk for den eine ukjende uttrykt med den andre ukjende ved hjelp av ei av likningane. I dømet vårt kan den første likninga gi

$\begin{array}{rcl}3x+2y& = & 380\\ & & \\ 2y& =& 380-3x\\ & & \\ y& =& 190-\frac{3}{2}x\end{array}$

Så set vi dette uttrykket inn for $y$ i den andre likninga, derav namnet innsetjingsmetoden. Hugs å bruke parentesar.

$\begin{array}{rcl} 4x+3y& = & 540\\ & & \\ 4x+3\left(190-\frac{3}{2}x\right)& =& 540\end{array}$

På denne måten får vi éi likning med éin ukjend og kan løyse denne.

$\begin{array}{rcl} 4x+570-\frac{9}{2}x& = & 540\\ & & \\ 2·4x+2·570-2·\frac{9}{2}x& =& 2·540\\ & & \\ 8x-9x& =& 1080-1140\\ & & \\ x& =& 60\\ & & \end{array}$

Til slutt set vi denne verdien for $x$ inn i uttrykket vi fann for $y$:

$\begin{array}{rcl}y& = & 190-\frac{3}{2}x\\ & & \\ y& =& 190-\frac{3}{2}·60\\ & & \\ y& =& 100\end{array}$

Billettprisen for vaksne er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

Ver merksam på at du kan velje både kva likning og kva for ein ukjend du vil starte med. Du kan prøve å velje slik at du unngår brøkar. Då blir utrekninga som oftast enklare.

Det finst òg andre metodar for å løyse likningssett med rekning. I det neste dømet skal vi bruke ein metode som vi kallar addisjonsmetoden.

Mora til Kari var 32 år då Kari vart fødd. I dag er Kari og mora til saman 64 år.

Kva er alderen til Kari og mora i dag?

Løysing

La $x$ vere alderen til Kari og $y$ alderen til mora.

Kari og mora er til saman 64 år. Dette gir likninga $x+y=64$.

Kari vart fødd for $x$ år sidan. Då var mora til Kari 32 år. I dag er mora $y$ år.

Dette gir likninga $32+x=y$.

Vi har då

$\begin{array}{rcl} x+y& = & 64\\ & & \\ 32+x& =& y\end{array}$

Vi ordnar likningane og får

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 64\\ & & \\ x-y& =& -32\end{array}$

Sidan venstresidene i begge likningane er lik høgresidene, må summen av venstresidene vere lik summen av høgresidene. Vi adderer derfor venstresidene og høgresidene kvar for seg og set dei lik kvarandre.

$\begin{array}{rcl}x+x+y-y& = & 64-32\\ & & \\ 2x& =& 32\\ & & \\ x& =& 16\end{array}$

No fall ledda med $y$ bort, og likninga med berre $x$ som ukjend gav at Kari er 16 år.

Vi kan no finne ut kor gammal mora er ved å bruke ei av likningane.

$\begin{array}{rcl} 32+x& = & y\\ & & \\ 32+16& =& y\\ & & \\ y& =& 48\end{array}$

Mora er 48 år.

Vi har altså vist at i dag er mora til Kari 48 år, og Kari er 16 år.

For at vi skal kome i mål med addisjonsmetoden, må ledda med ein av dei ukjende falle bort under addisjonen. Det kan vi som oftast få til å skje ved først å multiplisere likningane i likningssettet med passande tal. Innsetjingsmetoden er likevel den metoden som blir tilrådd. Han fungerer alltid.

Ein tredje metode vi kan bruke for å løyse eit likningssett, er grafisk løysing. Ved grafisk løysing bruker vi eit koordinatsystem.

La $x$ vere alderen til Kari og $y$ alderen til mora.

Vi så tidlegare at oppgåva gir opphav til likningssettet

$$ \begin{array}{rcl}x+y & =& 64\\ 32+x & =& y\end{array}$$

Vi kan no skrive inn kvar av likningane i GeoGebra. Vi får då ein graf som viser samanhøyrande verdiar for $x$ og $y$ for kvar likning.

Algebrafeltet i GeoGebra kan då sjå slik ut:

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}⬤& & \mathrm{eq}1: \text{x}+\text{y}=64\\ ⬤& & \mathrm{eq}2: 32 + \text{x = y}\\ ⬤& & \text{A}=\mathrm{Skjering}(\mathrm{eq}1,\mathrm{eq}2)\\ & & \to (16, 48)\end{array}}$$

Her har vi skrive inn ei og ei av likningane og fått dei teikna opp. Så har vi brukt verktøyet "Skjering mellom to objekt" (under knappen for nytt punkt i knapperada).

Skjeringspunktet mellom grafane viser at Kari i dag er 16 år, og at mora er 48 år.

Vi kan òg gjere dette utan å bruke eit digitalt verktøy. For kvar av likningane vel vi då nokre verdiar for $x$ og reknar ut den tilhøyrande verdien for $y$. Så teiknar vi grafane i eit koordinatsystem og finn skjeringspunktet.

Utfordring: Forsøk å løyse likningssettet grafisk utan å bruke eit digitalt verktøy.

Ved CAS i GeoGebra kan du òg løyse likningssett algebraisk (ved rekning). Vi viser her to måtar dette kan gjerast på.

I rute 1 har vi brukt kommandoen "Løys(<Liste med likningar>,<Liste med variablar>)". Her må du passe på å gi listene med sløyfeparentesar. Du kan utelate den siste sløyfeparentesen når det berre er $$ x$$ og $$ y$$ i likningane og ikkje andre bokstavar. Kommandoen blir då

Løys({3x+2y=380,4x+3y=540})

Den kanskje lettaste måten er å skrive inn likningane i kvar si rute, markere linje 1 og 2 ved å merkje dei grå felta og så bruke knappen $$ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$ for "å løyse ei eller fleire likningar". Då kjem løysinga i den neste ruta.

Ein dag kjøpte Sara, Trym og Miriam frukt på torget. Tabellen nedanfor viser kva kvar av dei tre handla, og kva dei måtte betale.

Vi skal no sjå at vi kan rekne ut kiloprisen for dei enkelte fruktslaga ved å setje opp og løyse eit likningssett med tre likningar.

Vi lèt $x$ vere kiloprisen på morellar, $y$ kiloprisen på jordbær og $z$ kiloprisen på pærer. Då kan vi setje opp dei følgjande tre likningane ut frå opplysningane i tabellen.

$\begin{array}{l}\mathrm{i}) 2x+3y+z=370\\ \\ \mathrm{ii}) 3x+2y+3z=450\\ \\ \mathrm{iii}) 3x+y+z=330\end{array}$

Det er ofte lurt å nummerere likningane.

Vi bruker metoden med innsetjing og løyser likning iii) med omsyn på $z$.

$\mathrm{iii}) z=330-3x-y$

Så set vi dette uttrykket for $z$ inn kvar av dei to andre likningane.

$\begin{array}{l}\mathrm{i}) 2x+3y+\left(330-3x-y\right)=370\\ \\ \mathrm{ii}) 3x+2y+3·\left(330-3x-y\right)=450\end{array}$

Vi ordnar likningane og får

$\begin{array}{rcl}\mathrm{i}) 2x-3y+\left(330-3x-y\right)& = & 370\\ & & \\ 2x-3x+3y-y& =& 370-330\\ & & \\ -x+2y& =& 40\\ & & \\ & & \\ \mathrm{ii}) 3x+2y+3·\left(330-3x-y\right)& =& 450\\ & & \\ 3x+2y+990-9x-3y& =& 450\\ & & \\ -6x-y& =& -540\\ & & \\ 6x+y& =& 540\end{array}$

No kan vi bruke innsetjingsmetoden for likningssett med to ukjende.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{i}) -x+2y& = & 40\\ & & \\ -x& =& 40-2y\\ & & \\ x& =& 2y-40\\ & & \\ & & \end{array}$ $\begin{array}{rcl}\mathrm{ii}) -6·\left(2y-40\right)-y& = & -540\\ & & \\ -12y+240-y& =& -540\\ & & \\ 13y& =& 780\\ & & \\ y& =& 60\end{array}$

Vi kan då setje dette resultatet inn i likning i) rett ovanfor for å finne $x$. Til slutt set vi resultata for $x$ og $y$ inn i likning iii) for å finne $z$.

$\begin{array}{l}\mathrm{i}) x=2y-40=2·60-40=80\\ \\ \mathrm{ii}) z=330-3x-y=330-3·80-60=30\end{array}$

Det betyr at kiloprisen på morellar er 80 kroner, kiloprisen på jordbær er 60 kroner, og kiloprisen på pærer er 30 kroner.

Ved CAS i GeoGebra kan du merkje rutene der du har skrive inn likningane og trykkje på knappen $$ $ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$$ "Løys ei eller fleire likningar". Denne metoden gir betre oversikt enn å bruke kommandoen "Løys()".