Fag

Emne

Funksjonsomgrepet

Fagstoff

Video

Funksjonsomgrepet. Definisjonsmengde og verdimengde

Ein matematisk funksjon er ein samanheng mellom to storleikar: ein avhengig og ein uavhengig variabel.

Kva er ein funksjon?

Vi skal illustrere kva ein funksjon er, med noko vi kan kalle ei funksjonsmaskin. Vi tenker oss at vi puttar ein talverdi inn i maskina og får ein talverdi ut på den andre sida. Det som går føre seg inni maskina, er den matematiske funksjonen.

To boksar der den øvste har påskrifta "Funksjonsmaskin, f" og den nedste "Funksjonsmaskin, g". På venstre side av kvar funksjonsmaskin er det tre tal med ulik farge og kvar si pil som peiker inn mot funksjonsmaskinen. På høgre side av dei to funksjonsmaskinene er det for kvar funksjonsmaskin tre piler som peiker på kvart sitt tal som har dei same ulike fargane. For funksjonsmaskin 1 har talet minus 2 på venstre side og minus 3 på høgre side same farge, talet 1 på venstre side og 3 på høgre side har same farge, og talet 2 på venstre side og talet 5 på høgre side har same farge. Tilsvarande, for funksjonsmaskin 2 har minus 2 same farge som 0, 1 har same farge som minus 3, og 2 har same farge som 0. Illustrasjon.

🤔 Tenk over: Kva trur du har skjedd inni dei to funksjonsmaskinene? Prøv å forklare med ord kva operasjonar som har blitt gjort.

Forklaring

I den første maskina, $f (x)$ , ser det ut til at vi har teke talet vi legg inn i funksjonen, gonga det med 2 og lagt til 1:

$\begin{array}{rcl} - 2 \cdot 2 + 1 & = & - 3 \\ 1 \cdot 2 + 1 & = & 3 \\ 2 \cdot 2 + 1 & = & 5 \end{array}$

I den andre maskina kan det sjå ut til at vi tek talet, opphøgjer det i 2 og trekker frå 4:

$\begin{array}{rcl} {(- 2)}^{2} - 4 & = & 0 \\ 1^{2} - 4 & = & - 3 \\ 2^{2} - 4 & = & 0 \end{array}$

Kanskje finst det andre moglegheiter òg?

Vi kallar den verdien vi legg inn i funksjonen, for den uavhengige variabelen. Oftast bruker vi $x$ som symbol for denne, men vi kan bruke kva bokstav vi vil. Når vi teiknar grafar, har vi den uavhengige variabelen på førsteaksen. Den avhengige variabelen har vi på andreaksen, eller $y$ -aksen. Denne variabelen kallar vi for $y$ , $f (x)$ eller med det funksjonsnamnet vi bruker i den situasjonen funksjonen skriv.

Ulike representasjonar av funksjonen

Kvinne joggar ned bakke i ein park. Foto. — Ein funksjon kan til dømes beskrive samanhengen mellom strekning og tid.

I forklaringa over beskreiv vi samanhengen mellom to variablar, x og y, først med ord, og så viste vi med rekning. Samanhengen mellom ein uavhengig og ein avhengig variabel kan beskrivast på fleire forskjellige måtar. Vi seier at vi representerer funksjonen på ulike måtar. Vi skal ta for oss fire ulike måtar å representere ein matematisk funksjon på, med utgangspunkt i eit døme.

Tenk deg at du er på ein joggetur der du held ein konstant fart. Etter joggeturen er du interessert i å finne ut kor langt du har sprunge ved ulike tidspunkt.

Kor langt har du sprunge etter $10$ minutt?

Kor langt har du sprunge etter $50$ minutt?

Kor langt har du sprunge etter $t$ minutt?

Vi lar den totale strekninga vere 16 000 m og den totale tida vere 100 minutt.

Vi kan finne ut hvor langt vi har sprunge per minutt:

$\frac{16000 meter}{100 minutter} = 160 meter per minutt$

Dette inneber at dersom du veit kor lenge du har sprunge, kan du finne ut kor langt du har sprunge, og vi seier at strekninga er ein funksjon av tida. Då blir strekninga vi har sprunge etter t minutt, $S (t)$ , som vi les som "S av t".

Tekst

Vi kan beskrive funksjonen $S (t)$ med tekst. Vi kan til dømes skrive at: "Vi spring ei strekning på 16 000 m med ein konstant fart. Vi bruker 100 minutt på turen. Dersom vi lar t stå for talet på minutt, betyr det at strekninga vi har sprunge etter t minutt, $S (t)$ , vil vere 160 gonger t." Eigentleg kan vi òg sjå på teksten i avsnittet over som ein representasjon av samanhengen mellom tida og strekninga vi har sprunge.

Funksjonsuttrykk

Når du kjenner den konstante farten, 160 meter per minutt, kan du rekne ut kor lang strekning, $S (t)$ , du har sprunge ved å bruke formelen

$S (t) = 160 t$

Uttrykket til høgre for likskapsteiknet, $160 t$ , kallar vi for funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi kan bruke funksjonsuttrykket til å rekne ut til dømes kor langt vi har sprunge etter 10 minutt og etter 50 minutt. Vi set inn talet på minutt for $t$ i funksjonsuttrykket:

$\begin{array}{rcl} S (10) & = & 160 \cdot 10 = 1600 \\ S (50) & = & 160 \cdot 50 = 8000 \end{array}$

Etter 10 minutt har du sprunge 1 000 meter, og etter 50 minutt har du sprunge 8 000 meter. Vi les $S (10)$ som "S av 10" og $S (50)$ som "S av 50".

Tabell

Samanhengen mellom tida og strekninga du har sprunge, kan òg representerast i ein tabell. Verditabellen nedanfor viser eit utval av samanhøyrande verdiar for den uavhengige og den avhengige variabelen, det vil seie $t$ og $S (t)$ .

Samanheng mellom tid og strekning
$t$ (minutt)	$S (t)$ (meter)
$0$	$0$
$10$	$1600$
$50$	$8000$
$100$	$16000$

Denne tabellen inneheld berre nokre av dei verdiane som høyrer saman, så utan meir kjennskap til samanhengen, veit vi ikkje sikkert korleis samanhengen er i resten av definisjonsområdet. Oftast kan vil likevel bruke tabellen til å seie noko om samanhengen mellom dei to variablane.

Graf

Den siste av dei fire måtane å representere samanhengen mellom dei to storleikane tida ( $t$ ) og strekninga ( $S (t)$ ) på, er gjennom ein graf. Denne kan vi teikne anten basert på funksjonsuttrykket eller basert på punkta frå tabellen. Vi har her valt ut nokre av punkta frå tabellen og teikna grafen ut frå dei:

Grafen til funksjonen S av t er lik 160 t er teikna for x-verdiar mellom 0 og 100 og er ei rett linje gjennom origo. Punkta med koordinatar 10 og 1600, 50 og 8000 og 100 og 16000 er teikna inn. Illustrasjon. — Grafen til funksjonen S(t)

Legg merke til at vi har namn på aksane som viser både dei matematiske namna på variablane, $t$ og $S (t)$ , og nemningane på variablane, minutt og meter. Dette er viktig å ha med når ein bruker ein graf til å representere ein matematisk samanheng.

Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengde og verdimengde er to viktige omgrep når vi jobbar med funksjonar. Desse to mengdene seier noko om kva tal som kan puttast inn i og komme ut av funksjonsmaskina.

Definisjonsmengde

Joggaren i dømet vårt jogga i 100 minutt, det vil seie 1 time og 40 minutt. Det vil seie at det berre er i denne tida vi kan seie noko om kva strekning som er sprunge. Funksjonen vår vil ikkje kunne seie noko om kvar joggaren var ti minutt før joggeturen byrja, og sidan joggeturen var slutt etter 100 minutt, veit vi heller ikkje noko om kva som skjer etter denne tida. Det betyr at funksjonen berre gjeld for dette intervallet. Matematisk kan vi skrive $t \in [0, 100]$ . Vi seier at funksjonen $S (t)$ har definisjonsmengda $[0, 100]$ , og vi skriv

$D_{s} = [0, 100]$

$D$ står for definisjonsmengda, og $S$ viser til funksjonen $S$ .

Definisjonsmengda fortel oss kva verdiar vi kan putte inn i funksjonen.

Verdimengde

Joggaren i dømet spring 16 000 m i løpet av dei 100 minutta som inngår i definisjonsmengda til funksjonen. Den minste verdien vi kan rekne ut, er dersom vi sjekkar kor langt joggaren har sprunge etter 0 minutt, det vil seie 0 m. Den største verdien vi kan få ut, er 16 000 m, som er avstanden joggaren har sprunge etter 100 minutt. Negative verdiar eller verdiar høgare enn 16 000 m er umogleg å få ut av funksjonen vår, sidan funksjonen berre er definert for $t \in [0, 100]$ . Vi seier at $S (t)$ har verdimengda $[0, 16 000]$ , og vi skriv

$V_{s} = [0, 16 000]$

$V$ står for verdimengda, og $S$ viser til funksjonen $S$ .

Verdimengda fortel oss kva verdiar vi kan få ut av funksjonen.

Eintydigheit

Øvst i denne artikkelen samanlikna vi ein funksjon med ei maskin som får inn eit tal, gjer noko med det og så gir eit nytt tal i den andre enden. For at denne maskina ikkje skal bli forvirra og gå sund, må det vere slik at kvar gong vi puttar eit bestemt tal inn i maskina, får vi alltid det same talet ut. Det vil seie at dersom vi til dømes puttar inn talet 2 og får ut talet 4 éin gong, må vi få 4 kvar gong vi puttar inn 2. Vi seier at ein funksjon er eintydig.

🤔 Tenk over: Kva for ein av grafane nedanfor trur du kan vere representasjonar av funksjonar?

Tre grafar, ein grøn parabel med eit botnpunkt kalla graf 1, ein svart sirkel kalla graf 2 og ein blå liggande parabel kalla graf 3. Skjermutklipp.

Forklaring

Vi ser at både graf 2 og graf 3 gir to moglege y-verdiar for fleire av x-verdiane, mens i graf 1 vil kvar x-verdi berre gi éin mogleg y-verdi. Det betyr at det berre er i graf 1 vi har eintydigheit, og det er berre denne som beskriv ein funksjon.

🤔 Tenk over: Vi seier at kvar x-verdi berre kan gi éin y-verdi. Men gjeld dette den andre vegen òg, trur du?

Forklaring

Nei, mange ulike x-verdiar kan gi den same y-verdien, slik som til dømes i graf 1 ovanfor, eller i denne:

Bølgeforma graf. Illustrasjon.

Vi kan altså godt få den same funksjonsverdien for fleire verdiar i definisjonsmengda.

Video om funksjonsomgrepet

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0