Likningssett

En familie som består av tre barn og to voksne, betaler 380 kroner for å komme inn på en fotballkamp.

En annen familie med fire barn og tre voksne betaler 540 kroner. Vi ønsker å finne ut hva billettprisen er for barn, og hva billettprisen er for voksne.

La $$ x$$ være billettprisen i kroner for barn og $$ y$$ billettprisen i kroner for voksne.

Prisen den første familien betaler, gir likningen

$3x+2y=380$

Dette er en likning med to ukjente, og det finnes mange par av tall for $x$ og $y$ som passer i likningen. Prisen den andre familien betaler, gir likningen

$4x+3y=540$

Det finnes også her mange par av tall for $x$ og $y$ som passer i likningen, men det finnes bare ett par av tall for $x$ og $y$ som passer i begge likningene.

To likninger med de samme to ukjente størrelsene, kalles for et likningssett. Å løse et likningssett går ut på å finne de verdiene for $x$ og $y$ som passer i begge likningene.

En metode for å løse et likningssett ved regning er innsettingsmetoden.

Når vi bruker denne metoden, begynner vi med å finne et uttrykk for den ene ukjente uttrykt med den andre ukjente ved hjelp av en av likningene. I vårt eksempel kan den første likningen gi

$\begin{array}{rcl}3x+2y& = & 380\\ & & \\ 2y& =& 380-3x\\ & & \\ y& =& 190-\frac{3}{2}x\end{array}$

Så setter vi dette uttrykket inn for $y$ i den andre likningen, derav navnet innsettingsmetoden. Husk å bruke parenteser.

$\begin{array}{rcl} 4x+3y& = & 540\\ & & \\ 4x+3\left(190-\frac{3}{2}x\right)& =& 540\end{array}$

På denne måten får vi én likning med én ukjent og kan løse denne.

$\begin{array}{rcl} 4x+570-\frac{9}{2}x& = & 540\\ & & \\ 2·4x+2·570-2·\frac{9}{2}x& =& 2·540\\ & & \\ 8x-9x& =& 1080-1140\\ & & \\ x& =& 60\\ & & \end{array}$

Til slutt setter vi denne verdien for $x$ inn i uttrykket vi fant for $y$:

$\begin{array}{rcl}y& = & 190-\frac{3}{2}x\\ & & \\ y& =& 190-\frac{3}{2}·60\\ & & \\ y& =& 100\end{array}$

Billettprisen for voksne er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

Vær oppmerksom på at du kan velge både hvilken likning og hvilken ukjent du vil starte med. Du kan prøve å velge slik at du unngår brøker. Da blir utregningen som oftest enklere.

Det finnes også andre metoder for å løse likningssett med regning. I neste eksempel skal vi bruke en metode som kalles addisjonsmetoden.

Mora til Kari var 32 år da Kari ble født. I dag er Kari og mora til sammen 64 år.

Hva er alderen til Kari og mora i dag?

Løsning

La $x$ være alderen til Kari og $y$ alderen til mora.

Kari og mora er til sammen 64 år. Dette gir likningen $x+y=64$.

Kari ble født for $x$ år siden. Da var mora til Kari 32 år. I dag er mora $y$ år.

Dette gir likningen $32+x=y$.

Vi har da

$\begin{array}{rcl} x+y& = & 64\\ & & \\ 32+x& =& y\end{array}$

Vi ordner likningene og får

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 64\\ & & \\ x-y& =& -32\end{array}$

Siden venstresidene i begge likningene er lik høyresidene, må summen av venstresidene være lik summen av høyresidene. Vi adderer derfor venstresidene og høyresidene hver for seg og setter dem lik hverandre.

$\begin{array}{rcl}x+x+y-y& = & 64-32\\ & & \\ 2x& =& 32\\ & & \\ x& =& 16\end{array}$

Nå falt leddene med $y$ bort, og likningen med bare $x$ som ukjent ga at Kari er 16 år.

Vi kan nå finne ut hvor gammel mora er ved å bruke en av likningene.

$\begin{array}{rcl} 32+x& = & y\\ & & \\ 32+16& =& y\\ & & \\ y& =& 48\end{array}$

Mora er 48 år.

Vi har altså vist at i dag er mora til Kari 48 år, og Kari er 16 år.

For at vi skal komme i mål med addisjonsmetoden, må leddene med en av de ukjente falle bort under addisjonen. Det kan vi som oftest få til å skje ved først å multiplisere likningene i likningssettet med passende tall. Innsettingsmetoden er allikevel den metoden som anbefales. Den fungerer alltid.

En tredje metode vi kan bruke for å løse et likningssett, er grafisk løsning. Ved grafisk løsning bruker vi et koordinatsystem.

La $x$ være alderen til Kari og $y$ alderen til mora.

Vi så tidligere at oppgaven gir opphav til likningssettet

$$ \begin{array}{rcl}x+y & =& 64\\ 32+x & =& y\end{array}$$

Vi kan nå skrive inn hver av likningene i GeoGebra. Vi får da en graf som viser sammenhørende verdier for $x$ og $y$ for hver likning.

Algebrafeltet i GeoGebra kan da se slik ut:

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}⬤& & \mathrm{eq}1: \text{x}+\text{y}=64\\ ⬤& & \mathrm{eq}2: 32 + \text{x = y}\\ ⬤& & \text{A}=\mathrm{Skj\ae ring}(\mathrm{eq}1,\mathrm{eq}2)\\ & & \to (16, 48)\end{array}}$$

Her har vi skrevet inn en og en av likningene og fått dem tegnet opp. Så har vi brukt verktøyet "Skjæring mellom to objekt" (under knappen for nytt punkt i knapperaden).

Skjæringspunktet mellom grafene viser at Kari i dag er 16 år, og at mora er 48 år.

Vi kan også gjøre dette uten å bruke et digitalt verktøy. For hver av likningene velger vi da noen verdier for $x$ og regner ut den tilhørende verdien for $y$. Så tegner vi grafene i et koordinatsystem og finner skjæringspunktet.

Utfordring: Forsøk å løse likningssettet grafisk uten å bruke et digitalt verktøy.

Ved CAS i GeoGebra kan du også løse likningssett algebraisk (ved regning). Vi viser her to måter dette kan gjøres på.

I rute 1 har vi brukt kommandoen "Løs(<Liste med likninger>,<Liste med variabler>)". Her må du passe på å angi listene med sløyfeparenteser. Du kan utelate den siste sløyfeparentesen når det bare er $$ x$$ og $$ y$$ i likningene og ikke andre bokstaver. Kommandoen blir da

Løs({3x+2y=380,4x+3y=540})

Den kanskje letteste måten er å skrive inn likningene i hver si rute, markere linje 1 og 2 ved å merke de grå feltene og så bruke knappen $$ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$ for "å løse en eller flere likninger". Da kommer løsningen i neste rute.

En dag kjøpte Sara, Trym og Miriam frukt på torget. Tabellen nedenfor viser hva hver av de tre handlet, og hva de måtte betale.

Vi skal nå se at vi kan regne ut kiloprisen for de enkelte fruktslagene ved å sette opp og løse et likningssett med tre likninger.

Vi lar $x$ være kiloprisen på moreller, $y$ kiloprisen på jordbær og $z$ kiloprisen på pærer. Da kan vi sette opp følgende tre likninger ut fra opplysningene i tabellen.

$\begin{array}{l}\mathrm{i}) 2x+3y+z=370\\ \\ \mathrm{ii}) 3x+2y+3z=450\\ \\ \mathrm{iii}) 3x+y+z=330\end{array}$

Det er ofte lurt å nummerere likningene.

Vi bruker metoden med innsetting og løser likning iii) med hensyn på $z$.

$\mathrm{iii}) z=330-3x-y$

Så setter vi dette uttrykket for $z$ inn hver av de to andre likningene.

$\begin{array}{l}\mathrm{i}) 2x+3y+\left(330-3x-y\right)=370\\ \\ \mathrm{ii}) 3x+2y+3·\left(330-3x-y\right)=450\end{array}$

Vi ordner likningene og får

$\begin{array}{rcl}\mathrm{i}) 2x-3y+\left(330-3x-y\right)& = & 370\\ & & \\ 2x-3x+3y-y& =& 370-330\\ & & \\ -x+2y& =& 40\\ & & \\ & & \\ \mathrm{ii}) 3x+2y+3·\left(330-3x-y\right)& =& 450\\ & & \\ 3x+2y+990-9x-3y& =& 450\\ & & \\ -6x-y& =& -540\\ & & \\ 6x+y& =& 540\end{array}$

Nå kan vi bruke innsettingsmetoden for likningssett med to ukjente.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{i}) -x+2y& = & 40\\ & & \\ -x& =& 40-2y\\ & & \\ x& =& 2y-40\\ & & \\ & & \end{array}$ $\begin{array}{rcl}\mathrm{ii}) -6·\left(2y-40\right)-y& = & -540\\ & & \\ -12y+240-y& =& -540\\ & & \\ 13y& =& 780\\ & & \\ y& =& 60\end{array}$

Vi kan da sette dette resultatet inn i likning i) rett ovenfor for å finne $x$. Til slutt setter vi resultatene for $x$ og $y$ inn i likning iii) for å finne $z$.

$\begin{array}{l}\mathrm{i}) x=2y-40=2·60-40=80\\ \\ \mathrm{ii}) z=330-3x-y=330-3·80-60=30\end{array}$

Det betyr at kiloprisen på moreller er 80 kroner, kiloprisen på jordbær er 60 kroner, og kiloprisen på pærer er 30 kroner.

Ved CAS i GeoGebra kan du merke rutene der du har skrevet inn likningene og trykke på knappen $$ $ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$$ "Løs en eller flere likninger". Denne metoden gir bedre oversikt enn å bruke kommandoen "Løs()".