Andregradslikningar utan formel

Ei likning som kan skrivast på forma $$ a{x}^2+bx+c=0$$ der $$ a\ne 0$$, kallar vi ei andregradslikning.

Eit døme på ei andregradslikning er $x^2+4x-5=0$. I denne likninga har vi at $$ a=1, b=4$$ og $$ c=-5$$.

Eit anna døme er $3-x=\frac{-7x^2}{2}$.

🤔 Tenk over: Kva er koeffisientane a, b og c i denne likninga?

Ei andregradslikning inneheld alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil seie at b og/eller c kan vere lik 0. Vi skal sjå på korleis vi kan løyse andregradslikningar på ulike måtar.

Dersom $$ b=0$$, får vi ei andregradslikning på forma $$ a{x}^2+c=0$$. Ei slik likning kan vi ordne til forma $$ x^2=k$$. Løysinga på ei slik likning er $$ x=\pm \sqrt{k}$$.

Vi ser på eit døme der vi må ordne likninga før vi kan løyse ho:

$$ \begin{array}{rcl}-2x^2+18 & =& 0 |:(-2)\\ x^2-9 & =& 0 |+9\\ x^2 & =& 9\\ x & =& \pm \sqrt{9}\\ x & =& \pm 3\end{array}$$

🤔 Tenk over: Kva skjer dersom vi får eit negativt tal på høgresida av den ordna likninga, til dømes $$ x^2=-9$$?

Vi veit at dersom eit produkt av to (eller fleire) faktorar skal kunne bli 0, må minst éin av faktorane vere 0. Dersom vi kan faktorisere likninga vår slik at vi har to lineære faktorar på venstre side og 0 på høgre, betyr det at vi kan splitte likninga i to lineære likningar. Til dømes kan likninga $$ (x-3)(x+4)=0$$ splittast i dei to lineære likningane $$ x-3=0$$ og $$ x+4=0$$. Dei to løysingane av dei lineære likningane er òg løysinga til den opphavlege andregradslikninga. Vi vil vise to tilfelle der vi vel å løyse andregradslikningar ved faktorisering.

Når konstantleddet manglar

Når konstantleddet $$ c=0$$, får vi ei likning på forma $$ a{x}^2+bx=0$$. Vi ser at vi har x som felles faktor i dei to ledda på venstre side, og vi kan faktorisere:

$$ \begin{array}{rcl}a{x}^2+bx & =& 0\\ x(ax+b) & =& 0\end{array}$$

Vi bruker at minst éin av faktorane må vere 0 for at produktet skal bli 0. Vi får dermed to løysingar, anten er $$ x=0$$, eller så er $$ ax+b=0$$. Vi ser på eit døme:

$$ \begin{array}{rcl}2x^2 & =& 4x |:2\\ x^2-2x & =& 0\\ x(x-2) & =& 0\\ x-2 & =& 0 \vee x=0\\ x & =& 2 \vee x=0\end{array}$$

Stiremetoden

Dersom vi kan forkorte bort koeffisienten til $$ x^2$$, a, kan vi ofte faktorisere andregradsuttrykket ved hjelp av stiremetoden. Vi ser på likninga $$ 2x^2+4x-30=0$$. Her ser vi at 2 er faktor i alle ledda, så vi kan forkorte likninga til $$ x^2+2x-15=0$$. Vi har at konstantleddet $$ -15 = 5·(-3)$$, og at førstegradsleddet $$ 2x =\hspace{0.17em}5x-3x$$. Dermed kan vi faktorisere og løyse likninga slik:

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x-15 & =& 0\\ \left(x+5\right)\left(x-3\right) & =& 0\\ x+5 & =& 0 \vee x-3 = 0\\ x & =& -5 \vee x = 3\end{array}$

Nokre andregradslikningar kan ordnast slik at vi får eit fullstendig kvadrat på venstresida og eit tal på høgresida.

🤔 Tenk over: Hugsar du kva eit fullstendig kvadrat er?

La oss først sjå på likninga ${\left(x-3\right)}^2=4$. Denne likninga kan løysast etter tilsvarande prinsipp som likningar utan førstegradsledd. Vi veit at det er to tal som opphøgd i 2 blir lik 4, nemleg 2 og $$ -2$$. Dermed kan vi løyse på denne måten:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x-3\right)}^2 & =& 4\\ \left(x-3\right) & =& \pm \sqrt{4}=\pm 2\end{array}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccc}x -3 = 2& \vee & x-3 = -2\\ x=2+3 = 5 & \vee & x = -2+3=1\end{array} \\ \end{gathered}$$

Dersom vi formar om ei andregradslikning slik at det til venstre for likskapsteiknet står eit fullstendig kvadrat, kan vi løyse likninga på denne måten.

Hugsar du korleis vi laga fullstendige kvadrat då vi faktoriserte andregradsuttrykk? Viss ikkje kan du friske opp minnet igjen i artikkelen "Metoden med fullstendige kvadrat". Vi bruker den same metoden no, med ein liten forskjell. Då vi faktoriserte uttrykk ved hjelp av denne metoden, la vi til og trekte frå kvadratleddet. Her har vi ei likning, så vi kan heller velje å addere kvadratleddet på begge sider av likskapsteiknet.

Vi vil løyse likninga $$ 8x+42=2x^2$$.

Vi byrjar med å ordne likninga slik at vi får ledda som inneheld x, på venstre side og konstantleddet på venstre side, og vi får òg forkorta bort a:

$$ \begin{array}{rcl}8x+42 & =& 2x^2\\ 2x^2-8x & =& 42 |:2\\ x^2-4x & =& 21\end{array}$$

Vi ønsker å få venstresida på forma $$ k^2-2kp+p^2$$ slik at vi seinare kan erstatte ho med $$ {\left(k-p\right)}^2$$.
Vi må finne ut kva for eit tal vi må legge til på venstre side for å fullføre kvadratet. Vi set $$ k=\sqrt{x^2}=x$$. Førstegradsleddet, 4x, må no vere lik 2kp:

$$ \begin{array}{rcl}4x & =& 2kp\\ 4x & =& 2xp |:2x\\ p & =& 2\\ p^2 & =& 4\end{array}$$

Vi legg no til 4 på begge sider av likninga, bruker andre kvadratsetning til å faktorisere venstre side og løyser likninga:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-4x+4& =& 21+4\\ {(x-2)}^2& =& 25\\ x-2& =& \pm \sqrt{25}=\pm 5\\ & & \\ x-2 = 5& \vee & x-2 = -5\\ x=7& \vee & x=-3\end{array}$$

Når vi bruker CAS i GeoGebra, får vi løysingane anten ved å bruke kommandoen "Løys" eller ved å bruke knappen $\boxed{\underset{}{\overset{}{\mathrm{x}}}=}$.

Legg merke til at vi får ei tom mengde når likninga ikkje har noka løysing, slik som i linje 3.