Andregradsfunksjonar

Den generelle andregradsfunksjonen

I lineære funksjonar opptrer variabelen x berre i første potens. I ein andregradsfunksjon har vi det vi kallar eit andregradsledd, det vil seie eit ledd som inneheld $x^2$. Ein andregradsfunksjon har ikkje ledd med høgare potens av x enn 2.

Definisjon

Ein funksjon f som kan skrivast på forma

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

der koeffisientane $a, b, c\in \mathrm{ℝ}$ og $a\ne 0$, kallar vi ein andregradsfunksjon.

Koeffisientane a, b og c er forskjellige frå funksjon til funksjon. Dersom b er lik 0, fell førstegradsleddet bort, og dersom c er 0, fell konstantleddet bort. Ifølge definisjonen kan ikkje a vere 0 . Tenk over kvifor det er slik.

Grafen til ein andregradsfunksjon kallar vi ein parabel.

Døme

Her er to døme på andregradsfunksjonar og grafane deira:

$f\left(x\right)=-x^2+3x+4$ og $g\left(x\right)=x^2-4x+2$

Det mest karakteristiske trekket ved parablar er at dei har eit toppunkt eller eit botnpunkt. Eit toppunkt er det høgaste punktet på grafen i eit lokalt område nær punktet, og eit botnpunkt er på tilsvarande måte det lågaste punktet. Parablar har òg ei symmetrilinje som er parallell med y-aksen, og som går gjennom topp- eller botnpunktet.

Legg merke til at grafen har toppunkt når andregradsleddet er negativt, og botnpunkt når andregradsleddet er positivt. I det første tilfellet seier vi at grafen er "sur", i det andre tilfellet at grafen "smiler". Vi seier òg at når parabelen har eit botnpunkt, vender den hole sida opp, og når parabelen har eit toppunkt, vender den hole sida ned.

I tillegg har begge funksjonane i figuren over to nullpunkt kvar. Til dømes har f nullpunkt for $x=-1$ og for $x=4$. Vi minner om at nullpunkta til ein funksjon er dei x-verdiane som gjer at funksjonsverdien blir 0, det vil seie det same som skjeringspunkta mellom grafen til funksjonen og x-aksen. Ikkje alle andregradsfunksjonar har nullpunkt.

Definisjonsmengde og verdimengde

Ein andregradsfunksjon kan definerast for alle reelle tal. Sidan alle andregradsfunksjonar har eit ekstremalpunkt, vil verdimengda til funksjonane vere avgrensa. Vi må derfor finne ut om grafen til ein andregradsfunksjon har eit toppunkt eller eit botnpunkt, og y-koordinaten til dette punktet for å bestemme verdimengda.

Funksjonane f og g ovanfor er definerte for alle verdiar av x. Vi ser elles av grafen at f berre kan få verdiar som er mindre enn eller lik 6,25. Verdimengda til f er derfor alle tal som er mindre enn eller lik 6,25. Vi skriv

$D_f=\mathrm{ℝ} , V_f=\langle \leftarrow ,6.25]$

På same måte ser vi at verdimengda til g er alle tal som anten er lik $-2$ eller større enn $-2$. Då får vi tilsvarande

$D_g=\mathrm{ℝ} , V_g=[-2,\to \rangle$

Analyse av andregradsfunksjonar

Vi har gitt funksjonen

$f\left(x\right)=x^2-4x+3 , D_f=\mathrm{ℝ}$

🤔 Tenk over: Analyse betyr her å finne ut mest mogleg om funksjonen og grafen til han. Kva kan vere aktuelt å finne ut om ein andregradsfunksjon?

Vi teiknar grafen til funksjonen $f\left(x\right)=x^2-4x+3$ i GeoGebra og får teikna nullpunkta med verktøyet "Nullpunkt" eller kommandoen Nullpunkt(f) i algebrafeltet.

Dersom vi skriv Nullpunkt(f) i CAS, får vi "$\left\{x=1, x=3\right\}$" til svar. Då blir det ikkje teikna noko i grafikkfeltet i GeoGebra. Dette er det same som å løyse likninga $f\left(x\right)=0$ grafisk, det vil seie likninga

$x^2-4x+3=0$

Vi kan derfor òg skrive f(x)=0 i CAS og bruke verktøyet "Løys" eller skrive Løys(f(x)=0) for å finne nullpunkta.

Grafen har eit botnpunkt sidan andregradsleddet er positivt. Vi får teikna botnpunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt" eller kommandoen Ekstremalpunkt(f) i algebrafeltet. Dersom vi skriv Ekstremalpunkt(f) i CAS, får vi "$\left\{\left(2,-1\right)\right\}$" til svar utan at noko blir teikna. Grafen har botnpunkt $\left(2,-1\right)$.

Verdimengda til funksjonen blir derfor $V_f=[-1, \to ⟩$.

Ekstremalpunktet (her: botnpunktet) har x-koordinat lik 2. Det betyr at linja $x=2$ er symmetrilinja til grafen. Vi har teikna ho ved å skrive x=2 i algebrafeltet. Legg merke til at symmetrilinja ligg like langt frå kvart av nullpunkta til parabelen.

Vi finn kvar grafen skjer y-aksen ved å rekne ut $f\left(0\right)$.

$f\left(0\right)=0^2-4·0+3=3$

Grafen skjer y-aksen for $y=3$. Legg merke til at vi kan finne skjeringspunktet ved å sjå på konstantleddet i funksjonen, akkurat som for førstegradsfunksjonar (rette linjer).

Praktisk døme: Preikestolen

Preikestolen er eit fjellplatå i Rogaland som ligg cirka 600 meter over Lysefjorden. Fjellveggen frå Preikestolen ned til fjorden er nesten loddrett.

Tenk deg at du står på kanten av Preikestolen og kastar ein stein på skrå opp i lufta med utgangsfart $25 \mathrm{m}/\mathrm{s}$. På veg ned passerer steinen på utsida av platået og hamnar i Lysefjorden.

Naturlovene fortel oss at høgda h til steinen er ein funksjon av tida t og er tilnærma gitt ved funksjonsuttrykket

$h\left(t\right)=25t-5t^2$

Her står t for tida i sekund etter at steinen vart kasta.

Høgdefunksjonen er ein andregradsfunksjon fordi variabelen $t$ er i andre potens.

Vi teikna grafen til funksjonen dei første 20 sekunda ved å skrive h(t)=Funksjon(25t-5t^2, 0, 20) i algebrafeltet i GeoGebra.

Vi finn toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt(h) og får punktet $A\left(2.5, 31.3\right)$. Det viser at steinen når det høgaste punktet sitt, 31,3 meter over platået, etter 2,5 sekund.

Vi finn punktet $B\left(10, -250\right)$ ved å skrive (10,h(10)). Det viser at steinen passerer 250 meter under platået etter 10 sekund.

Vi teiknar linja $y=-600$ og finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen med verktøyet "Skjering mellom to objekt" eller kommandoen Skjering(h,g) (dersom linja har namnet g). Vi får skjeringspunktet $C\left(13.7, -600\right)$, som viser at steinen treffer Lysefjorden etter 13,7 sekund.

Vi finn nullpunkta $D\left(0, 0\right)$ og $E\left(5, 0\right)$ med kommandoen Nullpunkt(h). Det viser at steinen forlet platået ved tida null og passerer platået på vegen ned etter 5 sekund.

🤔 Tenk over: Kva blir definisjonsmengda og verdimengda til funksjonen h?

🤔 Tenk over: Er det mogleg å analysere ein andregradsfunksjon f utan å teikne grafen?

Finne funksjonsuttrykket til ein andregradsfunksjon ut ifrå grafen

Her viser vi korleis vi kan finne funksjonsuttrykket til ein andregradsfunksjon ved hjelp av kjende punkt på grafen til funksjonen.

Ved bruk av nullpunkta og eit anna punkt på grafen

På biletet har vi grafen til ein ukjend funksjon f, og vi set

$f\left(x\right)=a{x}^2-bx+c$

Å finne funksjonsuttrykket betyr å finne konstantane a, b og c. Metoden baserer seg på at vi kan lese av nullpunkta til funksjonen. Dersom funksjonen f har nullpunkta $x_1$ og $x_2$, har vi frå nullpunktmetoden at vi kan faktorisere andregradsuttrykket slik:

$a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

Vi les av nullpunkta på grafen til å vere $-2$ og 1. Då har vi at

$f\left(x\right)=a\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-1\right)=a\left(x+2\right)\left(x-1\right)$

For å finne verdien på $a$ treng vi eit punkt til på grafen. Vi les av punktet $\left(0,-4\right)$ som eit punkt på grafen. Det gir oss

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right) & =& -4\\ a\left(0+2\right)\left(0-1\right) & =& -4\\ -2a & =& -4\\ a & =& 2\end{array}$

Funksjonen vår blir derfor

$f\left(x\right)=a\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2\left(x^2-x+2x-2\right)=2x^2+2x-4$

Ved bruk av tre vilkårlege punkt på grafen

Dersom vi kjenner tre vilkårlege punkt på grafen til f, kan vi bruke desse punkta saman med det generelle funksjonsuttrykket og setje opp eit likningssett med tre likningar og koeffisientane a, b og c som dei tre ukjende.

På biletet ser vi grafen til ein ukjend andregradsfunksjon f. Dei tre punkta $\left(-3,1\right)$, $\left(-2,-2\right)$ og (1,1) ligg på grafen til funksjonen.

Vi lagar dei tre likningane ved å setje inn x- og y-koordinatane til punkta. Dette gir

$\begin{array}{rcl}f\left(-3\right) & =& 1\\ f\left(-2\right) & =& -2\\ f\left(1\right) & =& 1\end{array}$

Vi kan løyse dette likningssettet utan hjelpemiddel, men her viser vi korleis vi kan gjere det med CAS i GeoGebra.

Vi får derfor at den ukjende andregradsfunksjonen $f\left(x\right)=x^2+2x-2$.